Logaritmi (introducere)

Logaritmii au foarte multe aplicații. De exemplu, pH-ul unei soluții se calculează folosind logaritmul decimal sau nivelul unui sunet în decibeli se exprimă printr-un logaritm a raportului dintre două intensități,

iar dacă privim o lumină, strălucirea pe care o percepem e o expresie a logaritmului emisiei de energie. De asemenea, magnitudinea unui cutremur corespunde logaritmului amplitudinii undelor seismice.

Descompunerea radioactivă este un alt domeniu în care întâlnim logaritmi. Cu ajutorul acestora se poate calcula durata persistenței radioactivității unor elemente.

În continuare o să vedem ce sunt logaritmii.

Dacă avem următoarea ecuație, 2 la puterea x egal cu 8, aceasta se mai poate scrie astfel, 2 la x este egal cu 2 la a treia. Se observă foarte ușor că x este egal cu 3.

Dacă avem ecuația 5 la puterea x egal cu 1 supra 25, atunci aceasta se poate scrie 5 la x este egal cu 5 la puterea minus 2, de unde rezultă că x este egal cu minus 2.

Dacă însă avem o ecuație de forma aceasta, 2 la x egal cu 7, atunci răspunsul nu mai este atât de evident, iar pentru rezolvarea acesteia e necesară introducerea noțiunii de logaritm.

Soluția acestei ecuații, x, va fi logaritmul în baza 2 al lui 7. Cu alte cuvinte, x este exponentul la care se ridică baza 2 pentru a obține valoarea 7.

Deci, cuvântul logaritm este un alt termen folosit pentru exponentul unei puteri.

În celelalte două cazuri, putem scrie că 3 este logaritmul în baza 2 a lui 8 sau minus 2 este logaritmul în baza 5 a numărului 1 supra 25.

În general, dacă a la x este egal cu b, atunci vom spune că x este logaritmul în baza a a numărului b.

Deci logaritmul este puterea la care trebuie să îl ridicăm pe a pentru a obține numărul b.

E foarte important acum să vedem ce fel de număr poate să fie a, respectiv b.

Vom pune condiția ca a să fie număr strict pozitiv, a diferit de 1, iar b trebuie să fie de asemenea strict pozitiv.

Și o să vedem imediat de ce.

Mai întâi să vedem de ce baza nu poate să fie egală cu 0.

Dacă baza ar fi 0 și aș dori de exemplu să rezolve ecuația logaritm în baza 0 din 3 egal cu x, atunci această relație ar conduce la următoarea 0 la puterea x egal cu 3.

Sau dacă avem logaritm în baza 0 din 7 egal cu x, obținem relația 0 la x egal cu 7.

Ori aceste două ecuații nu au soluții pentru că numărul 0 ridicat la orice putere este egal cu 0.

Deci nu există niciun număr real x astfel încât 0 la x să fie egal cu 3 sau 0 la x să fie egal cu 7.

Din acest motiv baza logaritmului, adică numărul a, nu poate lua valoarea 0.

Să vedem acum de ce baza trebuie să fie diferită de 1.

Dacă baza ar fi 1 și am avea de exemplu următoarea ecuație logaritm în baza 1 din 3 egal cu x, aceasta ar conduce la relația 1 ridicat la puterea x egal cu 3.

Sau logaritm în baza 1 din 7 egal cu x ar conduce la relația 1 la x egal cu 7.

Dar din nou aceste două ecuații nu au soluții pentru că numărul 1 ridicat la orice putere este egal cu 1.

Așadar nu există niciun număr real x care să satisfacă relația 1 la x egal cu 3 sau 1 la x egal cu 7.

Din acest motiv se pune condiția ca baza logaritmului să fie diferită de 1.

Am văzut până acum că baza logaritmului trebuie să fie diferită de 0 și diferită de 1.

Să vedem acum de ce trebuie pusă condiția ca baza să fie număr strict pozitiv.

Dacă baza ar fi negativă și aș vrea de exemplu să rezolv ecuația aceasta, logaritm în baza minus 3 din y egal 1 pe 4.

Am luat așadar o bază negativă, minus 3.

Pentru a-l obține pe y voi scrie relația y egal minus 3 la puterea 1 pe 4.

Avem așadar un număr negativ ridicat la o putere rațională.

Aceasta va conduce la radical de ordinul 4 din minus 3.

Însă știm că nu există radical de ordin par dintr-un număr negativ.

Din acest motiv, baza logaritmului nu poate să fie număr negativ.

Așadar să reținem că întotdeauna baza logaritmului este număr strict pozitiv și diferit de 1.

În continuare, vrem să vedem de ce numărul b trebuie să fie și acesta strict pozitiv.

b se mai numește și argumentul logaritmului.

Să încercăm să găsim un număr pozitiv care ridicat la o putere să dea o valoare negativă.

Ei bine, o să observați că acest lucru va fi imposibil.

De exemplu, dacă avem numărul pozitiv 2 pe care îl ridicăm la exponentul 3.

Evident, rezultatul este 8, deci strict pozitiv.

Dacă avem, de exemplu, 2 la minus 3, rezultatul va fi 1 supra 2 la treia, adică 1 pe 8.

Dar și 1 pe 8 este număr pozitiv.

Dacă aș calcula, de exemplu, 2 la puterea 1 pe 3, obținem radical de ordinul 3 din 2.

Dar și acesta este pozitiv.

Am putea să încercăm, de exemplu, 2 la puterea 0, dar rezultatul este 1, așadar pozitiv.

În consecință, observăm că nu există niciun număr pozitiv care ridicat la o putere să dea o valoare negativă.

Așadar, atâta timp cât baza este număr strict pozitiv, atunci și argumentul logaritmului, adică numărul b, va fi strict pozitiv.

Pornim de la egalitatea a la x egal cu b și punând în locul x logaritmul în baza a din b, se obține următoarea relație care va fi utilă în rezolvarea unor exerciții.

a la logaritm în baza a din b este egal cu b.

Deci am înlocuit în această egalitate pe x cu logaritmul în baza a din b.

De exemplu, dacă avem 3 la puterea logaritmul în baza a 3 din 5, vom obține 5.

În cazul în care baza logaritmului este 10, logaritmul se va numi logaritm decimal și se notează cu LG.

Iar în cazul în care baza logaritmului este numărul e, e este o constantă matematică aproximativ egală cu 2,71, este un număr irrațional, atunci logaritmul în baza e se numește logaritm natural și se notează cu LN.

În clipul următor o să discutăm despre proprietățile logaritmilor.