Înmulțirea matricelor cu scalari

Să considerăm următoarea situație practică. Un distribuitor de produse farmaceutice aprovizionează farmacieile F1, F2, F3 cu produsele P1, P2, P3.

Datorită unor promoții, solicitarea farmaciilor pentru aceste produse s-a dublat. Primului tabel matricial îi corespunde matricea A,

iar celui de-al doilea tabel matricial îi corespunde matricea B. Observăm că elementele matricei B sunt obținute din elementele matricei A îmulțite cu 2.

600 este egal cu 300 ori 2, 1000 este egal cu 500 ori 2, motiv pentru care putem nota că matricea B este egal cu 2 ori matricea A.

Putem formula următoarea definiție. Fie A o matrice de tipul MN cu elemente din mulțimea numerilor complexe și K un număr complex.

Numim produsul matricei A cu scalarul K matricea B de tipul MN, unde fiecare element al matricei B se obține din elementele matricei A, mulțindu-le cu scalarul K.

Matricea B se notează cu K mulțită cu matricea A, iar operația prin care fiecarei perechi K-A îi asociem matricea K-A se numește operație de mulțire a matricelor cu scalari.

Drept exemplu, să înmulțim matricea A egală cu 2, 1, minus 5, 2, 4, 0, o matrice de tipul 3, 2 cu elemente din Z, să o înmulțim cu numărul 3.

Matricea 3A se obține din elementele matricei A, înmulțindu-le cu numărul 3, adică 3 ori 2, 3 ori 1, 3 ori minus 5, 3 ori 2, 3 ori 4, 3 ori 0.

Obținem așadar matricea 6, 3, minus 15, 6, 12, 0.

Ar fi interesant de știut care sunt proprietățile acestei operații.

Dacă vom considera matricile A și B de tipul 2, 3 cu elemente din mulțimea numerelor complexe, unde A este egală cu 2, minus 1, 0, minus 3, 1, minus 2, iar matricea B este 1, 1, minus 2, 2, minus 1, 4.

Ce obținem dacă vom înmulți matricea A cu numărul 1?

1 ori matricea A înseamnă 1 ori 2, 1 ori minus 1, 1 ori 0, 1 ori minus 3, 1 ori 1, 1 ori minus 2.

Adică matricea cu elementele 2, minus 1, 0, minus 3, 1, minus 2.

Adică exact matricea A.

Obținem astfel egalitatea 1 ori A egal cu A.

Iar dacă înlocuim matricea A cu oricare altă matrice de orice tip, relația rămâne adevărată.

Reținem astfel proprietatea pe 1.

1 ori matricea A este egală cu matricea A, oricare ar fi matricea A de tipul MN cu elemente din mulțimea numerelor complexe.

Cu alte cuvinte, elementul 1 este element neutru pentru mulțirea matricelor cu scalari.

Fie acum alfa și beta, două numere complexe.

Să calculăm matricea alfa îmulțită cu matricea beta ori A.

Obținem matricea alfa îmulțită cu beta ori 2, beta ori minus 1, beta ori 0, beta ori minus 3, beta ori 1 și beta ori minus 2.

Obținem matricea alfa ori 2 beta, minus beta, 0, minus 3 beta, beta și minus 2 beta.

Adică matricea 2 alfa beta, minus alfa beta, 0, minus 3 alfa beta, alfa beta și minus 2 alfa beta.

Dacă vom calcula acum matricea alfa beta ori matricea A, obținem alfa beta ori 2, alfa beta ori minus 1, alfa beta ori 0, alfa beta ori minus 3, alfa beta ori 1 și alfa beta ori minus 2.

Adică matricea 2 alfa beta, minus alfa beta, 0, minus 3 alfa beta, alfa beta și minus 2 alfa beta.

Comparând acum cele două matrice, deducem egalitatea alfa îmulțit cu matricea beta ori A este egal cu alfa ori beta ori matricea A.

Dacă înlocuim matricea A cu oricare matrice de orice tip, această relație rămâne adevărată.

Putem formula o a doua proprietate, P2, și anume alfa îmulțit cu beta ori A este egal cu alfa ori beta totul îmulțit cu matricea A,

oricare ar fi A, o matrice de tipul M, N cu elemente în mulțimea numerilor complexe și oricare ar fi alfa și beta numere complexe.

Îți propun să calculăm acum matricea alfa plus beta îmulțit cu matricea A.

Oținem matricea alfa plus beta îmulțit cu 2, alfa plus beta îmulțit cu minus 1, alfa plus beta îmulțit cu 0,

alfa plus beta îmulțit cu minus 3, alfa plus beta îmulțit cu 1, alfa plus beta îmulțit cu minus 2.

Oținem așadar matricea 2 alfa plus 2 beta, aplicând distributivitatea îmulțirii numelor complexe față de adunarea numerelor complexe,

minus alfa minus beta, 0, minus 3 alfa minus 3 beta, alfa plus beta, minus 2 alfa minus 2 beta.

Să calculăm acum și matricea alfa a plus beta orea, obținând matricea 2 alfa minus alfa, 0, minus 3 alfa, alfa, minus 2 alfa,

plus matricea 2 beta minus beta, 0, minus 3 beta, beta, minus 2 beta.

Adunăm acum elementele corespunzătoare din cele două matrice și obținem matricea 2 alfa plus 2 beta, minus alfa minus beta, 0,

minus 3 alfa minus 3 beta, alfa plus beta, minus 2 alfa minus 2 beta.

Comparând acum elementele celor două matrice, observăm că ele sunt egale, ceea ce ne permite să afirmăm că și cele două matrice sunt egale,

adică alfa plus beta ori matricea a este egal cu alfa orea plus beta orea.

Dacă înlocuim acum matricea a în această egalitate cu oricare matrice de orice tip, propoziția rămâne adevărată.

Avem astfel și o a treia proprietate, P3, alfa plus beta ori matricea a este egal cu alfa ori a plus beta ori a,

oricare ar fi a o matrice de tipul MN cu elemente din mulțimea numerelor complexe și oricare ar fi alfa și beta, două numere complexe.

Această proprietate poate fi reformulată și astfel, înmulțirea matricelor cu scalar este distributivă față de adunarea numerelor complexe.

Dar oare mulțirea matricelor cu scalar este distributivă față de adunarea matricelor?

Să calculăm matricea alfa îmulțit cu a plus b.

Obținem matricea alfa ori 2 plus 1 minus 1 plus 1, 0 plus minus 2 minus 3 plus 2, 1 plus minus 1 minus 2 plus 4,

adică alfa îmulțit cu matricea 3, 0, minus 2, minus 1, 0, 2, adică matricea 3 ori alfa, 0, minus 2 ori alfa, minus alfa, 0 și 2 alfa.

Dacă vom calcula acum matricea alfa ori a plus alfa ori b, obținem matricea 2 alfa, minus alfa, 0, minus 3 alfa, alfa, plus matricea alfa, alfa, minus 2 alfa, 2 alfa, minus alfa, 4 alfa,

adică matricea 2 alfa, plus alfa, minus alfa, plus alfa, 0, minus 2 alfa, minus 3 alfa, plus 2 alfa, alfa, minus alfa, minus 2 alfa, plus 4 alfa.

Obținem astfel matricea 3 alfa, 0, minus 2 alfa, minus alfa, 0, 2 alfa.

Comparând din nou elementele celor două matrice, observăm că ele sunt egale, dar și matricele calculate sunt egale, adică alfa îmulțit cu a plus b este egal cu alfa ori a plus alfa ori b.

Egalitatea se păstrează și dacă înlocuim matricile a și b cu oricare alte două matrice, dar de același tip, pentru a putea efectua adunarea.

Avem acum răspuns afirmativ la ultima întrebare, formulând a patra proprietate.

Proprietatea 4, alfa îmulțit cu a plus b este egal cu alfa ori a plus alfa ori b, oricare ar fi a și b două matrice de tipul m, n, cu elemente în mulțimea numerelor complexe, și oricare ar fi alfa, un număr complex.

Fie acum o matrice C de tipul m, n, cu elemente în mulțimea numerelor complexe, și alfa, un număr complex.

Produsul alfa ori C este, de fapt, produsul numărului alfa cu fiecare element al matricei C. Egalând produsul alfa C cu matricea nulă de tipul m, n, obținem egalitățile alfa CIJ egal cu 0,

ceea ce înseamnă orică alfa este 0 sau elementele CIJ ale matricei C sunt 0. Acest raționament ne oferă ultima proprietate, P5.

Matricea alfa A este egală cu matricea nulă de tipul m, n, dacă și numai dacă ori alfa egal cu 0, ori matricea A este matricea nulă de tipul m, n.

Să rezolvăm acum următorul exercițiu. Fie matricele A, B și C, trei matrice pătratice de ordinul 2 cu elemente în numere complexe.

Să determinăm matricea A plus 2 ori B și apoi să determinăm parametrul k, număr real, astfel încât matricea A plus k ori matricea C să fie egală cu matricea B.

Pentru primul subpunct, să calculăm întâi matricea 2 ori B, adică 2 îmulțit cu matricea 7, 3, minus 3, minus 2, adică 2 ori 7, 2 ori 3, 2 ori minus 3, 2 ori minus 2, obținând matricea 14, 6, minus 6, minus 4.

Calculăm acum suma A plus 2B, înlocuind matricea A, 1, minus 1, 3, 2, plus matricea 2B, adică 14, 6, minus 6, minus 4.

Adunăm elementele corespunzătoare din cele două matrice, 1 plus 14, minus 1, plus 6, 3 plus minus 6, 2 plus minus 4, obținând matricea 15, 5, minus 3, minus 2.

Pentru rezolvarea subpunctului B al acestui exercițiu, putem proceda în două moduri, și anume, putem efectua întâi produsul k ori C, obținând matricea 3k, 2k, minus 3k, minus 2k.

Calculăm suma A plus k ori C, adică 1, minus 1, 3, 2, adunată cu matricea 3k, 2k, minus 3k, minus 2k, obținând matricea 1, plus 3k, minus 1, plus 2k, 3, minus 3k, 2, minus 2k.

Egalând acum această matrice cu matricea B, obținem egalitățile 1 plus 3k este egal cu 7, 3 minus 3k este egal cu minus 3, minus 1 plus 2k este egal cu 3, 2 minus 2k este egal cu minus 2.

Egoații care au ca soluție pe k egal cu 2 sau putem rezolva acest subpunct și în modul următor. Pornind de la egalitatea A plus k ori C egal cu B, determinăm matricea k ori C ca diferență dintre matricile A și B, adică 7, 3, minus 3, minus 2, minus matricea 1, minus 1, 3, 2,

adică matricea 7, minus 1, 3, minus, minus 1, minus 3, minus 3, minus 2, minus 2, adică matricea 6, 4, minus 6, minus 4.

Dar înlocuind acum în această egalitate și matricea C, obținem egalitatea k ori 3, 2, minus 3, minus 2 este egal cu matricea 6, 4, minus 6, minus 4.

Observăm că egalitatea celor două matrice are loc numai în cazul în care k este egal cu 2.