Șiruri monotone (aplicații)

Haideți acum să facem un exercițiu în care studiem monotonia unor șiruri.

Vă reamintesc că pentru a studia monotonia unui șir avem două posibilități.

Fie calculăm diferența a doi termeni consecutivi și o comparăm cu 0,

fie calculăm raportul a doi termeni consecutivi și îl comparăm cu 1.

Această a doua modalitate se poate aplica numai atunci când șirul are toți termenii pozitivi.

Și începem cu punctul A.

Avem un șir Xn unde termenul general este dat de formula

Xn egal cu n supra 3n plus 2.

Haideți să calculăm diferența a doi termeni consecutivi,

Xn plus 1 minus Xn.

Ca să-l aflăm pe Xn plus 1, în formula termenului general o să-l înlocuim pe n cu n plus 1

și obținem n plus 1 supra 3 pe lângă n plus 1 plus 2 minus n supra 3n plus 2

egal cu n plus 1 supra 3n plus 5 minus n supra 3n plus 2.

Aducem la numitor comun, amplificăm prima fracție cu 3n plus 2 și a doua fracție cu 3n plus 5

și obținem n plus 1 pe lângă 3n plus 2 minus n pe lângă 3n plus 5

totul supra 3n plus 5 pe lângă 3n plus 2

egal, desfacem parantezele, avem 3n pătrat plus 2n plus 3n este 5n

plus 2 minus 3n pătrat minus 5n totul supra 3n plus 5 pe lângă 3n plus 2

egal, se reduce 3n pătrat la fel și 5n și obținem 2 supra 3n plus 5 pe lângă 3n plus 2

Nu este cazul să desfacem parantezele și la numitor, pe noi ne interesează doar semnul acestei expresii

Din moment ce n este număr natural nenul, această fracție va fi pozitivă

așadar șirul xn este un șir strict crescător

Continuăm cu punctul B

La punctul B avem șirul xn unde termenul general este dat de formula n plus 5 supra n pătrat plus 1

Haideți să calculăm și de data aceasta diferența xn plus 1 minus xn

egal, înlocuim pe n cu n plus 1 și obținem n plus 1 plus 5 supra n plus 1 totul la pătrat plus 1

minus n plus 5 supra n pătrat plus 1

egal, n plus 6 supra n pătrat plus 2n plus 1 plus 1 adică plus 2 minus n plus 5 supra n pătrat plus 1

egal, aducem la numitor comun, amplificăm cu n pătrat plus 1 și aici amplificăm cu n pătrat plus 2n plus 2

egal, cu n plus 6 pe lângă n pătrat plus 1 minus n plus 5 pe lângă n pătrat plus 2n plus 2

totul supra n pătrat plus 2n plus 2 pe lângă n pătrat plus 1

egal, voi continua mai jos

desfacem parantezele

avem n la puterea a treia plus n plus 6 n pătrat plus 6 minus

aici avem minus în fața acestor paranteze

deci toți termenii vor avea semnul minus

n la treia minus 2n pătrat minus 2n minus 5n pătrat minus 10n minus 10

totul supra n pătrat plus 2n plus 2 pe lângă n pătrat plus 1 egal

se reduce n la treia cu minus n la treia

apoi 6n la doua minus 2n la doua este 4n la doua

minus 5n la doua este minus n la pătrat

n minus 2n este minus n minus 10n minus 11n

6 minus 10 minus 4

totul supra n pătrat plus 2n plus 2 pe lângă n pătrat plus 1

egal

putem să scriem pe minus în fața liniei de fracție

și avem n la doua plus 11n plus 4

supra n la doua plus 2n plus 2 pe lângă n la doua plus 1

această fracție este pozitivă și cu minusul din față va fi negativă

oricare ar fi n, număr natural nenul

așadar șirul nostru xn este strict descrescător

întrucât diferența a doi termeni consecutivi este întotdeauna negativă

pentru orice număr natural nenul

continuăm cu punctul C

avem șirul xn egal cu n supra 3 la puterea n

haideți de data aceasta să calculăm raportul la doi termeni consecutivi

se poate observa că acest șir are toți termenii pozitivi

n este număr natural, deci și 3 la puterea n va fi număr natural

prin urmare toată această fracție va fi număr pozitiv

calculăm așadar raportul xn plus 1 supra xn egal

ca să nu lucrăm cu fracție supraetajată

o să-l scriu mai întâi pe xn plus 1

n plus 1 supra 3 la puterea n plus 1 ori

inversez cea de-a doua fracție

3 la n supra n egal

3 la n plus 1 se simplifică cu 3 la n și ne rămâne un 3

obținem n plus 1 supra 3n

aceasta este o fracție subunitară

pentru că n plus 1 este mai mic decât 3n

putem chiar să verificăm acest lucru

n plus 1 este mai mic decât 3n

trecem toți termeni într-un membru

obținem 2n minus 1 mai mare strict decât 0

oricare ar fi n număr natural, nenul

aceasta este o relație adevărată

iată, pentru n egal cu 1 avem 2 minus 1, 1

deci mai mare decât 0

așadar, raportul dintre 2 termeni consecutivi este mai mic decât 1

prin urmare, șirul xn este un șir strict descrescător

în general, această metodă de a studia monotonia unui șir

este practică atunci când n apare la exponent

ca să putem face aceste simplificări

continuăm cu punctul D

șirul xn are formula termenului general

sumă k de la 1 și până la n

din 1 supra 4 la puterea k plus 1

calculăm diferența xn plus 1 minus xn

dacă xn este o sumă de n termeni

atunci xn plus 1 va fi o sumă de n plus 1 termeni

așadar, formula termenului de rang n plus 1 va fi

sumă k de la 1 până la n plus 1

din 1 supra 4 la k plus 1

minus sumă k de la 1 și până la n

din 1 supra 4 la k plus 1

egal

această sumă de n plus 1 termeni

se mai poate scrie și astfel

sumă k egal 1 până la n

din 1 supra 4 la k plus 1

deci până aici avem suma primilor n termeni

la care se mai adaugă ultimul termen

iar acest ultim termen se obține înlocuind pe k cu n plus 1

și avem 1 supra 4 la n plus 1 plus 1

deci până aici am scris prima sumă

aceasta

și urmează minus sumă k de la 1 și până la n

din 1 supra 4 la k plus 1

egal

aceste două sume se reduc

și ne mai rămâne termenul 1 supra 4 la puterea n plus 1 plus 1

care se mai poate scrie

1 supra 4 ori 4 la n plus 1

din moment ce n este număr natural nenul

această fracție este întotdeauna pozitivă

oricare ar fi n, număr natural nenul

așadar șirul xn este strict crescător

multumesc