Proprietățile logaritmilor (aplicații)

În această secvență vom rezolva câteva exerciții folosind proprietățile logaritmilor pe care își vream mai întâi să le reamintim.

Logaritmul în baza a din a este 1, logaritmul în baza a din 1 este 0, logaritmul în baza a din a la n este n,

apoi logaritmul 1-ui produs este egal cu suma logaritmilor factorilor, logaritmul 1-ui raport este egal cu diferența dintre logaritmul numărătorului și cel al numitorului,

logaritmul în baza a din x la n este egal cu n logaritmul în baza a din x, deci exponentul trece în fața logaritmului,

iar formula de schimbare a bazii logaritmului este următoarea, logaritmul în baza a din x este egal cu logaritmul în baza b din x supra logaritmul în baza b din a.

Și acum să rezolvăm acest exercițiu, logaritmul în baza 5 din 8 minus logaritmul în baza 5 din 8 supra 125.

Mai întâi vom exprima logaritmul acestui raport folosind această proprietate, deci vom avea logaritmul în baza 5 din 8 minus paranteză logaritmul în baza 5 din 8 minus logaritmul în baza 5 din 125 egal,

acum desfacem parantezele și avem logaritmul în baza 5 din 8 minus logaritmul în baza 5 din 8 plus logaritmul în baza 5 din 125 egal,

se reduce logaritmul în baza 5 din 8 și rămâne logaritmul în baza 5 din 125, acesta este 5 la putere a 3-a, iar acum folosim această formulă, așadar logaritmul în baza 5 din 5 la a 3-a va fi egal cu 3.

Următorul exercițiu se cere să calculăm logaritmul în baza 4 din 8 plus logaritmul în baza 4 din logaritmul în baza 9 din logaritmul în baza 3 din 27.

Mai întâi calculăm acest logaritm, logaritmul în baza 3 din 27 este 3 pentru că 3 la a 3-a este 27 și avem logaritmul în baza 4 din 8 plus logaritmul în baza 4 din logaritmul în baza 9 din 3 egal,

acum vom calcula acest logaritm, egal logaritmul în baza 4 din 8 plus logaritmul în baza 4 din logaritmul în baza 9 din 3, o să încercăm să îl scriem pe 3 cu ajutorul lui 9, 3 este radical din 9,

care se mai poate scrie 9 la puterea 1 pe 2, egal, cu logaritmul în baza 4 din 8 plus logaritmul în baza 4, iar acest logaritm este egal cu 1 supra 2 conform acestei formule, egal.

Acum avem o sumă de 2 logaritmi cu aceeași bază, această sumă se poate restringe sub forma logaritmului unui produs, adică folosim această relație citită invers de la dreapta spre stânga și obținem logaritmul în baza 4 din 8 ori 1 pe 2, egal în continuare cu logaritmul în baza 4 din 4.

Și egal mai departe cu 1.

Următorul exercițiu se cere să calculăm logaritmul în baza 2.000 din 1 pe 2 plus logaritmul în baza 2.000 din 2 supra 3 plus logaritmul în baza 2.000 din 3 supra 4 plus puncte puncte logaritmul în baza 2.000 din 1.999 supra 2.000.

Vom folosi din nou această formulă citită de la dreapta spre stânga și vom restringe această sumă sub forma logaritmului unui produs.

Vom avea așadar logaritmul în baza 2.000 din 1 pe 2 ori 2 pe 3 ori 3 supra 4 ori puncte puncte.

Voi scrie și penultimul factor, 1.998 supra 1.999 ori 1.999 supra 2.000, egal.

Acum observăm că se simplifică pe diagonală 2 cu 2, 3 cu 3, acest 4 se simplifică cu numărătorul următoarei fracții, 1.998 se simplifică cu numitorul fracției dinainte, 1.999 se simplifică cu 1.999 și în final ne va rămâne logaritmul în baza 2.000.

din 1 supra 2.000, egal cu logaritmul în baza 2.000 din 2.000 la puterea minus 1, egal cu minus 1.

Și un alt exercițiu, știind că logaritmul în baza 2 din 5 este egal cu alfa, să se calculeze în funcție de alfa numărul logaritmul în baza 80 din 250, logaritmul în baza 80 din 250, egal.

Având în vedere că trebuie să exprimăm acest logaritm în funcție de logaritmul în baza 2, vom face trecerea de la logaritmul în baza 80 la logaritmul în baza 2 folosind formula de schimbare a bazei logaritmului.

Și vom avea logaritmul în baza 2 din 250 supra logaritmul în baza 2 din 80, egal cu logaritmul în baza 2 din, numărul 250 se poate scrie 2 ori 125,

supra logaritmul în baza 2 din numărul 80 se poate scrie 16 ori 5, încercăm să scriem aceste numere ca produse de puteri ale numerelor 2, respectiv 5, egal cu logaritmul în baza 2 din 2 ori 125 este 5 la puterea a 3-a,

supra logaritmul în baza 2 din 16 este 2 la puterea a 4-a ori 5, egal cu logaritmul în baza 2.

Acum avem un produs, iar logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor, folosim această formulă și vom avea logaritmul în baza 2 din 2 plus logaritmul în baza 2 din 5 la 3-a,

iar la numitor avem logaritmul în baza 2 din 2 la 4-a plus logaritmul în baza 2 din 5, egal, logaritmul în baza 2 din 2 este 1 plus, aici exponentul va trece în fața logaritmului și avem 3 logaritmul în baza 2 din 5,

logaritmul în baza 2 din 2 la 4-a este egal cu 4, fie folosim această proprietate, fie folosim această formulă unde exponentul trece în fața logaritmului și ar veni 4 logaritm în baza 2 din 2 care este 1, deci rezultatul final este 4 plus logaritmul în baza 2 din 5.

Logaritmul în baza 2 din 5 este alfa, în consecință vom avea 1 plus 3 alfa supra 4 plus alfa.