Progresii geometrice - noțiuni introductive

Elevul Ionel a lipsit de la lecția a progresii geometrice și a căutat pe internet informații despre această noțiune.

A descoperit site-ul Lecții Virtuale și și-a făcut un cont pe acest site.

Aici a găsit multe informații utile despre progresii geometrice, dar și despre alte noțiuni învățate la școală.

Fiind încântat de acest site, l-a recomandat și altor doi prieteni.

A doua zi, aceștia s-au înscris pe site și au fost foarte bucuroși să descopere lecții video la matematică, fizică și chimie.

La rândul lor, ei au recomandat site-ul altor persoane, astfel că în a treia zi, pe site s-au înscris patru elevi.

În următoarea zi, fiecare dintre aceștia a recomandat site-ul altor doi, iar în a patra zi, încă opt elevi s-au înscris pe site.

Dacă algoritmul ar continua, în a cincea zi s-ar înscrie 16 elevi, iar în a șasea zi, 32.

Dacă scriem aceste numere pe care le-am obținut sub forma unui șir, vom avea șirul 1, 2, 4, 8, 16, 32 și așa mai departe.

În acest șir observăm că fiecare termen începând cu al doilea se obține înmulțind termenul precedent cu 2.

1 ori 2 este 2, 2 ori 2 4, 1 4 ori 2 8 și așa mai departe.

Un astfel de șir în care fiecare termen se obține înmulțind termenul precedent cu același număr, nenul, se numește progresie geometrică,

iar numărul respectiv se numește rație.

Dacă algoritmul nostru ar continua în același mod, credeți că am putea să aflăm câte persoane se vor înscrie pe site-ul lecții virtuale în a 15-a zi?

Sau câte persoane s-au înscris în total în cele 15 zile?

Bineînțeles că putem și chiar o să calculăm acest lucru în lecția următoare.

Până atunci, haideți să mai vedem câteva exemple de progresii geometrice.

Primul șir, 3, minus 6, 12, minus 24, 48 și așa mai departe, este o progresie geometrică cu rația egală cu minus 2.

Vom nota rația progresiilor geometrice cu Q.

Așadar, în acest caz, Q este minus 2.

În următorul exemplu, avem șirul 1, 5, 25, 125, 625 și așa mai departe.

Acesta este o progresie geometrică având rația egală cu 5.

Și în al treilea exemplu, avem progresia 1 pe 3, 1 pe 3 la a doua, 1 pe 3 la a treia, 1 pe 3 la a patra și așa mai departe.

Aceasta este o progresie geometrică având rația egală cu 1 pe 3.

Dacă un șir BN este progresie geometrică, vom nota acest lucru în felul următor.

Iar fiecare termen, începând cu al doilea, se obține înmulțind termenul precedent cu același număr nenul.

Așadar, are loc relația de recurență BN egal cu BN minus 1 ori Q, oricare ar fi N mai mare sau egal cu 2.

Q este număr real nenul, iar B1, adică primul termen al progresiei, este un număr real fixat.

Spunem așadar că o progresie geometrică este bine determinată dacă se cunoaște primul termen și rația.

Această relație de recurență se mai poate scrie și astfel, BN supra BN minus 1 egal cu Q.

Observăm așadar că, într-o progresie geometrică, raportul a doi termeni consecutivi este constant, adică nu depinde de N.

Prin urmare, pentru a stabili dacă un șir e progresie geometrică, verificăm dacă raportul a doi termeni consecutivi este constant.

În continuare vom face două exerciții simple.

Primul exercițiu.

Scrieți primii patru termeni ai progresiei geometrice BN dacă B1 este egal cu 4 și rația este egală cu 1 pe 2.

Primul termen este dat, acesta este 4.

Al doilea termen se obține înmulțind primul termen cu rația, egal cu 4 ori 1 pe 2.

Și egal cu 2.

Al treilea termen, B3, se obține înmulțind termenul precedent cu rația, deci avem B2 ori Q, egal cu 2 ori 1 pe 2.

Și egal cu 1.

Și al patrulea termen va fi egal cu B3 ori Q, egal cu 1 ori 1 pe 2.

Și egal cu 1 pe 2.

Aceștia sunt primii patru termeni ai acestei progresii geometrice.

Și al doilea exercițiu

fie șirul BN, unde BN este egal cu radical din 7 ori 5 la N.

Verificați dacă șirul este progresie geometrică.

Pentru a stabili dacă un șir este progresie geometrică, verificăm dacă raportul a doi termeni consecutivi este constant.

Așadar, haideți să calculăm raportul BN supra BN-1.

Acesta va fi egal cu radical din 7 ori 5 la N supra radical din 7 ori 5 la N-1.

Se simplifică radical din 7, se simplifică 5 la N cu 5 la N-1, la numărător ne rămâne 5.

Așadar, raportul este egal cu 5.

Acest număr nu depinde de N.

Prin urmare, raportul a doi termeni consecutivi este constant, așadar șirul BN este progresie geometrică.