Tabel matriceal. Matrice. Mulțimi de matrice

Definiție. Fie m,n numere naturale nenule. Se numește matrice cu m linii și n coloane (matrice de tip (m,n)) cu elemente numere complexe, o funcție f : {1,2,...,m} x {1,2,...,n}→ C

$f ((i, j)) = a_{i j} \in ℂ .$

Valorile funcției f se numesc elementele matricei A și se reprezintă sub forma unui tablou

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & . . . & a_{1 j} & . . . & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & . . . & a_{2 j} & . . . & a_{2 n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{i 1} & a_{i 2} & . . . & a_{i j} & . . . & a_{i n} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ a_{m 1} & a_{m 2} & . . . & a_{m j} & . . . & a_{m n} \end{matrix})$

Matricea A se mai notează

$A = (a_{i j})_{\begin{matrix} 1 \leq i \leq m \\ 1 \leq j \leq n \end{matrix}}, A = (a_{i j})_{m x n}$

Mulțimea matricelor de tipul (m,n) cu elemente numere complexe se notează cu

$M_{m, n} (ℂ) .$

Cazuri particulare de matrice:

1. Dacă m=1, matricea A se numește matrice linie

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & . . . & a_{1 j} & . . . & a_{1 n} \end{matrix})$

2. Dacă n=1, matricea A se numește matrice coloană

$A = (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ . . . \\ a_{i 1} \\ . . . \\ a_{m 1} \end{matrix})$

3. Dacă m=n, matricea se numește matrice pătratică de ordinul n.

În cazul matricelor pătratice, se numește diagonală principală a matricei A mulțimea ordonată

$(\begin{matrix} a_{11}, & a_{22}, & . . . & a_{n n} \end{matrix})$

Tot pentru matricele pătratice, se numește diagonală secundară a matricei A , mulțimea ordonată

$(\begin{matrix} a_{1 n}, & a_{2 n - 1}, & . . ., & a_{n 1} \end{matrix})$

Suma elementelor de pe diagonala principală a matricei A se numește urma matricei A și se notează cu Tr(A).

4. Dacă toate elementele unei matrice sunt egale cu zero, matricea se numește matrice nulă și se notează cu

$O_{m, n}$

Definiție. Două matrice A și B se numesc matrice egale, dacă

$a_{i j} = b_{i j}, \forall i \in \{1, 2, . . ., m\}, j \in \{1, 2, . ., n\}, A, B \in M_{m, n} (ℂ) .$

Proprietăți ale relației de egalitate a matricelor:

1. Proprietatea de reflexivitate

$A = A, \forall A \in M_{m, n} (ℂ)$

2. Proprietatea de simetrie

$D a c ă A = B, a t u n c i B = A, \forall A, B \in M_{m, n} (ℂ) .$

3. Proprietatea de tranzitivitate

$D a c ă A = B ș i B = C, a t u n c i A = C, \forall A, B, C \in M_{m, n} (ℂ) .$