Forma algebrică a numerelor complexe

Forma algebrică a unui număr complex este:

$z = a + b i, a, b \in ℝ, i^{2} = - 1 .$

Numărul real a se numește partea imaginară a numărului complex și se scrie a = Re(z).

Numărul real b se numește partea imaginară și se notează b = Im(z).

Numărul i se numește unitate imaginară.

Operații cu numere complexe

$z = a + b i, z ` = c + d i, a, b, c, d \in ℝ .$

Adunarea:

$z + z ` = (a + c) + (b + d) i$

Scăderea:

$z - z ` = (a - c) + (b - d) i$

Înmulțirea:

$z \cdot z ` = (a + b i) \cdot (c + d i) = a c - b d + (a d + b c) i$

Puterile numărului i

$i^{4 k} = 1 i^{4 k + 1} = i i^{4 k + 2} = - 1 i^{4 k + 3} = - i .$

Conjugatul unui număr complex

Dacă z = a+bi este un număr complex, atunci conjugatul lui z este numărul:

$\bar{z} = a - b i .$

Proprietăți ale numerelor complexe conjugate:

$a) z + \bar{z} \in ℝ b) z \cdot \bar{z} \in ℝ . c) \bar{z + z `} = \bar{z} + \bar{z `} d) \bar{z \cdot z `} = \bar{z} \cdot \bar{z `} e) \bar{(\frac{z}{z `})} = \frac{\bar{z}}{\bar{z `}} f) \bar{z^{n}} = {(\bar{z})}^{n} g) \bar{\bar{z}} = z .$

Observație. Pentru a demonstra că un număr complex z este real, arătăm că numărul z este egal cu conjugatul său.

$z \in ℝ \Leftrightarrow z = \bar{z} .$

Raportul a două numere complexe

Pentru a calcula raportul a două numere complexe, se amplifică fracția cu conjugatul numitorului.

Modulul unui număr complex

Dacă z = a+bi este un număr complex, atunci modulul lui z este numărul real pozitiv:

$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$

Proprietăți ale modulului:

$a) |z| \geq 0, \forall z \in ℂ b) |z| = 0 \Leftrightarrow z = 0 c) |z| = |\bar{z}| d) {|z|}^{2} = z \cdot \bar{z} e) |z \cdot z `| = |z| \cdot |z `| f) |\frac{z}{z `}| = \frac{|z|}{|z `|}, z ` \neq 0 g) |z^{n}| = {|z|}^{n} h) |z + z `| \leq |z| + |z `| .$