Transcript: Ridicarea la putere a unei matrice

Știm deja ce înseamnă puterea unui număr real cu exponent număr natural sau întreg,
adică a la puterea n este a ori a ori a de n-ori pentru orice număr natural ne-n-ul și orice număr a real,
iar a la puterea minus n este egal cu 1 supra a la n pentru orice n număr natural ne-n-ul și a număr real ne-n-ul.
Ce ar putea însemna puterea unei matrice?
Fie a o matrice de tip m-n de elemente cu mulțimea numărilor complexe,
prin a pătrat am înțelege în aceeași manieră matricea a mulțită cu matricea a,
dar matricea a are m linii și n coloane.
Ne amintim regula că numărul de coloane al primului factor trebuie să fie egal cu numărul de linii al celui de-al doilea factor.
Deducem de aici egalitatea m egal cu n.
Cu alte cuvinte, puterea unei matrice poate fi calculată doar pentru matrice pătratice.
Fie acum o matrice a pătratică de ordinul n cu elemente cu mulțimea numărilor complexe.
Prin a la puterea 0 înțelegem matricea unitate de ordin n,
prin a la puterea 1 înțelegem evident matricea a,
prin a la puterea 2 înțelegem matricea a înmulțită cu matricea a.
Cum operația de mulțire a matricelor este asociativă,
putem defini și a la puterea k ca fiind produsul dintre a cu ea însăși de k-ori,
pentru orice k număr natural nenul.
Dacă matricea a este pătratică de ordinul 2 cu aceste elemente,
matricea a la pătrat înseamnă matricea a înmulțită cu ea însăși,
adică 2 înmulțit cu 2 plus 4 înmulțit cu minus 1 plus 2 înmulțit cu 4 plus 4 mulțit cu 0
plus minus 1 înmulțit cu 2 plus 0 înmulțit cu minus 1 minus 1 or 4 plus 0 or 0.
adică 4 minus 4 minus 2 plus 0, 8 plus 0 minus 4 plus 0, adică matricea 0, 8, minus 2, minus 4.
Pentru calculul matricei a la puterea 3-a, calculăm produsul a la a doua orea, adică
0 înmulțit cu 2 plus 8 înmulțit cu minus 1
0 mulțit cu 4 plus 8 înmulțit cu 0
minus 2 înmulțit cu 2 plus minus 4 înmulțit cu minus 1
minus 2 înmulțit cu 4
plus minus 4 înmulțit cu 0
adică matricea 0 plus minus 8 minus 8
0 plus 0 0 minus 4 plus 4 0 minus 8 plus 0 minus 8
Același lucru l-am fi obținut dacă am fi calculat a la a treia egal cu a
ori a
la pătrat în baza proprietății de asociativitate
a înmulțirii. Să vedem acum ce regul de calcul are puterea unei matrice. Dacă înmulțim a la k
cu matricea a la puterea p, obținem a înmulțită cu ea însăși de k-ori
înmulțit cu matricea a înmulțită cu ea însăși de p-ori, adică obținem produsul a înmulțit cu a
de k plus p-ori, adică matricea a la puterea k plus p. O primă regulă de calcul este
a la puterea k înmulțit cu a la puterea p este egal cu a la puterea k plus p pentru orice matrice a
pătratică de ordinul n și orice numere naturale k și p. Să vedem acum cum ridicăm la putere
o altă putere a unei matrici. Dacă vom calcula a la k totul la puterea p, obținem produsul a la k
ori a la k, ori a la k de p-ori, adică a la puterea k plus k plus k de p-ori, adică matricea a la puterea k înmulțit cu p.
Obținem așadar o a doua regulă de calcul și anume matricea a la puterea k totul la puterea p este egal cu a
la puterea k ori p pentru orice matrice a pătratică de ordinul n și orice k și p numere naturale.
Să calculăm acum suma a plus b totul la puterea a doua. Acest lucru este egal cu a plus b înmulțit cu suma a plus b.
Aplicând acum distributivitatea înmulțirii față de adunarea matricelor, obținem a ori a a pătrat, a or b, plus b or a și plus p or b,
adică b la puterea a doua. Dacă în plus matricile a și b sunt pătratice de ordinul n și a or b este egal cu b or a,
atunci suma a plus b la puterea a doua devine a la a doua plus 2ab plus b la pătrat,
iar produsul a la puterea m înmulțit cu b la puterea p este egal cu b la puterea p înmulțit cu a la puterea m,
ori care ar fi m și p numere naturale nenule.
În același timp are loc și relația a plus b totul la puterea p este egal cu combinări de p luate câte 0 înmulțit cu a la puterea p
plus combinări de p luate câte 1 ori a la puterea p minus 1 or b plus combinări de p luate câte 2 or a la puterea p minus 2 or b la a doua
plus combinări de p luate câte p minus 1 or a înmulțit cu b la puterea p minus 1 plus combinări de p luate câte p or b la puterea p
sau putem rescrie această expresie și sus forma sumei, sumă după i de la 0 la p din combinări de p luate câte i or a la puterea p minus i înmulțit cu b la puterea i
pentru orice p număr natural nenul, formulă cunoscută și sub numele de formula binomului lui Newton pentru matrice.
Fie acum o matrice a, pătratică de ordinul 2 cu elemente în mulțimea numerelor complexe, să calculăm expresia a la puterea a doua minus a plus d totul înmulțit cu a plus a or d minus b or c înmulțit cu i2.
Pentru acest lucru vom începe prin a calcula a la a doua, adică a la puterea a doua plus b înmulțit cu c, a or b plus b or d, c or a plus d or c, c or b plus d la pătrat.
Vom calcula apoi matricea a plus d înmulțit cu a, adică matricea a la a doua plus a or d, a b plus b d, a c plus d c, a d plus d la a doua.
Și în sfârșit matricea a or d minus b or c totul înmulțit cu i2, adică a d minus b c, 0, 0, a d minus b c.
Înlocuind acum în relația a la a doua minus a plus d mulțit cu a plus a or d minus b c mulțit cu i2, obținem a la a doua plus b c, a d plus b d, c a plus d c, c b plus d la a doua,
minus matricea a la a doua plus a d, a b plus b d, a c plus c d, a d plus d la a doua, plus matricea a d minus b c, 0, 0, a d minus b c.
Vom efectua întâi scăderea primelor două matrice și anume a la a doua plus b c, minus a la a doua plus a d, a b plus b d, minus a b plus b d, c a plus d c, minus a c plus d c.
C b plus d la a doua, minus a d plus d la a doua, plus matricea a d minus b c, 0, 0, a d minus b c.
Este egal cu matricea b c, minus a d, 0, 0, b c, minus a d, plus matricea a d minus b c, 0, 0, a d minus b c.
Obținem așadar matricea 0, 0, 0, 0, adică matricea nulă.
Regăsim astfel formula a la a doua, minus a plus d, în mulții cu a, plus a d minus b c, în mulții cu i doi, egal cu o doi, pentru orice matrice de tipul a, b, c, d, relație cunoscută sub numele de relația lui Hamilton-Cayley.
Am văzut că a la puterea n se calculează întocmai ca puterea unui număr real cu exponent natural.
Putem defini însă matricea a la minus 1, a la minus 2, vom vedea la capitolul matricei inversabile, pentru ce tipul de matrice putem construi matricea a la minus 1, a la minus 2 și cum le putem calcula.