Șiruri monotone (teorie)

Uitați-vă puțin la aceste șiruri și spuneți-mi ce observați.

Nimeni nu observă nimic?

Dacă ne uităm la termeni șirului AN, observăm că fiecare termen este mai mic decât succesorul său.

Iată, 1 este mai mic decât 2, 2 este mai mic decât 3 și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, termenul de rang N este mai mic decât termenul de rang N plus 1.

Oricare ar fi N număr natural nenul.

În al doilea exemplu, observăm că fiecare termen este mai mare decât succesorul său.

Iată, 1 este mai mare decât 1 supra 2, 1 supra 2 este mai mare decât 1 pe 3 și așa mai departe.

Deci BN este mai mare decât B indice N plus 1, oricare ar fi N număr natural nenul.

Observăm așadar că în primul caz termenii șirului cresc și atunci vom spune că acest șir AN este strict crescător.

Iar în al doilea exemplu, termenii șirului BN iau valori din ce în ce mai mici.

Cu alte cuvinte, șirul BN este un șir strict descrescător.

Un șir care este strict crescător sau strict descrescător se numește șir strict monoton.

Dacă nu am avea aici o inegalitate strictă, deci AN ar fi mai mic sau egal cu A indice N plus 1,

atunci am spune că șirul este crescător.

La fel și în a doua situație, dacă BN este mai mare sau egal cu B indice N plus 1, atunci șirul este descrescător.

Așadar folosim cuvântul strict numai atunci când avem o inegalitate strictă.

Un șir care este crescător sau descrescător se numește șir monoton.

Nu la fel stau lucrurile și în cazul celui de al treilea exemplu.

Iată, dacă ne uităm la șirul CN, observăm că primul termen este mai mic decât al doilea,

însă al doilea termen este mai mare decât al treilea.

Așadar nu putem să stabilim o inegalitate între termenul de rang N și termenul de rang N plus 1.

Așadar acest șir CN nu este un șir monoton.

Să reținem așadar că un șir XN este strict crescător

dacă XN este mai mic decât XN plus 1

sau cu alte cuvinte XN plus 1 minus XN este mai mare decât 0

oricare ar fi N număr natural nenul.

Apoi șirul XN este strict descrescător dacă XN este mai mare decât XN plus 1

iar această relație este echivalentă cu următoarea relație XN plus 1 minus XN mai mic decât 0

oricare ar fi N număr natural nenul.

Iar un șir XN se numește strict monoton

dacă XN este strict crescător sau strict descrescător

iar un șir XN se numește monoton dacă XN este crescător sau descrescător.

Orice șir constant este monoton

de exemplu dacă avem următorul șir constant 0, 0, 0 și așa mai departe

acesta este un șir monoton.

El este atât crescător cât și descrescător însă nu este strict monoton.

Așadar pentru a studia monotonia unui șir vom calcula diferența a doi termeni consecutivi.

Dacă această diferență este pozitivă șirul este strict crescător

iar dacă diferența dintre doi termeni consecutivi este negativă atunci șirul va fi strict descrescător.

Mai există și o altă modalitate de a studia monotonia unui șir

însă aceea se aplică numai în cazul șirurilor cu toți termenii pozitivi.

Dacă XN este un șir astfel încât XN să fie mai mare strict decât 0

oricare a fi N număr natural nenul, deci toți termenii șirului sunt pozitivi

atunci pentru a studia monotonia acestui șir putem să calculăm raportul XN plus 1 supra XN

și să comparăm valoarea acestui raport cu 1.

Dacă raportul este mai mare decât 1, adică XN plus 1 este mai mare decât XN

atunci șirul XN va fi un șir strict crescător

iar dacă acest raport XN plus 1 supra XN este mai mic decât 1

cu alte cuvinte XN plus 1 este mai mic decât XN

atunci șirul XN este un șir strict descrescător.

Așadar putem să aplicăm și această metodă pentru a stabili monotonia unui șir,

dar, repet, aceasta se poate aplica numai atunci când șirul are toți termenii pozitivi.

În secvența următoare o să facem câteva exerciții pentru a stabili monotonia unor șiruri.