Prezentarea metodei inducției matematice

În multe probleme de matematică trebuie să demonstrăm propoziții ce depind de un număr natural n.

Metoda folosită se numește metoda inducției matematice și în continuare o să prezentăm această metodă pornind de la următorul exemplu.

Avem propoziția pe care am notat-o cu p de n, 1 plus 2 plus 3 plus puncte puncte plus n, egal cu n pe lângă n plus 1 supra 2, oricare ar fi n număr natural diferit de 0.

Prin urmare vrem să demonstrăm că suma primelor n numere naturale este dată de formula scrisă în membrul drept.

Metoda inducției matematice are două etape. Prima este etapa de verificare, în care verificăm dacă propoziția p de n este adevărată pentru primele valori pe care le poate lua n.

Din moment ce n este diferit de 0, înseamnă că prima valoare pe care o poate lua n este 1.

Prin urmare vrem să verificăm dacă propoziția p de 1 este o propoziție adevărată.

Din moment ce p de n este o sumă de n termeni, înseamnă că p de 1 va avea un singur termen, mai exact 1.

Egal, în această formulă înlocuim pe n cu 1.

Și avem 1 pe lângă 1 plus 1 supra 2.

1 este egal cu, aici avem 2 supra 2, se simplifică 2 și ne rămâne 1.

Am ajuns la o relație adevărată, prin urmare propoziția p de 1 este adevărată.

Să vedem dacă este adevărată și propoziția p de 2.

Dacă înlocuim pe n cu 2 în această sumă, înseamnă că ultimul termen al sumei va fi 2.

Deci avem suma primelor două numere naturale, 1 plus 2, egal.

Înlocuim pe n cu 2 în această formulă și obținem 2 pe lângă 2 plus 1 supra 2.

1 plus 2 este 3, se simplifică 2 cu 2, 2 plus 1, 3.

Prin urmare propoziția p de 2 este adevărată.

Să vedem dacă este adevărată și propoziția p de 3.

Dacă înlocuim pe n cu 3 în membrul stâng, înseamnă că ultimul termen al sumei este 3.

Prin urmare avem suma 1 plus 2 plus 3, egal.

Și acum înlocuim pe n cu 3 în această formulă și obținem 3 pe lângă 3 plus 1 supra 2.

1 plus 2 plus 3 este 6.

Aici avem 3 ori 4, 12 supra 2, adică 6.

Prin urmare, iată că și propoziția p de 3 este adevărată.

Din moment ce p de 1 și p de 2 sunt propoziții adevărate, înseamnă că are loc implicația p de 1 implică p de 2.

Dar și propoziția p de 3 este adevărată, înseamnă că p de 2 implică p de 3.

Și am putea să continuăm acest șir, însă în continuare o să demonstrăm că propoziția p de k implică p de k plus 1,

oricare ar fi k un număr mai mare sau egal cu 3.

Iar această etapă se numește etapa de demonstrație.

Prin urmare, ne propunem să demonstrăm că are loc această implicație p de k implică p de k plus 1,

oricare ar fi k mai mare sau egal cu 3.

Și pentru a demonstra această implicație, o să presupunem că propoziția p de k este adevărată

și demonstrăm, pe baza acesteia, că propoziția p de k plus 1 este adevărată.

Acum se pune întrebarea, de ce să presupunem că p de k este adevărată?

Ce s-ar întâmpla dacă nu ar fi?

Păi răspunsul la această întrebare este dat de tabelul de valori pe care l-am văzut atunci când am studiat implicația a două propoziții, iată.

În cazul în care propoziția p este falsă, atunci implicația este adevărată, indiferent de valoarea de adevăr a propoziției q.

Prin urmare, nu prea are sens să studiem cazul în care p de k este falsă, pentru că în acest caz implicația este adevărată.

O să pornim de la ipoteza că p de k este adevărată, iar dacă reușim să demonstrăm că și propoziția p de k plus 1 este adevărată, atunci implicația va fi adevărată.

Iar dacă această implicație este adevărată pentru orice număr k mai mare sau egal cu 3, înseamnă că propoziția p de n va fi adevărată, oricare ar fi n număr natural diferit de 0.

Prin urmare, haideți să scriem propoziția p de k.

Avem suma primelor k numere naturale, deci înlocuim pe n cu k atât în membrul stâng cât și în membrul drept.

Iar aceasta este o propoziție adevărată.

Acum să scriem expresia pentru propoziția p de k plus 1.

p de k plus 1 se obține înlocuind pe n cu k plus 1, atât în membrul stâng cât și în membrul drept.

Avem 1 plus 2 plus 3 plus puncte puncte.

Ultimul termen este k plus 1, dar termenul situat înaintea acestuia este k, și o să-l scriem și pe acesta, plus k plus 1 egal.

În loc de n, scriem k plus 1 și avem k plus 1 pe lângă.

Aici o să avem k plus 1 plus 1, adică k plus 2 totul supra 2.

Nu știm dacă această propoziție este adevărată, dorim să demonstrăm acest lucru pornind de la faptul că p de k este adevărată.

Observăm că în cadrul expresiei p de k plus 1 avem suma primelor k numere naturale, dar aceasta este propoziția p de k.

Din moment ce p de k este adevărată, înseamnă că putem să înlocuim această sumă cu formula scrisă aici.

Și o să avem k pe lângă k plus 1 supra 2 plus, urmează acum acest termen, k plus 1 egal.

Să facem calculele, aici ducem la numitor comun amplificăm cu 2 și o să avem k pe lângă k plus 1 plus 2 pe lângă k plus 1 totul supra 2 egal.

Putem să dăm factor comun la numărător pe k plus 1 și obținem k plus 1 pe lângă k plus 2 totul supra 2.

Iată deci că am ajuns la aceiași formulă care se regăsește și în expresia p de k plus 1.

Prin urmare, propoziția p de k plus 1 este adevărată, atunci înseamnă că are loc și această implicație, p de k implică p de k plus 1,

iar dacă implicația aceasta este adevărată, rezultă că propoziția p de n este adevărată, oricare ar fi n, număr natural, diferit de 0.

Prin urmare să reținem că metoda inducției matematice are două etape.

Etapa de verificare, în care verificăm dacă propoziția p de n este adevărată pentru prima valoare pe care o poate lua n.

Eu aici am verificat și propozițiile p de 2 și p de 3, însă este suficient să verificăm propoziția p de 1, iar pe viitor o să ne limităm la acest caz.

Apoi, a doua etapă este etapa de demonstrație, în care demonstrăm că are loc implicația p de k implică p de k plus 1.

Dacă p de k este falsă, atunci automat implicația va fi adevărată, deci pornim de la ipoteza că p de k este adevărată.

Pe baza acesteia, demonstrăm că și propoziția p de k plus 1 este adevărată.

Observăm că, în cadrul expresiei propoziției p de k plus 1, regăsim propoziția p de k.

Din moment ce p de k este adevărată, înseamnă că putem să înlocuim acea sumă cu formula aferentă propoziției p de k

și, făcând calculele, ajungem la concluzia că p de k plus 1 este adevărată.

Pitul mare, p de n este adevărată oricare ar fi n număr natural diferit de 0.