Ridicarea la putere a unei matrice

374 vizualizări · 11 voturi

Concepte: Matrici

Test: Test de evaluare- puterea unei matrice p...

Raportează o problemă

Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.

Mulțumim!

Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.

$D e f i n i ț i e . F i e A \in M_{n} (ℂ) . A^{0} = I_{n}, A^{1} = A, A^{2} = A \cdot A, A^{n} = \underset{n o r i}{\underset{⏟}{A \cdot A \cdot . . . A}}, n \in ℕ^{*} .$

Reguli de calcul

$1 . A^{k} \cdot A^{p} = A^{k + p}, \forall A, B \in M_{n} (ℂ), k, p \in ℕ$

$2 . (A^{k})^{p} = A^{k p}, \forall A \in M_{n} (ℂ), k, p \in ℕ .$

$3 . (A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}, \forall A, B \in M_{n} (C) .$

$3^{`} . D a c ă n \geq 2, n \in ℕ, A, B \in M_{n} (ℂ), A B = B A, (A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2} .$

$3^{` `} . D a c ă n, p \geq 2, n, p \in ℕ, A, B \in M_{n} (ℂ), A B = B A, (A + B)^{p} = \sum_{k = 0}^{p} C_{p}^{k} A^{p - k} B^{k} .$

(Formula binomului lui Newton pentru matrice)

$4 . D a c ă m, n, p \geq 2, m, n, p \in ℕ, A, B \in M_{n} (ℂ), A B = B A, A^{m} B^{p} = B^{p} A^{m} .$

$D a c ă A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in M_{2} (ℂ), a t u n c i A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) I_{2} = O_{2} . (R e l a ț i a l u i H a m i l t o n - C a y l a y)$

Deschide pagina de teorie: Ridicarea la putere a unei matrice →

Știm deja ce înseamnă puterea unui număr real cu exponent număr natural sau întreg,

adică a la puterea n este a ori a ori a de n-ori pentru orice număr natural ne-n-ul și orice număr a real,

iar a la puterea minus n este egal cu 1 supra a la n pentru orice n număr natural ne-n-ul și a număr real ne-n-ul.

Ce ar putea însemna puterea unei matrice?

Fie a o matrice de tip m-n de elemente cu mulțimea numărilor complexe,

prin a pătrat am înțelege în aceeași manieră matricea a mulțită cu matricea a,

dar matricea a are m linii și n coloane.

Ne amintim regula că numărul de coloane al primului factor trebuie să fie egal cu numărul de linii al celui de-al doilea factor.

Deducem de aici egalitatea m egal cu n.

Cu alte cuvinte, puterea unei matrice poate fi calculată doar pentru matrice pătratice.

Fie acum o matrice a pătratică de ordinul n cu elemente cu mulțimea numărilor complexe.

Prin a la puterea 0 înțelegem matricea unitate de ordin n,

prin a la puterea 1 înțelegem evident matricea a,

prin a la puterea 2 înțelegem matricea a înmulțită cu matricea a.

Cum operația de mulțire a matricelor este asociativă,

putem defini și a la puterea k ca fiind produsul dintre a cu ea însăși de k-ori,

pentru orice k număr natural nenul.

Dacă matricea a este pătratică de ordinul 2 cu aceste elemente,

matricea a la pătrat înseamnă matricea a înmulțită cu ea însăși,

adică 2 înmulțit cu 2 plus 4 înmulțit cu minus 1 plus 2 înmulțit cu 4 plus 4 mulțit cu 0

plus minus 1 înmulțit cu 2 plus 0 înmulțit cu minus 1 minus 1 or 4 plus 0 or 0.

adică 4 minus 4 minus 2 plus 0, 8 plus 0 minus 4 plus 0, adică matricea 0, 8, minus 2, minus 4.

Pentru calculul matricei a la puterea 3-a, calculăm produsul a la a doua orea, adică

0 înmulțit cu 2 plus 8 înmulțit cu minus 1

0 mulțit cu 4 plus 8 înmulțit cu 0

minus 2 înmulțit cu 2 plus minus 4 înmulțit cu minus 1

minus 2 înmulțit cu 4

plus minus 4 înmulțit cu 0

adică matricea 0 plus minus 8 minus 8

0 plus 0 0 minus 4 plus 4 0 minus 8 plus 0 minus 8

Același lucru l-am fi obținut dacă am fi calculat a la a treia egal cu a

ori a

la pătrat în baza proprietății de asociativitate

a înmulțirii. Să vedem acum ce regul de calcul are puterea unei matrice. Dacă înmulțim a la k

cu matricea a la puterea p, obținem a înmulțită cu ea însăși de k-ori

înmulțit cu matricea a înmulțită cu ea însăși de p-ori, adică obținem produsul a înmulțit cu a

de k plus p-ori, adică matricea a la puterea k plus p. O primă regulă de calcul este

a la puterea k înmulțit cu a la puterea p este egal cu a la puterea k plus p pentru orice matrice a

pătratică de ordinul n și orice numere naturale k și p. Să vedem acum cum ridicăm la putere

o altă putere a unei matrici. Dacă vom calcula a la k totul la puterea p, obținem produsul a la k

ori a la k, ori a la k de p-ori, adică a la puterea k plus k plus k de p-ori, adică matricea a la puterea k înmulțit cu p.

Obținem așadar o a doua regulă de calcul și anume matricea a la puterea k totul la puterea p este egal cu a

la puterea k ori p pentru orice matrice a pătratică de ordinul n și orice k și p numere naturale.

Să calculăm acum suma a plus b totul la puterea a doua. Acest lucru este egal cu a plus b înmulțit cu suma a plus b.

Aplicând acum distributivitatea înmulțirii față de adunarea matricelor, obținem a ori a a pătrat, a or b, plus b or a și plus p or b,

adică b la puterea a doua. Dacă în plus matricile a și b sunt pătratice de ordinul n și a or b este egal cu b or a,

atunci suma a plus b la puterea a doua devine a la a doua plus 2ab plus b la pătrat,

iar produsul a la puterea m înmulțit cu b la puterea p este egal cu b la puterea p înmulțit cu a la puterea m,

ori care ar fi m și p numere naturale nenule.

În același timp are loc și relația a plus b totul la puterea p este egal cu combinări de p luate câte 0 înmulțit cu a la puterea p

plus combinări de p luate câte 1 ori a la puterea p minus 1 or b plus combinări de p luate câte 2 or a la puterea p minus 2 or b la a doua

plus combinări de p luate câte p minus 1 or a înmulțit cu b la puterea p minus 1 plus combinări de p luate câte p or b la puterea p

sau putem rescrie această expresie și sus forma sumei, sumă după i de la 0 la p din combinări de p luate câte i or a la puterea p minus i înmulțit cu b la puterea i

pentru orice p număr natural nenul, formulă cunoscută și sub numele de formula binomului lui Newton pentru matrice.

Fie acum o matrice a, pătratică de ordinul 2 cu elemente în mulțimea numerelor complexe, să calculăm expresia a la puterea a doua minus a plus d totul înmulțit cu a plus a or d minus b or c înmulțit cu i2.

Pentru acest lucru vom începe prin a calcula a la a doua, adică a la puterea a doua plus b înmulțit cu c, a or b plus b or d, c or a plus d or c, c or b plus d la pătrat.

Vom calcula apoi matricea a plus d înmulțit cu a, adică matricea a la a doua plus a or d, a b plus b d, a c plus d c, a d plus d la a doua.

Și în sfârșit matricea a or d minus b or c totul înmulțit cu i2, adică a d minus b c, 0, 0, a d minus b c.

Înlocuind acum în relația a la a doua minus a plus d mulțit cu a plus a or d minus b c mulțit cu i2, obținem a la a doua plus b c, a d plus b d, c a plus d c, c b plus d la a doua,

minus matricea a la a doua plus a d, a b plus b d, a c plus c d, a d plus d la a doua, plus matricea a d minus b c, 0, 0, a d minus b c.

Vom efectua întâi scăderea primelor două matrice și anume a la a doua plus b c, minus a la a doua plus a d, a b plus b d, minus a b plus b d, c a plus d c, minus a c plus d c.

C b plus d la a doua, minus a d plus d la a doua, plus matricea a d minus b c, 0, 0, a d minus b c.

Este egal cu matricea b c, minus a d, 0, 0, b c, minus a d, plus matricea a d minus b c, 0, 0, a d minus b c.

Obținem așadar matricea 0, 0, 0, 0, adică matricea nulă.

Regăsim astfel formula a la a doua, minus a plus d, în mulții cu a, plus a d minus b c, în mulții cu i doi, egal cu o doi, pentru orice matrice de tipul a, b, c, d, relație cunoscută sub numele de relația lui Hamilton-Cayley.

Am văzut că a la puterea n se calculează întocmai ca puterea unui număr real cu exponent natural.

Putem defini însă matricea a la minus 1, a la minus 2, vom vedea la capitolul matricei inversabile, pentru ce tipul de matrice putem construi matricea a la minus 1, a la minus 2 și cum le putem calcula.

Deschide transcriptul lecției: Ridicarea la putere a unei matrice →

Continuă cu testul

Test de evaluare- puterea unei matrice pătratice

Comentarii (0)

Autentifică-te pentru a lăsa un comentariu.

Niciun comentariu încă.

Alte lecții din: Puterea unei matrice pătratice

Triunghiul lui Pascal