Matrice — Memorator Algebră

Tabel matriceal. Matrice. Mulțimi de matrice

Vezi videoclipul: Tabel matriceal. Matrice. Mulțimi de m... Vezi toată lecția: Tabel matriceal. Matrice. Mulțimi de m... Citește teoria: Tabel matriceal. Matrice. Mulțimi de m...

Definiție. Fie m,n numere naturale nenule. Se numește matrice cu m linii și n coloane (matrice de tip (m,n)) cu elemente numere complexe, o funcție f : {1,2,...,m} x {1,2,...,n}→ C

$f ((i, j)) = a_{i j} \in ℂ .$

Valorile funcției f se numesc elementele matricei A și se reprezintă sub forma unui tablou

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & . . . & a_{1 j} & . . . & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & . . . & a_{2 j} & . . . & a_{2 n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{i 1} & a_{i 2} & . . . & a_{i j} & . . . & a_{i n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{m 1} & a_{m 2} & . . . & a_{m j} & . . . & a_{m n} \end{matrix})$

Matricea A se mai notează

$A = (a_{i j})_{\begin{matrix} 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n \end{matrix}}, A = (a_{i j})_{m x n}$

Mulțimea matricelor de tipul (m,n) cu elemente numere complexe se notează cu

$M_{m, n} (ℂ) .$

Cazuri particulare de matrice:

1. Dacă m=1, matricea A se numește matrice linie

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & . . . & a_{1 j} & . . . & a_{1 n} \end{matrix})$

2. Dacă n=1, matricea A se numește matrice coloană

$A = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ . . . \\ a_{i 1} \\ . . . \\ a_{m 1} \end{matrix})$

3. Dacă m=n, matricea se numește matrice pătratică de ordinul n.

În cazul matricelor pătratice, se numește diagonală principală a matricei A mulțimea ordonată

$(\begin{matrix} a_{11}, & a_{22}, & . . . & a_{n n} \end{matrix})$

Tot pentru matricele pătratice, se numește diagonală secundară a matricei A , mulțimea ordonată

$(\begin{matrix} a_{1 n}, & a_{2 n - 1}, & . . ., & a_{n 1} \end{matrix})$

Suma elementelor de pe diagonala principală a matricei A se numește urma matricei A și se notează cu Tr(A).

4. Dacă toate elementele unei matrice sunt egale cu zero, matricea se numește matrice nulă și se notează cu

$O_{m, n}$

Definiție. Două matrice A și B se numesc matrice egale, dacă

$a_{i j} = b_{i j}, \forall i \in \{1, 2, . . ., m\}, j \in \{1, 2, . ., n\}, A, B \in M_{m, n} (ℂ) .$

Proprietăți ale relației de egalitate a matricelor:

1. Proprietatea de reflexivitate

$A = A, \forall A \in M_{m, n} (ℂ)$

2. Proprietatea de simetrie

$D a c ă A = B, a t u n c i B = A, \forall A, B \in M_{m, n} (ℂ) .$

3. Proprietatea de tranzitivitate

$D a c ă A = B ș i B = C, a t u n c i A = C, \forall A, B, C \in M_{m, n} (ℂ) .$

Adunarea matricelor

Vezi videoclipul: Adunarea matricelor Vezi toată lecția: Adunarea matricelor Citește teoria: Adunarea matricelor

Definiție.

$F i e A, B \in M_{m, n} (ℂ), A = (a_{i j}), B = (b_{i j}) .$

Se numește suma matricelor A și B și se notează A+B, matricea

$C \in M_{m, n} (ℂ), C = (a_{i j} + b_{i j}) .$

Proprietăți ale adunării matricelor

1. Asociativitatea. (A+B)+C= A+(B+C),

$\forall A, B \in M_{m, n} (ℂ)$

2. Comutativitatea. A+B=B+A

$\forall A, B, C \in M_{m, n} (ℂ)$

3.Element neutru

$A + O_{m, n} = A, \forall A \in M_{m, n} (ℂ)$

4. Element opus

$A + (- A) = O_{m, n}, \forall A \in M_{m, n} (ℂ)$

Definiție.

$F i e A, B \in M_{m, n} (ℂ), A = (a_{i j}), B = (b_{i j}) .$

Se numește diferența matricelor A și B și se notează cu A-B, matricea A+(-B).

Înmulțirea matricelor cu scalari

Vezi videoclipul: Înmulțirea matricelor cu scalari Vezi toată lecția: Înmulțirea matricelor cu scalari Citește teoria: Înmulțirea matricelor cu scalari

$D e f i n i ț i e . F i e A \in M_{m, n} (ℂ), k \in ℂ .$

Numim produsul matricei A cu scalarul k, matricea

$B \in M_{m, n} (ℂ), u n d e b_{i j} = k \cdot a_{i j}, \forall i \in \{1, 2, . . ., m\}, \forall j \in \{1, 2, . . ., n\}$ .

Matricea B= k A.

Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari

$1 . 1 \cdot A = A, \forall A \in M_{m, n} (ℂ) .$

$2 . α (β A) = (α β) A, \forall α, β \in ℂ, \forall A \in M_{m, n} (ℂ) .$

$3 . (α + β) A = α A + β A, \forall α, β \in ℂ, \forall A \in M_{m, n} (ℂ) .$

$4 . α (A + B) = α A + α B, \forall α \in ℂ, \forall A, B \in M_{m, n} (ℂ) .$

$5 . α A = O_{m, n} \Leftrightarrow α = 0 s a u A = O_{m, n} .$

Ridicarea la putere a unei matrice

Vezi videoclipul: Ridicarea la putere a unei matrice Vezi toată lecția: Puterea unei matrice pătratice Citește teoria: Ridicarea la putere a unei matrice

$D e f i n i ț i e . F i e A \in M_{n} (ℂ) . A^{0} = I_{n}, A^{1} = A, A^{2} = A \cdot A, A^{n} = \underset{n o r i}{\underset{⏟}{A \cdot A \cdot . . . A}}, n \in ℕ^{*} .$

Reguli de calcul

$1 . A^{k} \cdot A^{p} = A^{k + p}, \forall A, B \in M_{n} (ℂ), k, p \in ℕ$

$2 . (A^{k})^{p} = A^{k p}, \forall A \in M_{n} (ℂ), k, p \in ℕ .$

$3 . (A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}, \forall A, B \in M_{n} (C) .$

$3^{`} . D a c ă n \geq 2, n \in ℕ, A, B \in M_{n} (ℂ), A B = B A, (A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2} .$

$3^{` `} . D a c ă n, p \geq 2, n, p \in ℕ, A, B \in M_{n} (ℂ), A B = B A, (A + B)^{p} = \sum_{k = 0}^{p} C_{p}^{k} A^{p - k} B^{k} .$

(Formula binomului lui Newton pentru matrice)

$4 . D a c ă m, n, p \geq 2, m, n, p \in ℕ, A, B \in M_{n} (ℂ), A B = B A, A^{m} B^{p} = B^{p} A^{m} .$

$D a c ă A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in M_{2} (ℂ), a t u n c i A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) I_{2} = O_{2} . (R e l a ț i a l u i H a m i l t o n - C a y l a y)$

Triunghiul lui Pascal

Vezi videoclipul: Triunghiul lui Pascal Vezi toată lecția: Puterea unei matrice pătratice Citește teoria: Triunghiul lui Pascal

Triunghiul lui Pascal

Triunghiul lui Pascal este un aranjament geometric al coeficienților binomiali, numit astfel în onoarea matematicianului francez Blaise Pascal. Înălțimea și laturile triunghiului conțin cifra 1, iar fiecare număr de pe o linie n reprezintă suma celor 2 numere de pe linia superioară n-1.

Proprietăți

Formula binomului

Fie formula: $\left ( X+Y \right )^{n}=a_{0}X^{n}Y^{0}+a_{1}X^{n-1}Y+.....+a_{n}X^{0}Y^{n}$. Atunci coeficienții sai reprezintă numerele aflate pe linia n a Triunghiului lui Pascal.

Șirul lui Fibonacci

Suma elementelor de pe cea de a n diagonală reprezintă cel de-al n-lea element din Sirul lui Fibonacci.

Alte proprietăți

Suma elementelor de pe a n-a linie este egală cu $2^{n-1}$;

Grupând elementele de pe diagonalele locale, se poate obtine Triunghiul lui Sierpinsky.

Proprietăți ale înmulțirii matricelor

Vezi videoclipul: Proprietăți ale înmulțirii matricelor Vezi toată lecția: Înmulțirea matricelor Citește teoria: Proprietăți ale înmulțirii matricelor

$1 . (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C), \forall A \in M_{m, n} (ℂ), B \in M_{n, p} (ℂ), C \in M_{p, q} (ℂ)$

(înmulțirea matricelor este asociativă)

$2 . A \cdot I_{n} = I_{n} \cdot A = A, \forall A \in M_{n} (ℂ)$

$3 . A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C, \forall A \in M_{m, n} (ℂ), B, C \in M_{n, p} (ℂ)$

$(B + C) \cdot A = B \cdot A + C \cdot A, \forall B, C \in M_{m, n} (ℂ), A \in M_{n, p} (ℂ)$

(înmulțirea matricelor este distributivă față de adunarea matricelor)

$4 . α (A B) = (α A) B = A (α B), \forall A \in M_{m, n} (ℂ), B \in M_{n, p} (ℂ), \forall α \in ℂ$

Observație. Înmuțirea matricelor nu este o operție comutativă.

Înmulțirea matricelor

Vezi videoclipul: Înmulțirea matricelor Vezi toată lecția: Înmulțirea matricelor Citește teoria: Înmulțirea matricelor

Definiție. $F i e A \in M_{m, n} (ℂ), A = (a_{i j}), B \in M_{n, p} (ℂ), B = (b_{j k}) .$

Se numește produsul matricelor A, B matricea

$C \in M_{m, p} (ℂ), C = (c_{i k})$

$c_{i k} = a_{i 1} \cdot b_{1 k} + a_{i 2} \cdot b_{2 k} + . . . + a_{i n} \cdot b_{n k} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} b_{j k}, i \in \{1, 2, . . ., m\}, k \in \{1, 2, . . ., p\}$ .

Observație.Produsul AB are sens dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de linii ale matricei B.