Semnul produsului a două permutări

Pentru a putea găsi o exprimare a semnului produsului a două permutări, vom părni de la următorul exemplu.

Să considerăm sigma o permutare de grad 4.

Sigma e egal cu 1, 2, 3, 4, cu imaginele 3, 1, 4, 2.

Vom considera următoarele produse.

Sigma de 2 minus sigma de 1, supra 2, minus 1.

Sigma de 3 minus sigma de 1, totul supra 3, minus 1.

Sigma de 4 minus sigma de 1, totul supra 4, minus 1.

Sigma de 3 minus sigma de 2, totul supra 3, minus 2.

Sigma de 4 minus sigma de 2, totul supra 4, minus 2.

Înmulțit cu sigma de 4 minus sigma de 3, totul supra 4, minus 3.

Acest produs, în cazul acestei permutări, ia următoarea valoare.

Sigma de 2 este 1, sigma de 1 este 3, adică 1 minus 3, supra 2, minus 1.

Sigma de 3 este 4, iar sigma de 1 este 3, deci 4, minus 3, supra 3, minus 1.

Sigma de 4 este 2, iar sigma de 1 este 3, deci 2, minus 3, supra 4, minus 1.

Sigma de 3 este 4, sigma de 2 este 1, 4, minus 1, supra 3, minus 2.

Sigma de 4 este 2, sigma de 2 este 1, 2, minus 1, supra 4, minus 2.

Sigma de 4 este 2, iar sigma de 3 este 4, deci 2, minus 4, supra 4, minus 3.

Observăm următorul lucru.

Fiecare dintre numărătorii acestor 5 fracții se regăsesc prin trenumitorii acestei fracții, cu excepția unui semn.

În concluzie, diferența 1 minus 3 se regăsește la numitorul fracției următoare, dar este de semn schimbat.

Se pot simplifica aceste expresii obținând la unul dintre factori minus 1.

De asemenea, 4 minus 3 se poate simplifica cu 4 minus 3, 2 minus 3 se simplifică la fel cu 3 minus 2, rămânând aici minus 1,

4 minus 1 cu 4 minus 1, 2 minus 1 cu 2 minus 1, iar 4 minus 2 cu 2 minus 4, rămânând aici minus 1.

Avem produsul minus 1 ori minus 1 ori minus 1, adică minus 1 la puterea 3-a minus 1.

Pe de altă parte, inversiunile acestei permutări sunt următoarele.

Perechea 1-2 face inversiune pentru că 3 este mai mare decât 1.

Perechea 1-3 nu face inversiune pentru că 3 este mai mic decât 4.

1-4 da, pentru că 3 este mai mare decât 2.

2 nu face inversiune nici cu 3, nici cu 4.

În schimb, mai avem inversiunea 3-4.

În total, m de sigma este egal cu 3.

Epsilon de sigma este minus 1 totul la puterea a 3-a.

Dacă am generaliza pentru o permutare sigma din ESM, se poate demonstra

epsilon de sigma, de fapt, este un produs de fracții de tipul acesta,

adică un produs după 1 mai mic sau egal decât i,

mai mic decât j, mai mic sau egal decât n,

din fracții de forma sigma de j minus sigma de i

supra j minus i.

Folosind această relație, să încercăm să găsim o expresie

a semnului produsului a două permutări.

Epsilon de sigma ori delta ar fi un produs

după 1 mai mic sau egal decât i,

mai mic stric decât j, mai mic sau egal decât n,

sigma de delta de j minus sigma de delta de i,

j minus i.

Acest produs îl putem exprima și astfel,

1 mai mic sau egal decât i,

mai mic decât j, mai mic sau egal decât n,

sigma de delta de j minus sigma de delta de i

supra delta de j minus delta de i.

Înmulțit cu fracția delta de j minus delta de i

supra j minus i.

Observați că fracția inițială nu s-a modificat

prin inserarea acestei diferențe.

În schimb, folosind faptul că mulțirea numelor reale

este o operație asociativă,

acest produs îl putem rescrie astfel,

produs după 1 mai mic sau egal decât i,

mai mic decât j, mai mic sau egal decât n,

din sigma de delta de j minus sigma de delta de i

supra delta de j minus delta de i.

Înmulțit cu produs după 1 mai mic sau egal decât j,

mai mic sau egal decât n,

din delta de j minus delta de i

supra j minus i.

Păi, primul produs nu reprezintă altceva decât

epsilon de sigma,

iar cel de-al doilea produs

nu reprezintă altceva decât epsilon de delta.

Am obținut astfel relația

epsilon de sigma ori delta

este egal cu epsilon de sigma

îmulțit cu epsilon de delta.

Cum sigma ori sigma la minus 1

este permutarea identică,

epsilon de sigma ori epsilon de sigma la minus 1

este egal cu 1,

adică nu pot fi decât ambele 1 sau minus 1.

Epsilon de sigma este egal cu epsilon de sigma la minus 1.

Am văzut că o permutare poate fi pară sau impară.

Ar fi interesant să știm câte permutări pare sau impare există în ESM.

Să notăm cu a indice ien mulțimea permutărilor pare.

Cum ESN era mulțimea tuturor permutărilor,

ESN minus a ien reprezintă mulțimea permutărilor impare.

Dacă vom considera sigma o permutare pară,

deci o permutare din a indice ien,

produsul dintre transpoziția ij și sigma

este o permutare impară,

deci aparține lui ESN minus a ien.

Funcția care asociază permutării sigma

Permutarea delta ij ori sigma

este o funcție definită pe mulțimea a ien

cu valori în mulțimea ESN minus a ien.

Această funcție este o funcție bijectivă.

Fiind o funcție bijectivă,

cardinalul mulțimii a ien

este egal cu cardinalul mulțimii ESN minus a ien.

Cum cardinalul lui ESN este ien factorial,

deducem astfel că

numărul permutărilor pare

este ien factorial supra 2

și este egal cu numărul permutărilor impare.