Șiruri monotone (teorie)

$$\begin{gathered} \mathrm{Șirul} {\text{(x}}_{\mathrm{n}}) \mathrm{este} \mathbf{strict}\mathbf{ }\mathbf{crescător} \mathrm{dacă} {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}<{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}, \forall \mathrm{n}\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}. \\ \mathrm{Șirul} ({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}) \mathrm{este} \mathbf{strict}\mathbf{ }\mathbf{descrescător} \mathrm{dacă} {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}>{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}, \forall \mathrm{n}\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}. \\ \mathrm{Șirul} ({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}) \mathrm{este} \mathbf{strict}\mathbf{ }\mathbf{monoton} \mathrm{dacă} \mathrm{este} \mathrm{strict} \mathrm{crescător} \mathrm{sau} \mathrm{strict} \mathrm{descrescător}. \end{gathered}$$

Observație. Dacă în inegalitatea de mai sus avem semnul $\le (\ge )$ atunci șirul este crescător (descrescător).

Pentru a studia monotonia unui șir se calculează diferența a doi termeni consecutivi și se compară cu zero:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}>0, \forall n \Rightarrow \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right) \mathrm{strict} \mathrm{crescător} \\ {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}<0, \forall n \Rightarrow \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right) \mathrm{strict} \mathrm{descrescător}. \end{gathered}$$

Dacă șirul are toți termenii strict pozitivi, atunci putem studia monotonia șirului comparând raportul a doi termeni consecutivi cu 1.

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}>0, \forall \mathrm{n}\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*} \\ \frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}>1\iff {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}>{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}} \Rightarrow \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right) \mathrm{strict} \mathrm{crescător} \\ \frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}}{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}<1\iff {\mathrm{x}}_{\mathrm{n}+1}<{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}} \Rightarrow \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right) \mathrm{strict} \mathrm{descrescător}. \end{gathered}$$