Proprietăți ale înmulțirii matricelor

Ți-a plăcea să știi ce proprietăți are această operație?

Să vedem dacă înmulțirea matricelor este o operație comutativă.

Dacă ne referim la matricele de mai sus, matrice A este de tipul 3-2, matrice B este de tipul 2-3,

ceea ce înseamnă că se poate efectua și operația B ora A.

Pentru calculul matricei B ora A, vom scrie explicit matricele B, respectiv A,

minus 1, 4, 0, 3, minus 2, minus 3, înmulțit cu matricea 1, 2, minus 2, 0, 4, minus 1

și înmulțim în același mod lineile matricei B cu coloanele matricei A.

Obținem așadar matricea minus 1 ori 1, plus 4 ori minus 2, plus 0 ori 4, minus 1 ori 2, plus 4 ori 0, plus 0 ori minus 1.

Pentru linia a doua efectuăm calculele 3 ori 1, plus minus 2 ori minus 2, plus minus 3 ori 4,

3 înmulțit cu 2, plus minus 2 înmulțit cu 0, plus minus 3 înmulțit cu minus 1.

Adică matricea minus 1, minus 8, plus 0, minus 2, plus 0, plus 0, 3, plus 4, minus 12, 6, plus 0, plus 3.

Adică matricea minus 9, minus 2, minus 5 și 9.

Observăm că matricea A or B este diferită de matricea B ora A, nefiind nici măcar de același tip.

Chiar dacă cele două matrice A or B și B ora A sunt de același tip, există situații în care ele sunt diferite,

după cum există situații în care nici nu se poate efectua înmulțirea.

Spre exemplu, dacă matricea A ar fi fost de tipul 2-3, iar matricea B ar fi fost de tipul 3-4,

matricea A or B ar fi fost de tipul 2-4, iar produsul B ora A nu se poate efectua,

pentru că matricea B are patru coloane, iar matricea A are două linii.

În concluzie, înmulțirea matricelor nu este o operație comutativă.

Să studiem acum dacă înmulțirea matricelor este o operație asociativă.

Să considerăm matricele A, B și C pătratece de ordinul 2.

Să calculăm pentru început produsul A or B, iar rezultatul îl vom înmulți cu matricea C.

Înmulțim lineile matricei A cu coloanele matricei B, adică A or E plus B or G, A or E plus B or H,

C or E plus D or G, C or F plus D or H, înmulțit cu matricea M, N, P, Q.

Înmulțim acum elementele produsului A or B cu coloanele matricei C.

Să vedem acum ce rezultat obținem la înmulțirea matricei A cu produsul B or C.

Înmulțim matricea A, B, C, D cu matricea E or M plus F, P, E, N plus F, Q,

G, M plus H, P, G, N plus H, Q, adică A, E, M plus A, F, P plus B, G, M plus D plus B, H, P.

Linea 1, coloana 2. E, A, N plus A, F, Q plus B, G, N plus B, H, Q.

Înmulțim acum linia 2 cu coloana 1, adică C, E, M plus C, F, P plus D, G, M, D, H, P.

Linia 2, coloana 2. C, E, N plus C, F, Q plus D, G, N plus D, H, Q.

Comparând acum cele două matrice, constatăm că acestea sunt egale.

Deci și matricele sunt egale.

Avem astfel egalitatea A înmulțit cu B totul înmulțit cu C este egal cu A înmulțit cu B înmulțit cu C.

Dacă înlocuim acum matricele A, B și C cu oricare alte matrice cu condiția ca înmulțirea să poată fi efectuată, egalitatea se păstrează.

Așadar, înmulțirea matricelor este o operație asociativă.

Putem formula acum proprietatea P1.

Matricea A înmulțită cu matricea B totul înmulțit cu matricea C este egal cu produsul dintre matricea A și produsul dintre matricele B și C,

oricare ar fi matricea A de tipul MN, matricea B de tipul NP și matricea C de tipul PQ.

Știm că operația de înmulțire a numerelor complexe are ca element neutru numărul 1.

Oare operația de înmulțire a matricelor ar putea admite un element neutru?

Fie o matrice A de tipul MN.

O matrice care să poată fi înmulțită la stânga lui A ar trebui să aibă M coloane, iar o matrice care să poată fi înmulțită la dreapta lui A ar trebui să aibă N linii.

Să notăm cu E matricea element neutru ar trebui să fie o matrice de tipul NM.

Un element neutru are proprietatea că înmulțit la stânga și la dreapta cu matricea A îl lasă neschimbat, adică A înmulțit cu E ar trebui să fie egal cu E înmulțit cu A și egal cu A pentru orice matrice A de tipul MN.

Cu matricea A este de tipul MN și matricea E este de tipul NM, deducem că produsul A or E este o matrice de tipul MN.

Cu matricea E este de tipul NM și matricea A este de tipul MN, deducem că produsul E or A este o matrice de tipul NN.

Cele două matrice A, E, respectiv EA trebuie să fie egale cu matricea A, astfel obținem egalitatea că M trebuie să fie egal cu N.

În concluzie, un posibil element neutru trebuie să fie o matrice pătratică de ordini N, dar și matricele pentru care ne punem problema existenței elementului neutru trebuie să fie pătratice de ordini N.

Dar ce matrice ar putea joca rolul elementului neutru?

Fie a o matrice pătratică de ordinul 2 cu elementele 1, 2, 3, 4, căutăm o matrice E care să joace rolul elementului neutru de forma ABCD.

Efectuăm produsul A or E înmulțind liniile matricei A cu coloanele matricei B, obținând matricea A plus 2C, B plus 2D, 3A plus 4C, respectiv 3B plus 4D,

care matrice trebuie să fie egală cu matricea A. Două matrice sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale.

Obținem astfel egalitățile A plus 2C este egal cu 1, respectiv 3A plus 4C este egal cu 3.

Rezolvând acest sistem prin metoda reducerii, putem înmulți prima ecuație cu minus 2, reducând necunoscuta C.

Obținem necunoscuta A ca fiind egală cu 1. Înlocuind acum această valoare în prima ecuație, îl obținem și pe C egal cu 0.

Similar, obținem egalitățile B plus 2D este egal cu 2, respectiv 3B plus 4D este egal cu 4.

Rezolvând acum sistemul tot prin metoda reducerii, înmulțind prima ecuație cu minus 2, adunând cele două ecuații obținute,

obținem necunoscuta B ca fiind egală cu 0. Înlocuind-o, de asemenea, în prima ecuație, obținem ecuația 0 plus 2D egal cu 2,

care ne-l oferă și pe D. Așadar, obținem matricea E ca fiind egală cu matricea 1, 0, 0, 1.

Ați putea verifica dacă produsul E îmulțit cu A este egal tot cu A.

Dacă înlocuim acum matricea A cu oricare altă matrice pătratică de ordinul 2, obținem ca un posibil element neutru tot această matrice.

Așadar, matricea care joacă rolul elementului neutru la înmulțirea matricelor pătratice este această matrice.

Matricea care are pe prima diagonală 1, iar în rest 0-uri.

Matricea aceasta o notăm cu I2, pentru că este de ordinul 2, și o numim matrice unitate sau matrice identică de ordinul 2.

Dacă vorbim de matricea pătratică de ordinul 3, ea are această formă, 1 pe prima diagonală și 0-uri în rest.

Aceasta este matricea unitate de ordinul 4 și aceasta este matricea unitate de ordinul N.

Așadar, avem proprietatea P2, matricea A înmulțită cu matricea IN este egală cu matricea IN ori matricea A și egal cu matricea A,

oricare ar fi matricea A, o matrice pătratică de ordinul N.

Știm deja că există o proprietate de legătură între adunarea și înmulțirea numerilor reale,

adică x înmulțit cu y plus z este egal cu x ori y plus x or z, oricare ar fi x, y, z numere reale.

Este vorba de distributivitatea înmulțirii numerilor reale față de adunarea numerilor reale.

Oare există o proprietate similară și pentru matrice?

Să considerăm 3 matrice pătratice de ordinul 2 cu elemente din mulțimea numerilor reale.

Să calculăm matricea A înmulțit cu suma dintre matricea B și matricea C,

adică matricea A înmulțită cu 1 plus 2, 0 plus minus 1, 3 plus minus 1, 4 plus 3.

Vom înmulți acum liniile matricei A cu coloanele matricei B plus C,

adică matricea A înmulțită cu matricea 3, minus 1, 2, 7.

Vom înmulți acum liniile matricei A cu coloanele matricei B plus C,

2 înmulțit cu 3, plus 1 înmulțit cu 2, 2 înmulțit cu minus 1, plus 1 înmulțit cu 7,

minus 1 înmulțit cu 3, plus 2 înmulțit cu 2, minus 1 înmulțit cu minus 1, plus 2 înmulțit cu 7,

adică matricea 6 plus 2, minus 2 plus 7, minus 3 plus 4, 1 plus 14.

Obținem așadar matricea 8, 5, 1, 15.

Să calculăm acum matricea A înmulțit cu B plus A înmulțit cu C,

adică înmulțim liniile matricei A cu coloanele matricei B,

2 ori 1 plus 1 ori 3, linia 1 coloana 2, 2 ori 0 plus 1 ori 4,

linia 2 coloana 1, minus 1 ori 1 plus 2 ori 3, linia 2 coloana 2, minus 1 ori 0 plus 2 ori 4,

plus, înmulțim acum liniile matricei A cu coloanele matricei C,

2 ori 2 plus 1 ori minus 1, 2 ori minus 1 plus 1 ori 3,

linia 2 coloana 1, minus 1 ori 2 plus 2 ori minus 1,

linia 2 coloana 2, minus 1 ori minus 1 plus 2 ori 3,

adică, efectuând calculele, 2 plus 3, 0 plus 4, minus 1 plus 6, 0 plus 8,

plus matricea 4 minus 1, minus 2 plus 3, minus 2 minus 2, 1 plus 6,

adică avem matricea 5, 4, 5, 8.

Adunată cu matricea 3, 1, minus 4, 7, obținem așadar matricea 8, 5, 1, 15.

Comparând acum cele două matrice, observăm că ele sunt egale,

obținând așadar relația A înmulțit cu B plus C este egal cu A înmulțit cu B plus A înmulțit cu C.

Această egalitate poate fi generalizată formulând proprietatea 3.

A înmulțit cu B plus C este egal cu A înmulțit cu B plus A înmulțit cu C,

oricare ar fi matricea A de tipul M, N și oricare ar fi matricele B și C de tipul N, B.

Dar și relația B plus C înmulțit cu A este egal cu B ori A plus C ori A,

oricare ar fi matricele B și C de tipul M, N și oricare ar fi matricea A de tipul N, B.

Putem vorbi așadar de distributivitatea la stânga a înmulțirii față de adunarea matricelor,

dar și de distributivitatea la dreapta a înmulțirii față de adunarea matricelor.

Ce legătura ar putea exista între înmulțirea matricelor și înmulțirea matricelor cu scalari?

Dacă ne referim la matricile A și B precedente,

α înmulțit cu produsul A or B este egal cu,

matricea A or B o avem aici, este egal cu 5α, 4α, 5α, 8α.

Calculând acum α or A înmulțit cu matricea B,

α or A înmulțim elementele matricei A cu α,

adică 2α, α, minus-alfa, 2α, înmulțit cu matricea B, 1, 0, 3, 4.

Înmulțim elementele matricei A cu coloanele matricei B,

adică 2α plus 3α, linia 1, coloana 2,

2α or 0, 0, α or 4, 4α, minus-alfa or 1, minus-alfa,

2α or 3, 6α, minus-alfa or 0, 0, 2α or 4, 8α,

adică matricea 5α, 4α, 5α și 8α.

Dacă vom calcula acum și matricea A înmulțit cu matricea alfa B,

înseamnă să înmulțim matricea 2, 1, minus-1, 2

cu matricea alfa B, adică α, 0, 3α, 4α.

Înmulțim lineile matricei A cu coloanele matricei alfa B

și obținem matricea 2α plus 3α, 2 or 0, 0, plus-1 or 4α, 4α,

minus-1 or alfa, minus-alfa, 2 or 3α, 6α, minus-1 or 0, 0,

2 or 4α, 8α, adică matricea 5α, 4α, 5α, 8α.

Observăm că alfa or matricea A or B este egală cu matricea alfa A înmulțită cu B

și este egală cu matricea A înmulțită cu matricea alfa B.

Egalitate care se păstrează și în cazul în care înlocuim matricele A, B

cu oricare altă matrice pentru care înmulțirea este posibilă.

Putem formula OA4-a proprietate pe 4 și anume alfa înmulțită cu produsul A or B

este egal cu alfa or A înmulțit cu matricea B

și este egal cu matricea A înmulțit cu produsul alfa or B.

Oricare ar fi A o matrice de tipul MN, B o matrice de tipul NP și alfa un număr complex.