Noțiunea de șir

În această lecție o să discutăm despre șiruri.

Un șir nu este altceva decât o listă de numere aranjată într-o anumită ordine.

Trebuie însă făcută distincția între un șir și o mulțime.

Într-o mulțime, elementele apar o singură dată și nu contează ordinea în care sunt scrise.

În schimb, într-un șir fiecare termen ocupa un loc bine precizat.

Primul, al doilea termen, al treilea, și așa mai departe.

Iar într-un șir este posibil ca un termen să apară de mai multe ori.

Iată, în acest exemplu avem termeni care se repetă.

Putem să stabilim astfel o relație de corespondență

între mulțimea numerelor naturale, nenule, și mulțimea numerelor reale

și să notăm această funcție cu f,

definită pe n-stelat cu valori în R, cu f de n egal xn.

Astfel, un șir este o funcție care asociază fiecărui număr natural nenul n

o valoare reală pe care am notat-o cu xn.

xn se numește termenul general al șirului sau termenul de rang n.

În exemplul nostru de mai sus, primul termen este x1

egal cu f de 1 și în cazul nostru acest termen este 1.

Al doilea termen va fi x2 egal cu f de 2 și egal cu 2.

Al treilea termen al șirului este x3, adică f de 3 și acesta este egal cu 2.

Să mai scriem încă un termen.

Al patrulea termen al șirului, adică f de 4, este egal cu 3.

Și așa mai departe.

Noi vom lucra cu șiruri infinite, de aceea fiecare termen, începând cu al doilea,

va avea un succesor și un predecesor.

Succesorul termenului xn va fi x-n plus 1, iar predecesorul acestui termen va fi x-n minus 1.

Aș vrea să facem o mică observație.

Atenție la notații, trebuie făcută distinția între x-n plus 1 și x-n plus 1.

Prima notație se referă la termenul de rang n plus 1,

iar a doua notație se referă la termenul de rang n, la care se adaugă valoarea 1.

Există mai multe variante de a anota un șir.

Haideți să le scriem.

De exemplu, putem să notăm șirul xn astfel, n număr natural nenul,

sau,

sau mai simplu, xn între două paranteze rotunde,

pentru că de obicei se subînțelege faptul că n este număr natural și este suficient să scriem doar xn.

În unele cărți, în locul parantezelor rotunde, se folosesc acolade.

Șirurile se pot nota și cu alte litere, an, bn, yn și așa mai departe.

De obicei, șirurile sunt funcții definite pe mânțimea numerelor naturale nenule,

dar nu este obligatoriu, pentru că putem să avem și termeni de rang 0.

Așadar, unele șiruri vor fi funcții definite pe mânțimea numerelor naturale.

Să mai scriem câteva exemple de șiruri.

Șirul an,

având termenii 1, 3, 1, 3, 1, puncte, puncte.

Un alt șir, bn,

1, 1 supra 2, 1 supra 3, 1 supra 4 și așa mai departe.

Și un alt șir, cn,

0, 0, 0, 0, puncte, puncte.

Un astfel de șir în care toți termenii au aceeași valoare se numește șir constant.

Și acum haideți să vedem care sunt modurile prin care putem să definim un șir.

Un prim mod ar fi prin enumerarea termenilor, deci șirul este definit descriptiv.

De exemplu, avem șirul an,

1, 4, 9, 16, 25, 36 și așa mai departe.

Ați recunoscut probabil că este vorba de șirul pătratelor perfecte.

Șirurile mai pot fi definite printr-o regulă de calcul.

De exemplu, pentru șirul pătratelor perfecte,

regula de calcul pentru termenul de rang n

va fi n la pătrat, unde n este un număr natural mai mare sau egal cu 1.

Această expresie analitică ne permite să calculăm orice termen al șirului

pentru că ea definește o corespondență între numărul de ordine n al termenului

și termenul corespunzător a n.

De exemplu, al 15-lea termen al șirului este a indice 15

și acesta va fi egal cu 15 la pătrat, egal cu 225.

Această formulă de calcul sau lege care definește un șir

poate fi exprimată pe baza unei relații de recurență,

adică un termen al șirului se exprimă în funcție de unul sau mai mulți termeni precedenți.

De exemplu, dacă avem șirul Xn

cu X0 egal cu 0, X1 egal cu 1

și apoi termenul de rang n, X indice n, este egal cu X indice n-1

plus X indice n-2, oricare ar fi n mai mare sau egal cu 2.

Observăm așadar că în acest șir fiecare termen se obține însumând cei doi termeni precedenți.

De exemplu, pentru n egal cu 2 avem

termenul X2 egal cu X indice 2-1, adică X1, plus X indice 2-2, adică X0

și egal mai departe cu 1 plus 0, egal cu 1.

Apoi X3 va fi egal cu X2 plus X1, egal cu 1 plus 1, egal cu 2.

Și așa mai departe.

Haideți acum să enumerăm câțiva termeni ai acestui șir.

Avem așadar 0, 1, 1, 2, urmează 1 plus 2, 3, 2 plus 3, 5, 3 plus 5, 8, 5 plus 8, 13 și așa mai departe.

Acesta este șirul lui Fibonacci. Poate că ați auzit deja de acest șir.

Este foarte interesant și merită studiat pentru că el se regăsește peste tot în natură.

Găsiți pe internet foarte multe lucruri interesante despre acest șir.

Poate o să fac și eu cândva un film despre șirul lui Fibonacci.

Să vedem, mai negociem.

Haideți acum să trecem la reprezentarea grafică a unui șir

și vom lua ca exemplu tot șirul pătratelor perfecte.

Vă gândesc că vă plac pătratele perfecte, nu?

Cui nu i-ar plăcea?

Iată, avem șirul având formula termenului general aN egal cu N la pătrat, unde N este număr natural mai mare sau egal cu 1

și avem aici un sistem de axe ortogonale.

Să nu uităm că șirurile sunt funcții definite pe mulțimea numerelor naturale sau pe N stelat cu valori în R.

Prin urmare, pe axa absciselor o să avem numere naturale, iar pe axa ordonatelor o să avem valorile acestor funcții.

În cazul în care N este egal cu 1, avem primul termen al șirului a1 egal cu 1 la pătrat, adică 1.

Iată, aici avem 1.

Al doilea termen al șirului este 2 la a doua, 4.

Aici este 4.

Al treilea termen este 9.

Al patrulea termen al șirului este 16.

A5 este 25.

A6 este 36.

Și așa mai departe.

Prin urmare, reprezentarea grafică a acestui șir în sistemul de axe ortogonale este mulțimea acestor puncte albastre.