Metoda inducției matematice pentru demonstrarea unor inegalități

În această lecție o să aplicăm metoda inducției matematice pentru demonstrarea unor inegalități și începem cu această inegalitate.

Trebuie să arătăm că 3 la puterea n este mai mare decât 3n plus 1, oricare ar fi n un număr natural mai mare sau egal cu 2.

Și haideți să notăm această propoziție cu p de n.

Prima etapă a inducției, etapa de verificare, trebuie să verificăm dacă propoziția p de n este adevărată în cazul în care n este egal cu 2.

Așadar, pentru n egal cu 2, avem propoziția p de 2, 3 la puterea a doua este mai mare decât 3 ori 2 plus 1.

Echivalent, 9 mai mare decât 7. Aceasta este într-adevăr o relație adevărată, prin urmare, propoziția p de 2 este adevărată.

A doua etapă, demonstrația, trebuie să demonstrăm că are loc implicația p de k implică p de k plus 1,

oricare ar fi k, un număr natural mai mare sau egal decât 2.

Pentru aceasta presupunem că p de k este adevărată și arătăm că p de k plus 1 este adevărată.

Vom scrie mai întâi propoziția p de k, 3 la puterea k este mai mare decât 3k plus 1.

Știm că aceasta este o propoziție adevărată.

P de k plus 1, 3 la puterea k plus 1 este mai mare decât 3 pe lângă k plus 1 plus 1.

Nu știm dacă aceasta este o propoziție adevărată, trebuie să demonstrăm acest lucru.

O să mai scriem încă o dată membrul stâng din p de k plus 1, 3 la puterea k plus 1.

Acest număr se poate scrie 3 ori 3 la puterea k.

Însă noi știm că p de k este adevărată, prin urmare 3 la k este mai mare decât 3k plus 1.

Așadar, tot acest număr va fi mai mare decât 3 ori 3k plus 1.

Aici ne-am bazat pe faptul că propoziția p de k este adevărată.

Și acum o să fac o mică paranteză.

Dacă avem trei numere a, b și c, iar a este mai mare decât b și b este mai mare decât c,

atunci rezultă că a este mai mare decât c.

Și atunci, în cazul nostru, 3 la k plus 1 poate fi notat cu a.

3 pe lângă 3k plus 1 este b.

Iar această expresie este c.

Iar 3 la k plus 1 este a.

Așadar, iată că a este mai mare decât b.

Știm că are loc acest lucru pentru că p de k este adevărată.

Și atunci, dacă reușim să arătăm că b este mai mare decât c,

atunci va rezulta că a este mai mare decât c.

Prin urmare, va rezulta că p de k plus 1 este adevărată.

Prin urmare, noi trebuie acum să demonstrăm că 3 pe lângă 3k plus 1 este mai mare decât 3 pe lângă k plus 1 plus 1.

Continuăm mai jos.

Mai trebuie să arătăm că 3 pe lângă 3k plus 1 este mai mare decât 3 pe lângă k plus 1 plus 1.

Desfacem parantezele.

9k plus 3 este mai mare decât 3k plus 3 plus 1, adică 3k plus 4.

6k este mai mare decât 1.

Aceasta este o propoziție adevărată, întrucât k este un număr natural mai mare sau egal cu 2.

Prin urmare, 6 ori k va fi întotdeauna mai mare decât 1.

Așadar, am demonstrat că b este mai mare decât c și atunci va rezulta că a este mai mare decât c.

Prin urmare, rezultă că propoziția p de k plus 1 este o propoziție adevărată.

Așadar, are loc implicația p de k implică p de k plus 1.

Oricare ar fi k mai mare sau egal cu 2.

Din moment ce ambele etape ale inducției au fost validate, înseamnă că propoziția p de n este o propoziție adevărată.

Oricare ar fi n număr natural mai mare sau egal cu 2.

Și trecem în continuare la a doua inegalitate.

Trebuie să demonstrăm că 1 plus 1 supraradical din 2 plus 1 supraradical din 3 plus puncte puncte plus 1 supraradical din n este mai mic decât 3 radical din n.

Oricare ar fi n un număr natural diferit de 0.

Notăm și de această dată propoziția p de n.

Și începem cu prima etapă, verificarea.

Prima valoare pe care o poate lua n este 1.

Pentru n egal cu 1.

Verificăm dacă propoziția p de 1 este adevărată.

Observăm că în membrul stâng avem o sumă de n termeni.

Pentru n egal cu 1 această sumă se reduce la un singur termen.

Așadar o să avem 1 mai mic decât 3 radical din 1.

Echivalent, 1 mai mic decât 3.

Aceasta este o relație adevărată, așadar p de 1 este adevărată.

A doua etapă, demonstrația.

Trebuie să demonstrăm că p de k implică p de k plus 1.

Oricare ar fi k mai mare sau egal cu 1.

Vom scrie mai întâi propoziția p de k.

1 plus 1 supraradical din 2 plus 1 supraradical din 3 plus puncte puncte plus 1 supraradical din k

este mai mic decât 3 radical din k.

Aceasta este o propoziție adevărată.

Și acum trebuie să demonstrăm că p de k plus 1 este adevărată.

Și avem 1 plus 1 supraradical din 2 plus 1 supraradical din 3 plus puncte puncte plus 1 supraradical din k.

Plus.

Ultimul termen este 1 supraradical din k plus 1.

Mai mic decât 3 radical din k plus 1.

Vrem să demonstrăm că aceasta este o propoziție adevărată.

Haideți să notăm această sumă care apare în membrul stâng din p de k cu S0

ca să redactăm mai ușor demonstrația.

Iar suma care apare în p de k plus 1 să o notăm cu S1.

Și atunci conform acestor notații putem să scriem că S1 este egal cu S0.

Deci până aici avem S0.

La care se mai adaugă acest ultim termen.

1 supraradical din k plus 1.

Dar S0, conform propoziției p de k, este mai mic decât 3 radical din k.

Prin urmare, tot acest număr va fi mai mic decât 3 radical din k plus 1 supraradical din k plus 1.

Aici ne bazăm pe faptul că p de k este o propoziție adevărată.

Și acum facem iarăși o mică paranteză.

Noi știm că dacă a este mai mic decât b și b este mai mic decât c, atunci rezultă că a este mai mic decât c.

Prin urmare, putem să notăm S1 cu a.

b este acest termen.

Iar c este 3 radical din k plus 1.

Și atunci noi știm că a este mai mic decât b.

Aceasta este o relație adevărată pentru că ne-am bazat pe propoziția p de k.

Dacă reușim să demonstrăm că b este mai mic decât c, atunci va rezulta că a este mai mic decât c.

Deci va rezulta că această sumă S1 este mai mică decât 3 radical din k plus 1.

Prin urmare, ar rezulta că p de k plus 1 este adevărată.

Înseamnă că noi mai trebuie doar să arătăm că b este mai mic decât c.

Așadar o să scriem...

Mai trebuie să demonstrăm că 3 radical din k plus 1 supra radical din k plus 1 este mai mic decât 3 radical din k plus 1.

Oricare ar fi k un număr mai mare sau egal cu 1.

Continuăm mai jos.

Din moment ce k este mai mare sau egal cu 1, atunci înmulțind toată această inegalitate cu radical din k plus 1, semnul inegalității se păstrează.

Și o să avem 3 radical din k ori radical din k plus 1 plus 1 mai mic decât 3 pe lângă k plus 1.

3 radical din k pe lângă k plus 1 este mai mic decât 3k.

Desfacem paranteza și o să avem 3k plus 3 minus 1, deci 3k plus 2.

Și acum ridicăm la pătrat și o să avem 9 pe lângă...

Desfacem paranteza k pătrat plus k mai mic decât...

Aici ridicăm la pătrat după formula a plus b totul la a doua și avem 9k la pătrat plus 12k plus 4.

9k la pătrat plus 9k mai mic decât 9k la pătrat plus 12k plus 4.

Se reduce 9k la pătrat, trecem toți termeni într-un membru și avem 12k minus 9k plus 4 este mai mare decât 0.

3k plus 4 este mai mare decât 0.

Aceasta este o relație adevărată având în vedere faptul că numărul k este mai mare sau egal cu 1.

Revenim puțin mai sus.

Am demonstrat că b este mai mic decât c.

Prin urmare va rezulta că a este mai mic decât c.

Deci această sumă s1 este mai mică decât 3 radical din k plus 1.

Deci p de k plus 1 este adevărată.

Rezultă că implicația este adevărată.

Rezultă p de n adevărată.

Ambele etape ale inducției au fost confirmate, așadar propoziția p de n este adevărată oricare ar fi n mai mare sau egal cu 1.

Gata!