Progresii aritmetice (aplicații)

În această secvență o să facem câteva exerciții în care o să aplicăm proprietățile progresiei aritmetice.

Am scris în partea dreaptă cele mai importante formule pe care o să le folosim în exerciții și începem cu primul exercițiu.

În primul se dă progresie aritmetică a1, a2, an, se știe că al treilea termen este 4, al 15-lea termen este 10 și se cere să calculăm al 37-lea termen și suma primilor 37 de termeni.

Folosim aceste două relații și vom scrie cei doi termeni, a3 și a15, în funcție de primul termen și de rație, folosind această primă formulă.

Așadar, a3 va fi egal cu a1 plus 3-1, adică 2R, iar acest termen este egal cu 4 și a15 este egal cu a1 plus 15-1, adică 14R și egal mai departe cu 10.

Din aceste două relații putem să formăm un sistem de două ecuații cu două necunoscute. Prima ecuație va fi a1 plus 2R egal cu 4 și a doua ecuație a1 plus 14R egal cu 10.

Rezolvăm acest sistem prin metoda reducerii. Înmulțim prima ecuație cu minus 1 și adunăm cele două ecuații.

Se reduce a1, minus 2R plus 14R este egal cu 12R și minus 4 plus 10 este egal cu 6. Obținem așadar R egal cu 6 supra 12, de unde rezultă că R este egal cu 1 supra 2.

Am obținut rația progresiei. Aceasta este egală cu 1 pe 2.

Acum putem să calculăm primul termen. Revenim la prima ecuație.

A1 plus 2 ori înlocuim pe R cu 1 supra 2 egal cu 4. Se simplifică 2.

Echivalent a1 plus 1 este egal cu 4. Echivalent a1 este egal cu 3.

Am obținut și primul termen al progresiei. Acesta este egal cu 3.

Acum putem să calculăm a37.

Aplicam din nou prima formulă și egal cu a1 plus 36R.

Egal mai departe cu 3 plus 36 ori 1 pe 2.

Egal cu 3 plus, se simplifică 36 cu 2, rămâne 18.

Și egal mai departe cu 21.

Și acum mai trebuie să calculăm suma primilor 37 de termeni.

Voi calcula alăturat.

Aplicăm ultima formulă.

S37 va fi egal cu 37 pe lângă a1 este 3 plus a37 este 21 totul supra 2.

Egal cu 37 ori 24 totul supra 2. Se simplifică 24 cu 2.

Obținem 37 ori 12 și egal cu 444.

Continuăm cu al doilea exercițiu.

Să se afle numărul real x astfel încât numerele 2x plus 5, 3x plus 11 și 13x minus 1 să fie în progresie aritmetică.

Noi știm că în orice progresie aritmetică fiecare termen, începând cu al doilea, este media aritmetică a vecinilor săi.

Așadar în acest exercițiu vom aplica această formulă an egal cu an minus 1 plus an plus 1 totul supra 2.

Prin urmare termenul din mijloc, adică 3x plus 11, va fi media aritmetică a celorlalți doi termeni.

2x plus 5 plus 13x minus 1 totul supra 2.

2 pe lângă 3x plus 11 este egal cu 2x plus 13x, adică 15x plus 4.

6x plus 22 egal cu 15x plus 4.

9x este egal cu 18, x este egal cu 2.

Și al treilea exercițiu.

Fie a1, a2, an o progresie crescătoare în care sunt îndeplinite relațiile a1, a2, a3 egal cu 162 și a1 plus a2 plus a3 egal cu 18.

Se cere să calculăm suma primilor 20 de termeni.

Mai întâi vom folosi a doua relație dată în problemă, pe care o să o mai scriu o dată.

a1 plus a2 plus a3 este egal cu 18.

Vom scrie termenii a1 și a3 în funcție de a2.

a3 este a2 plus rația, iar a1 este a2 minus rația.

Și adunând acești termeni obținem 18.

Observăm că dacă am scris cei trei termeni în modul acesta, se reduce R și obținem astfel o ecuație cu o singură necunoscută.

3a2 este egal cu 18, de unde rezultă că a2 este egal cu 6.

Pentru a afla suma primilor 20 de termeni mai trebuie să aflăm a1 și rația.

Folosim această relație a1, a2, a3 egal cu 162.

a1 am zis că este a2 minus rația, ori a2, ori a3 este a2 plus rația și egal cu 162.

Acum înlocuim pe a2 cu 6 și inversez locul primilor doi factori.

6 pe lângă 6 minus R pe lângă 6 plus R egal cu 162.

6 pe lângă 6 la a2 minus R la a2 egal cu 162.

36 minus R la pătrat este egal cu 162 împărțit la 6, adică 27.

R la pătrat este egal cu 36 minus 27, adică 9.

Acum o să fac o mică paranteză.

Dacă avem o progresie aritmetică cu rația pozitivă,

atunci acea progresie aritmetică aN este un șir strict crescător,

iar dacă rația este negativă, atunci progresia aN este un șir strict descrescător.

Noi știm din datele problemei că progresia este crescătoare.

Așadar, deși avem aici o ecuație de gradul 2 cu două soluții 3 și minus 3,

din moment ce progresia este crescătoare, singura soluție posibilă este cea pozitivă.

Așadar, rația va fi egală cu 3.

Acum putem să calculăm primul termen.

Voi continuă alăturat.

A1 este A2 minus R.

A2 este 6, R 3, 6 minus 3, 3.

Pentru a calcula S20 mai trebuie să calculăm termenul de rang 20.

Acesta este egal cu A1 plus 19R.

Și egal mai departe cu 3 plus 19 ori 3, egal 3 plus 57, 60.

S20 va fi egal cu 20 pe lângă.

A1 este 3, A20 este 60, totul supra 2.

Egal se simplifică 63 ori 10, egal cu 630.