Transcript: Șiruri monotone (aplicații)

Haideți acum să facem un exercițiu în care studiem monotonia unor șiruri.
Vă reamintesc că pentru a studia monotonia unui șir avem două posibilități.
Fie calculăm diferența a doi termeni consecutivi și o comparăm cu 0,
fie calculăm raportul a doi termeni consecutivi și îl comparăm cu 1.
Această a doua modalitate se poate aplica numai atunci când șirul are toți termenii pozitivi.
Și începem cu punctul A.
Avem un șir Xn unde termenul general este dat de formula
Xn egal cu n supra 3n plus 2.
Haideți să calculăm diferența a doi termeni consecutivi,
Xn plus 1 minus Xn.
Ca să-l aflăm pe Xn plus 1, în formula termenului general o să-l înlocuim pe n cu n plus 1
și obținem n plus 1 supra 3 pe lângă n plus 1 plus 2 minus n supra 3n plus 2
egal cu n plus 1 supra 3n plus 5 minus n supra 3n plus 2.
Aducem la numitor comun, amplificăm prima fracție cu 3n plus 2 și a doua fracție cu 3n plus 5
și obținem n plus 1 pe lângă 3n plus 2 minus n pe lângă 3n plus 5
totul supra 3n plus 5 pe lângă 3n plus 2
egal, desfacem parantezele, avem 3n pătrat plus 2n plus 3n este 5n
plus 2 minus 3n pătrat minus 5n totul supra 3n plus 5 pe lângă 3n plus 2
egal, se reduce 3n pătrat la fel și 5n și obținem 2 supra 3n plus 5 pe lângă 3n plus 2
Nu este cazul să desfacem parantezele și la numitor, pe noi ne interesează doar semnul acestei expresii
Din moment ce n este număr natural nenul, această fracție va fi pozitivă
așadar șirul xn este un șir strict crescător
Continuăm cu punctul B
La punctul B avem șirul xn unde termenul general este dat de formula n plus 5 supra n pătrat plus 1
Haideți să calculăm și de data aceasta diferența xn plus 1 minus xn
egal, înlocuim pe n cu n plus 1 și obținem n plus 1 plus 5 supra n plus 1 totul la pătrat plus 1
minus n plus 5 supra n pătrat plus 1
egal, n plus 6 supra n pătrat plus 2n plus 1 plus 1 adică plus 2 minus n plus 5 supra n pătrat plus 1
egal, aducem la numitor comun, amplificăm cu n pătrat plus 1 și aici amplificăm cu n pătrat plus 2n plus 2
egal, cu n plus 6 pe lângă n pătrat plus 1 minus n plus 5 pe lângă n pătrat plus 2n plus 2
totul supra n pătrat plus 2n plus 2 pe lângă n pătrat plus 1
egal, voi continua mai jos
desfacem parantezele
avem n la puterea a treia plus n plus 6 n pătrat plus 6 minus
aici avem minus în fața acestor paranteze
deci toți termenii vor avea semnul minus
n la treia minus 2n pătrat minus 2n minus 5n pătrat minus 10n minus 10
totul supra n pătrat plus 2n plus 2 pe lângă n pătrat plus 1 egal
se reduce n la treia cu minus n la treia
apoi 6n la doua minus 2n la doua este 4n la doua
minus 5n la doua este minus n la pătrat
n minus 2n este minus n minus 10n minus 11n
6 minus 10 minus 4
totul supra n pătrat plus 2n plus 2 pe lângă n pătrat plus 1
egal
putem să scriem pe minus în fața liniei de fracție
și avem n la doua plus 11n plus 4
supra n la doua plus 2n plus 2 pe lângă n la doua plus 1
această fracție este pozitivă și cu minusul din față va fi negativă
oricare ar fi n, număr natural nenul
așadar șirul nostru xn este strict descrescător
întrucât diferența a doi termeni consecutivi este întotdeauna negativă
pentru orice număr natural nenul
continuăm cu punctul C
avem șirul xn egal cu n supra 3 la puterea n
haideți de data aceasta să calculăm raportul la doi termeni consecutivi
se poate observa că acest șir are toți termenii pozitivi
n este număr natural, deci și 3 la puterea n va fi număr natural
prin urmare toată această fracție va fi număr pozitiv
calculăm așadar raportul xn plus 1 supra xn egal
ca să nu lucrăm cu fracție supraetajată
o să-l scriu mai întâi pe xn plus 1
n plus 1 supra 3 la puterea n plus 1 ori
inversez cea de-a doua fracție
3 la n supra n egal
3 la n plus 1 se simplifică cu 3 la n și ne rămâne un 3
obținem n plus 1 supra 3n
aceasta este o fracție subunitară
pentru că n plus 1 este mai mic decât 3n
putem chiar să verificăm acest lucru
n plus 1 este mai mic decât 3n
trecem toți termeni într-un membru
obținem 2n minus 1 mai mare strict decât 0
oricare ar fi n număr natural, nenul
aceasta este o relație adevărată
iată, pentru n egal cu 1 avem 2 minus 1, 1
deci mai mare decât 0
așadar, raportul dintre 2 termeni consecutivi este mai mic decât 1
prin urmare, șirul xn este un șir strict descrescător
în general, această metodă de a studia monotonia unui șir
este practică atunci când n apare la exponent
ca să putem face aceste simplificări
continuăm cu punctul D
șirul xn are formula termenului general
sumă k de la 1 și până la n
din 1 supra 4 la puterea k plus 1
calculăm diferența xn plus 1 minus xn
dacă xn este o sumă de n termeni
atunci xn plus 1 va fi o sumă de n plus 1 termeni
așadar, formula termenului de rang n plus 1 va fi
sumă k de la 1 până la n plus 1
din 1 supra 4 la k plus 1
minus sumă k de la 1 și până la n
din 1 supra 4 la k plus 1
egal
această sumă de n plus 1 termeni
se mai poate scrie și astfel
sumă k egal 1 până la n
din 1 supra 4 la k plus 1
deci până aici avem suma primilor n termeni
la care se mai adaugă ultimul termen
iar acest ultim termen se obține înlocuind pe k cu n plus 1
și avem 1 supra 4 la n plus 1 plus 1
deci până aici am scris prima sumă
aceasta
și urmează minus sumă k de la 1 și până la n
din 1 supra 4 la k plus 1
egal
aceste două sume se reduc
și ne mai rămâne termenul 1 supra 4 la puterea n plus 1 plus 1
care se mai poate scrie
1 supra 4 ori 4 la n plus 1
din moment ce n este număr natural nenul
această fracție este întotdeauna pozitivă
oricare ar fi n, număr natural nenul
așadar șirul xn este strict crescător
multumesc