Progresii geometrice (aplicații)

În această secvență o să facem câteva exerciții cu progresii geometrice.

Am scris în partea dreaptă principalele formule pe care o să le folosim și avem acest prim exercițiu.

Se dă progresia geometrică b1, b2, bn. Se știe că b4 este 18, b6 este 162.

Se cere să calculăm primul termen și rația.

Mai întâi vom exprima b4 și b6 în funcție de b1 folosind această formulă.

b4 este egal cu b1 ori cu la a3 și acest termen este egal cu 18, iar b6 este egal cu b1 ori cu la a5 și egal cu 162.

Acum împărțim aceste două relații membru cu membru și obținem b1 cu la a3 supra b1 cu la a5 egal cu 18 supra 162.

Observăm că se simplifică b1, simplificăm și cu q la a3 și obținem 1 supra q la pătrat egal, aici se simplifică cu 18 și ne rămâne 1 pe 9.

Q la pătrat este egal cu 9 și avem două soluții, q12 egal cu plus minus 3.

Avem așadar două variante posibile, mai întâi dacă rația este egală cu 3, atunci înlocuind pe q în această relație obținem b1 ori 3 la a3 egal cu 18,

b1 ori 27 este egal cu 18, rezultă b1 egal cu 18 supra 27, se simplifică cu 9 și obținem 2 pe 3.

Și a doua posibilitate, dacă rația este egală cu minus 3, atunci înlocuind în aceeași relație obținem b1 ori minus 3 la a3 egal cu 18,

b1 ori minus 27 este egal cu 18, b1 este minus 2 supra 3.

Așadar această problemă are două soluții, dacă b1 este 2 pe 3, atunci rația este 3 sau b1 minus 2 pe 3 și rația este egală cu minus 3.

Trecem la al doilea exercițiu.

Aflați numărul pozitiv x, astfel încât numerele x plus 1, 3x și 5x plus 2 să fie în progresie geometrică.

Dacă trei numere consecutive sunt în progresie geometrică, atunci este îndeplinită această relație și anume,

pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul vecinilor săi.

Pentru ca numerele x plus 1, 3x și 5x plus 2 să fie în progresie geometrică, va trebui așadar îndeplinită relația 3x la pătrat să fie egal cu x plus 1 pe lângă 5x plus 2.

9x la pătrat este egal cu 5x la pătrat plus 2x plus 5x plus 7x plus 2.

Trecem toți termeni într-un membru.

4x la pătrat minus 7x minus 2 este egal cu 0.

Avem o ecuație de gradul 2.

Delta este b pătrat minus 4ac.

Egal cu minus 7 la pătrat minus 4 ori 4 ori minus 2.

Egal cu 49 plus 4 ori 4, 16 ori 2, 32.

Și egal cu 81.

X1 este minus b plus radical din delta supra 2a.

Egal.

Minus minus 7 este 7 plus radical din delta 9 supra 2, 4.

Egal cu 16 supra 8 și egal cu 2.

Iar X2 este minus b minus radical din delta supra 2a.

Egal cu 7 minus 9 supra 2 ori 4.

Egal cu minus 2 supra 8 și egal cu minus 1 supra 4.

Însă problema cere ca X să fie număr pozitiv, așadar soluția problemei este X egal cu 2.

Și al trelei execițiu.

Se dă suma S egal cu 3 pe 10 plus 3 supra 10 la pătrat plus și așa mai departe plus 3 supra 10 la n.

Se cere să calculăm S minus 1 pe 3.

Mai întâi o să calculăm suma S.

Observăm că avem aici o sumă de n termeni în progresie geometrică.

Primul termen al progresiei geometrice, b1, este 3 supra 10.

Iar rația progresiei este egală cu 1 pe 10.

Pentru a calcula suma S vom aplica așadar ultima formulă.

S va fi egal b1 3 pe 10 pe lângă 1 minus rația este 1 pe 10 la puterea n totul supra 1 minus 1 pe 10.

Egal cu 3 supra 10 ori aducem la numitor comun.

Numitorul comun este 10 la n.

Avem 10 la n minus 1 supra 10 la n.

Totul supra amplificăm și aici cu 10.

10 minus 1, 9 pe 10.

Egal cu 3 supra 10 ori 10 la n minus 1 supra 10 la n ori inversăm a doua fracție 10 pe 9.

Se simplifică 10 cu 10, 9 cu 3 și obținem 10 la n minus 1 supra 3 ori 10 la n.

Aceasta este suma S.

Și acum trebuie să calculăm S minus 1 pe 3.

S minus 1 pe 3 va fi egal cu 10 la n minus 1 supra 3 ori 10 la n minus 1 pe 3.

Aducem și aici la numitor comun, amplificăm cu 10 la n a doua fracție și obținem 10 la n minus 1 minus 10 la n supra 3 ori 10 la n.

Se reduce 10 la n și obținem în final minus 1 supra 3 ori 10 la puterea n.

Așa că, în acest fel, am terminat cu S minus 1. Și acum trebuie să calculăm S minus 2.

S minus 2 va fi egal cu S minus 3. Și acum trebuie să calculăm S minus 3.