Inducția matematică - aplicații

În acest film ne propunem să demonstrăm formula de calcul pentru suma pătratelor primelor n numere naturale,

respectiv formula de calcul pentru suma cuburilor primelor n numere naturale folosind metoda inducției matematice.

Și începem cu primul exercițiu să se demonstreze că 1 la pătrat plus 2 la pătrat plus 3 la pătrat plus puncte puncte plus n la pătrat

este egal cu n pe lângă n plus 1 pe lângă 2n plus 1 supra 6, oricare ar fi n număr natural diferit de 0.

Începem cu prima etapă, etapa de verificare.

Verificăm dacă propoziția p de n este adevărată pentru prima valoare pe care o poate lua n.

Prin urmare, dacă n este egal cu 1, avem propoziția p de 1 care se obține înlocuind pe n cu 1 atât în membrul stâng cât și în membrul drept.

Și avem 1 la pătrat egal cu 1 pe lângă 1 plus 1 pe lângă 2 ori 1 plus 1 totul supra 6.

1 va fi egal cu 1 plus 1 este 2, 2 plus 1 este 3, totul supra 6.

6 supra 6 este 1, așadar are loc egalitatea 1 egal cu 1, deci propoziția p de 1 este adevărată.

Putem să verificăm și propozițiile p de 2 și p de 3, dar nu este obligatoriu, așa că o să continuăm cu a doua etapă, demonstrația.

Demonstrăm că are loc implicația p de k implică p de k plus 1, oricare ar fi k un număr mai mare sau egal cu 1.

Pentru aceasta o să presupunem că propoziția p de k este adevărată și pe baza acesteia demonstrăm că propoziția p de k plus 1 este adevărată.

O să scriem mai întâi propoziția p de k, înlocuim pe n cu k, atât în membrul stâng cât și în membrul drept și avem 1 la pătrat plus 2 la pătrat plus 3 la pătrat plus puncte puncte plus k la pătrat egal k pe lângă k.

2k plus 1 pe lângă 2k plus 1 totul supra 6, iar aceasta este o propoziție adevărată.

Acum scriem propoziția p de k plus 1.

Ultimul termen în această propoziție va fi k plus 1 la pătrat, dar o să scriem și termenul situat înainte acestuia, iar acesta va fi k la pătrat.

Avem 1 la a doua plus 2 la a doua plus puncte puncte plus k la pătrat plus ultimul termen k plus 1 la pătrat egal.

În această formulă înlocuim pe n cu k plus 1 și obținem k plus 1 pe lângă k plus 1 plus 1 este k plus 2, aici o să avem 2 pe lângă k plus 1 plus 1 totul supra 6 egal.

O să mai facem calculele în paranteza dreaptă și obținem k plus 1 pe lângă k plus 2 pe lângă 2k plus 2 plus 1 este 2k plus 3 totul supra 6.

Aceasta este propoziția pdk plus 1. Nu știm dacă este adevărată, însă vrem să demonstrăm acest lucru.

Observăm că în cadrul expresiei pdk plus 1 regăsim această sumă care este de fapt propoziția pdk.

Din moment ce propoziția pdk este adevărată, înseamnă că această sumă poate fi înlocuită cu această formulă.

Și atunci să vedem ce obținem. K pe lângă k plus 1 pe lângă 2k plus 1 totul supra 6. Urmează apoi acest termen plus k plus 1 la pătrat egal.

Vom da factor comun paranteza k plus 1. Avem k plus 1. K pe lângă 2k plus 1 supra 6 plus k plus 1 egal.

Aici o să aducem la numitor comun, amplificăm cu 6 și avem k plus 1 pe lângă k ori 2k plus 1 plus 6k plus 6 totul supra 6 egal.

K plus 1 ori desfacem aici paranteza 2k la pătrat plus k si plus 6k este 7k plus 6 totul supra 6 egal.

Acum în loc de 7k o să scriem 4k plus 3k pentru a putea da factor comun.

Prin urmare o să avem k plus 1 pe lângă 2k la pătrat plus 4k plus 3k plus 6 totul supra 6 egal.

Aici avem k plus 1 pe lângă din primii doi dăm factor comun pe 2k și avem 2k pe lângă k plus 2 plus din ultimii doi termeni dăm factor comun pe 3 pe lângă k plus 2.

Și aici avem o paranteza dreaptă totul supra 6 egal.

Observăm acum că în paranteza dreaptă mai putem da factor comun pe k plus 2 și avem k plus 1 pe lângă k plus 2 pe lângă 2k plus 3 totul supra 6.

Dacă ne uităm la formula aceasta la care am ajuns și la formula pe care o regăsim în cadrul expresiei p de k plus 1 observăm că avem o egalitate.

Prin urmare, propoziția p de k plus 1 este adevărată. Înseamnă că are loc implicația p de k implică p de k plus 1. Așadar, propoziția p de n este adevărată.

Oricare ar fi n, număr natural diferit de 0.

Și în continuare mai facem un exercițiu să se demonstreze folosind metoda inducției matematice că are loc următoarea egalitate 1 la a3 plus 2 la a3 plus 3 la a3 plus și așa mai departe plus n la a3 egal cu n pe lângă n plus 1 supra 2 totul la pătrat unde n este număr natural diferit de 0.

Începem cu etapa de verificare.

Verificăm dacă este adevărată propoziția p de 1.

Verificăm dacă este adevărată propoziția p de 1.

P de 1 se obține înlocuind pe n cu 1 atât în membrul stâng cât și în membrul drept.

Avem 1 la a3 egal cu 1 pe lângă 1 plus 1 supra 2 totul la pătrat.

1 la a3 este 1.

Aici se simplifică 2 cu 2 și rămâne 1 la a2 adică 1.

Prin urmare avem o egalitate, deci propoziția p de 1 este o propoziție adevărată.

Urmează etapa a doua, demonstrația.

Arătăm că are loc implicația p de k implică p de k plus 1

oricare ar fi k un număr mai mare sau egal cu 1.

Presupunem că propoziția p de k este adevărată

și demonstrăm că p de k plus 1 este adevărată.

Scriem propoziția p de k, înlocuim pe n cu k și obținem 1 la a3 plus 2 la a3 plus 3 la a3 plus puncte puncte plus k la a3 egal cu k pe lângă k plus 1 supra 2 totul la a2.

Aceasta este o propoziție adevărată.

Acum avem propoziția p de k plus 1.

Înlocuim pe n cu k plus 1.

Ultimul termen al sumei va fi k plus 1 la a3.

Penultimul termen va fi k la a3 și o să-l scriem și pe acela

tocmai pentru a evidenția faptul că în expresia lui p de k plus 1 regăsim propoziția p de k.

Așadar o să avem 1 la a3 plus 2 la a3 plus 3 la a3 plus puncte puncte plus k la a3 plus k plus 1 la a3 egal

k plus 1 pe lângă k plus 1 plus 1 deci k plus 2 supra 2 totul la pătrat.

Iar această expresie se poate scrie mai departe k plus 1 la pătrat pe lângă k plus 2 la pătrat totul supra 4.

Observăm că în cadrul propoziției p de k plus 1 regăsim această sumă.

Aceasta este propoziția p de k.

Din moment ce p de k este adevărată înseamnă că putem înlocui această sumă cu formula aceasta de mai sus.

Și atunci o să avem k pe lângă k plus 1 supra 2 totul la pătrat plus k plus 1 la a3 egal.

Aici ar fi trebuit să pun paranteze pătrate dar mie nu prea îmi plac parantezele pătrate așa că o să pun rotunde dar voi să scrieți corect și frumos.

Ridicăm la pătrat și avem k la pătrat pe lângă k plus 1 la pătrat totul supra 4 plus k plus 1 la a3 egal.

Putem să dăm factor comun k plus 1 la a2 și obținem k plus 1 la pătrat pe lângă k la pătrat supra 4 plus k plus 1 egal.

Amplificăm cu 4, avem k plus 1 la pătrat ori k la a2 plus 4k plus 4 totul supra 4 egal.

K plus 1 la pătrat ori aici avem expresia k plus 2 totul la pătrat supra 4.

Încadrăm formula la care am ajuns și iată că regăsim aceeași formulă de mai sus.

Așadar, propoziția p de k plus 1 este adevărată.

Prin urmare, implicația are loc.

Așadar, propoziția p de n este adevărată.

Oricare ar fi n, număr natural diferit de 0.