Proprietățiile progresiei aritmetice (teorie)

În această lecție o să discutăm despre proprietățile progresiei aritmetice și avem această progresie aritmetică pe care am notat-o cu AN.

Rația este egală cu R, unde R este număr real nenul, iar, ca și exemplu, am scris această progresie aritmetică 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

Aceasta este o progresie aritmetică cu rația egală cu 2.

Pentru început ne propunem să găsim o formulă de calcul pentru termenul general al unei progresii aritmetice.

Primul termen al acestei progresii este A1, al doilea termen este A2 și acesta se obține adunând la primul termen rația.

Al treilea termen A3 este egal cu A2 plus rația și egal mai departe A2 este A1 plus R plus R și egal cu A1 plus 2R.

Al patrulea termen va fi A3 plus rația, egal mai departe cu A1 plus 2R plus R și egal cu A1 plus 3R.

Și așa mai departe observăm așadar că pentru termenul de rang 3 avem aici 2 ori rația, pentru termenul de rang 4 avem 3 ori rația.

Prin urmare, pentru termenul de rang n o să avem A1 plus n-1 ori rația, oricare ar fi n mai mare sau egal cu 1.

Am găsit așadar această formulă care ne permite să calculăm orice termen al unei progresii aritmetice dacă se cunosc primul termen și rația.

Demonstrația acestei formule se face prin metoda inducției matematice și o lăsăm ca și exercițiu.

Revenind la exemplul acesta, haideți să calculăm al 31-lea termen.

În acest exemplu primul termen este egal cu 1, rația este egală cu 2 și atunci al 31-lea termen, conform acestei formule, va fi egal cu A1, adică 1 plus 31-1 ori rația,

egal în continuare cu 1 plus 32 și egal cu 61.

Să reținem așadar această formulă cu ajutorul căreia putem să calculăm orice termen al unei progresii în funcție de primul termen și de rația progresiei.

Continuăm cu o a doua proprietate a progresiilor, iar pentru aceasta haideți să ne uităm puțin la acest exemplu.

Observăm că numărul 3 este media aritmetică a numerelor 1 și 5, pentru că 1 plus 5 supra 2 este 6 pe 2, adică 3.

De asemenea, numărul 5 este media aritmetică a numerelor 3 și 7.

3 plus 7 este 10 supra 2 egal cu 5.

La fel, numărul 7 este media aritmetică a numerelor 5 și 9.

5 plus 9 este 14 supra 2, 7.

Observăm așadar că fiecare termen al progresiei aritmetice, începând cu al doilea, este media aritmetică a termenilor alăturați.

De aici și provine numele progresiei aritmetice.

În caz general, această proprietate se va scrie astfel, AN, termenul de rang N, este media aritmetică a numerelor AN minus 1 și AN plus 1,

oricare ar fi N mai mare sau egal cu 2.

Sau această formulă se mai poate scrie și astfel, 2AN este egal cu AN minus 1 plus AN plus 1.

Haideți să demonstrăm această formulă.

Calculăm așadar suma AN minus 1 plus AN plus 1.

Reamintesc formula termenului general pe care am dedus-o mai devreme.

Adică, AN este egal cu A1 plus N minus 1 ori rația.

Atunci, A indice N minus 1, va fi egal cu A1 plus N minus 1 minus 1, adică N minus 2 ori rația plus,

iar termenul de rang N plus 1 va fi egal cu A1 plus N plus 1 minus 1, adică N ori rația, egal

A1 plus A1 este 2A1 plus, aici dăm factor comun pe R, avem R pe lângă N minus 2 plus N,

egal mai departe cu 2A1 plus R pe lângă 2N minus 2, egal cu 2A1 plus, în paranteză dăm factor comun pe 2, avem 2 pe lângă N minus 1 ori rația,

mai dăm încă o dată factor comun pe 2 și o să avem 2 pe lângă A1 plus N minus 1 ori R.

Observăm acum că în paranteza dreaptă avem expresia pentru termenul general AN, așadar putem să scriem egal mai departe cu 2AN.

Iată de unde am pornit, AN minus 1 plus AN plus 1 este egal cu 2AN, așadar am demonstrat această formulă,

prin urmare să reținem că oricare ar fi 3 termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, termenul din mijloc este media aritmetică a termenilor alăturați.

Trecem la a treia proprietate a progresiilor aritmetice, pentru aceasta am rescris progresia aritmetică sub această formă, o să vedeți imediat de ce.

Mai întâi să ne uităm la acest exemplu, observăm că 1 plus 15 este egal cu 3 plus 13, egal cu 5 plus 11 și egal cu 7 plus 9.

Putem chiar să scriem acest lucru, 1 plus 15 este egal cu 3 plus 13, egal cu 5 plus 11 și egal cu 7 plus 9.

Observăm așadar că suma oricăror două numere egal departate de numerele extreme este egală cu suma numerelor extreme.

În cazul general, acest lucru se va scrie astfel, a1 plus an, acestea sunt numerele extreme, va fi egal cu a2 plus an minus 1, egal cu puncte puncte și egal cu ak plus an minus k plus 1.

Dacă ne uităm la indici, observăm că suma indicilor este întotdeauna egală cu n plus 1.

Așadar, al caulea termen de la început este evident ak, însă al caulea termen de la sfârșit, deci pornind de la dreapta spre stânga, va fi a indice n minus k plus 1.

Ca să respectăm această regulă, ca suma indicilor să fie egală cu n plus 1.

Vom demonstra această formulă, mai exact demonstrăm această egalitate.

Haideți să calculăm suma ak plus a indice n minus k plus 1.

Și aplicăm din nou formula termenului general al unei progresii aritmetice pe care o să o mai scriu încă o dată.

an este egal cu a1 plus n minus 1 rația.

Bănuiesc că deja ați învățat această formulă.

Așadar, ak va fi egal cu a1 plus k minus 1 r plus, acum acest termen va fi egal cu a1 plus n minus k plus 1 minus 1.

Ne rămâne n minus k ori rația.

Egal a1 plus a1 este 2a1 plus, dăm factor comun pe r, avem r pe lângă k minus 1 plus n minus k.

Egal cu 2a1 plus n minus 1 ori r.

Egal, în loc de 2a1 vom scrie a1 plus a1 plus n minus 1 r.

Însă această expresie reprezintă formula de calcul pentru termenul de rang n și atunci putem să scriem egal mai departe cu a1 plus an.

Iată așadar, am arătat că această sumă, ak plus a indice n minus k plus 1, este egală cu a1 plus an.

Să reținem așadar că, într-o progresie aritmetică, suma oricăror două numere egal depărtate de numerele extreme este egală cu suma numerelor extreme.

Și continuăm cu oa4-a proprietate a progresiilor aritmetice.

Ne propunem să determinăm o formulă de calcul pentru suma primelor n numere ale unei progresii aritmetice și notăm această sumă cu sn.

sn va fi egal cu a1 plus a2 plus puncte puncte, penultimul termen este a indice n minus 1 și ultimul termen din sumă va fi an.

Pentru a găsi o formulă de calcul pentru această sumă vom rescrie suma sub următoarea formă an plus an minus 1 plus puncte puncte plus a2 plus a1.

Știm că adunarea este comutativă, așadar putem să rescriem suma invers.

Adunăm cele două relații, membru cu membru, vom obține 2sn egal, adunăm pe verticală, a1 plus an plus a2 plus an minus 1 plus puncte puncte plus an minus 1 plus a2 și plus an plus a1.

Fiecare paranteză va conduce spre același rezultat, deoarece confund proprietății demonstrate anterior, suma termenilor egal depărtați de numerele extreme este egală cu suma extremelor, așadar fiecare paranteză va fi egală cu a1 plus an.

Din moment ce avem n astfel de paranteze putem să scriem că 2sn va fi egal cu n ori a1 plus an.

Și acum îl exprimăm pe sn, sn va fi egal cu n pe lângă a1 plus an totul supra 2.

Aceasta este formula de calcul pentru suma primilor n termeni a unei progresii aritmetice.

Pentru exemplul nostru, haideți să calculăm suma primelor 20 de numere.

Așadar, s20 va fi egal, în cazul nostru n este 20, vom avea 20 pe lângă a1 este 1 plus a20 totul supra 2.

Mai trebuie să calculăm al 20-lea termen, a20 este egal cu a1 adică 1 plus 20 minus 1 ori rația, rația în cazul acestui exemplu este egală cu 2.

Și obținem 1 plus 19 ori 2, 38, egal cu 39.

Și atunci s20 va fi egal, aici se simplifică 20 cu 2, ne rămâne 10 pe lângă 1 plus 39 și egal cu 400.

Să reținem așadar această formulă care ne permite să calculăm suma primelor n numere ale unei progresii aritmetice.

În continuare aș vrea să mai fac câteva observații.

O primă observație, dacă avem 3 numere consecutive a, b și c ale unei progresii aritmetice, uneori în exerciții este util să scriem cele 3 numere sub următoarea formă.

b egal cu k, a egal cu k minus r, iar c egal cu k plus r.

Dacă le scriem sub această formă putem să le calculăm mai rapid.

O a doua observație, dacă avem acum 4 numere a, b, c, d ale unei progresii aritmetice, 4 numere consecutive ale unei progresii aritmetice,

atunci în exerciții este convenabil să le scriem astfel, a să fie k minus 3r, b k minus r, c egal cu k plus r, iar d va fi egal cu k plus 3r.

În acest caz rația este egală cu 2r.

Iar dacă avem 5 numere consecutive a, b, c, d și e ale unei progresii aritmetice,

atunci numarul din mijloc c va fi egal cu k, b va fi egal cu k minus r, a este k minus 2r, d este k plus r, iar e va fi egal cu k plus 2r.

Așadar să reținem că în unele exerciții este mai convenabil să scriem numerele dintr-o progresie aritmetică sub aceste forme pentru a le putea găsi mai ușor.

Să reținem așadar cele 4 formule importante pe care le-am văzut în această lecție.

Formula termenului general al unei progresii aritmetice a n este egal cu a1 plus n minus 1 ori rația.

Fiecare termen al unei progresii aritmetice este media aritmetică a termenilor alăturați.

a n este egal cu a n minus 1 plus a n plus 1 supra 2.

Suma termenilor egal depărtați de numerele extreme este egală cu suma extremelor, deci a k plus a n minus k plus 1 va fi egal cu a1 plus a n.

Iar formula care ne permite să calculăm suma primelor n numere ale unei progresii aritmetice este n pe lângă a1 plus a n supra 2.

Dacă reținem aceste formule putem să rezolvăm orice exercițiu cu progresii aritmetice.