Înmulțirea matricelor cu scalari

$Definiție. Fie A\in {\mathcal{M}}_{m,n}\left(\mathrm{ℂ}\right), k\in \mathrm{ℂ}.$

Numim produsul matricei A cu scalarul k, matricea

$B \in {\mathcal{M}}_{m,n}\left(\mathrm{ℂ}\right), unde b_{ij}=k·a_{ij}, \forall i\in \left\{1,2,...,m\right\}, \forall j\in \left\{1,2,...,n\right\}$.

Matricea B= k A.

Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari

 $1. 1·A=A, \forall A\in {\mathcal{M}}_{m,n}\left(\mathrm{ℂ}\right).$

$2. \alpha (\beta A)= \left(\alpha \beta \right) A, \forall \alpha ,\beta \in \mathrm{ℂ}, \forall A\in {\mathcal{M}}_{m,n}\left(\mathrm{ℂ}\right).$

$3. (\alpha +\beta ) A= \alpha A+\beta A, \forall \alpha ,\beta \in \mathrm{ℂ}, \forall A\in {\mathcal{M}}_{m,n }\left(\mathrm{ℂ}\right).$

$4. \alpha (A+B)= \alpha A+ \alpha B, \forall \alpha \in \mathrm{ℂ}, \forall A, B \in {\mathcal{M}}_{m,n}\left(\mathrm{ℂ}\right).$

$5. \alpha A=O_{m,n}\iff \alpha =0 sau A=O_{m,n}.$