Negația propozițiilor și a predicatelor. Complementara unei mulțimi

Vă reamintesc că logica studiază propozițiile din punct de vedere al valorilor de adevăr.

Pornind de la o propoziție dată sau de la un predicat, putem obține alte propoziții respectiv predicate cu ajutorul operațiilor logice.

Aceste operații sunt negația, conjunția, dizjunția, implicația și echivalența.

În această lecție o să discutăm despre prima operație, negația.

O să vedem cum putem să obținem negația unei propoziții și a unui predicat și apoi o să discutăm despre complementarea unei mulțimi.

Fiind dată o propoziție P, negația acestei propoziții se notează astfel, se citește non-P și ea este adevărată atunci când P este falsă și falsă dacă P este adevărată.

Prin urmare, valoarea de adevăr a propoziției non-P este egală cu 1 dacă valoarea de adevăr a propoziției P este 0 și 0 dacă valoarea de adevăr a propoziției P este 1.

Acesta este și tabelul valorilor de adevăr.

Prin urmare, dacă P este falsă, non-P este adevărată și invers, dacă P este adevărată, negația acesteia este o propoziție falsă.

Să facem câteva exemple.

În prima coloană am scris câteva propoziții, iar în această coloană am scris negațiile acestora.

Prima propoziție, 30 este divizibil cu 2, este o propoziție adevărată, deci valoarea de adevăr a acesteia este 1.

Negația propoziției este următoarea, 30 nu este divizibil cu 2, iar aceasta este o propoziție falsă.

Prin urmare, valoarea de adevăr a propoziției non-P este 0.

Diagonalele într-un rom sunt perpendiculare, este o propoziție adevărată.

Negația acesteia, diagonalele într-un rom nu sunt perpendiculare, este o propoziție falsă.

1 plus 3 este egal cu 4, este o propoziție adevărată.

1 plus 3 este diferit de 4, este o propoziție falsă.

Radical din 2 este număr întreg, aceasta este o propoziție falsă.

Radical din 2 nu este număr întreg, este o propoziție adevărată.

Prin urmare, negația unei propoziții se obține transformând o propoziție afirmativă într-o propoziție negativă

sau folosind negațiile unor simboluri matematice.

De exemplu, simbolul egal a fost înlocuit cu simbolul diferit.

Să vedem în continuare cum putem obține negația unui predicat.

Fiind dat un predicat PDX, negația acestui predicat se notează în felul următor

și astfel se obține un predicat care este adevărat pentru acele valori ale lui X pentru care PDX este fals

și este fals pentru acele valori ale lui X pentru care PDX este adevărat.

În prima coloană avem niște predicate, iar în a doua coloană avem negațiile acestora.

De exemplu, primul predicat, X plus 1 mai mic decât 0, unde X este număr real,

iar negația acestuia este predicatul X plus 1 mai mare sau egal decât 0, X număr real.

Apoi, al doilea predicat, 2X este egal cu 0, negația acestuia, 2X este diferit de 0.

5 la X este egal cu 25, negația acestuia, 5 la X este diferit de 25.

Să discutăm în continuare despre complementarea unei mulțimi și o să vedem că există o strânsă legătură

între negația unui predicat și complementarea unei mulțimi.

Avem o mulțime D și A o submulțime a acesteia.

Atunci, mulțimea elementelor care aparțin mulțimii D, dar nu aparțin mulțimii A,

formează complementarea mulțimii A în raport cu D și se notează astfel

Complementarea mulțimii A în raport cu mulțimea D este formată din acele elemente X

cu proprietatea că X aparține lui D, dar X nu aparține lui A.

Pe această diagramă este vorba de această porțiune hașurată.

Deci în această zonă avem complementarea mulțimii A în raport cu mulțimea D.

Și acum să vedem ce legătură există între negația unui predicat și complementarea unei mulțimi.

Vă reamintesc că mulțimea de adevăr a unui predicat PDX este formată din acele elemente X

din domeniul de valori ale predicatului cu proprietatea că propoziția PDX este adevărată.

Atunci mulțimea de adevăr a negației predicatului este complementarea mulțimii de adevăr a predicatului PDX

în raport cu mulțimea D.

De exemplu, dacă avem acest predicat PDX, X mai mic decât 5, unde X este număr real,

atunci mulțimea de adevăr a acestui predicat A-PDX, pe care haide să o notăm mai simplu cu A,

este formată din acele elemente X, numere reale, cu proprietatea că X este mai mic decât 5.

Adică obținem intervalul minus infinit 5.

Și acum să vedem care este negația acestui predicat.

Negația predicatului PDX este X mai mare sau egal decât 5, unde X este număr real.

Atunci mulțimea de adevăr a negației acestui predicat este formată din acele elemente X, numere reale,

cu proprietatea că X este mai mare sau egal decât 5.

Iar această mulțime este intervalul închis 5 plus infinit.

Dar această mulțime este de fapt complementar a mulțimii A în raport cu R.

Putem să evidențiem acest lucru și pe o axă.

De exemplu, avem axa numerelor reale.

Fixăm originea, aici este numărul 5, minus infinit și plus infinit.

Să reprezentăm mai întâi pe axă mulțimea A, adică intervalul minus infinit 5.

Este vorba despre această porțiune hașurată, deci aceasta este mulțimea A.

Iar intervalul 5 plus infinit închis la 5 este această mulțime hașurată.

Aceasta este complementar a mulțimii A în raport cu mulțimea R.

Deci complementara unei mulțimi A în raport cu o mulțime D este ceea ce rămâne din D după ce am eliminat, ca să zic așa, mulțimea A.

În continuare o să vedem cum putem să obținem negația unor propoziții care conțin cuantificatorii.

Avem două propoziții. Prima propoziție, P1, este o propoziție universală.

Oricare ar fi x număr real, 2x la pătrat plus 6 este diferit de 0.

Pentru a obține negația acestei propoziții, transformăm cuantificatorul universal în cuantificatorul existențial și înlocuim acest predicat cu negația acestuia.

Deci negația unei propoziții universale este o propoziție existențială.

Prin urmare, haideți să scriem negația acestei propoziții, non P1.

Este următoarea propoziție, există cel puțin un x număr real, astfel încât 2x la pătrat plus 6 să fie egal cu 0.

Deci reținem, înlocuim cuantificatorul oricare ar fi cu există, iar predicatul acesta se înlocuiește cu negația predicatului.

Pentru a obține negația unei propoziții existențiale, procedăm în felul următor.

Cuantificatorul existențial va fi înlocuit cu cel universal, iar predicatul se înlocuiește cu negația acestuia.

Așadar, negația propoziției P2 este următoarea propoziție, oricare ar fi x număr natural, 3x plus 1, este mai mic decât 0.

Am văzut și cum putem obține negația propozițiilor ce conțin cuantificator și în continuare să facem câteva aplicații.

Avem următorul exercițiu, să se scrie negațiile următoarelor propoziții și să se determine valoarea lor de adevăr.

Începem cu propoziția P, există x număr întreg, astfel încât x plus 3 supra x plus 1 să fie număr întreg.

Să scriem negația acestei propoziții.

Am spus că negația unei propoziții existențiale este o propoziție universală.

Prin urmare, propoziția non P se va scrie astfel, oricare ar fi x număr întreg, fracția x plus 3 supra x plus 1 nu aparține lui z.

Și haideți să determinăm și valoarea de adevăr a acestei propoziții.

Dacă vom găsi cel puțin o valoare alu x pentru care această fracție să fie număr întreg, atunci propoziția universală va fi falsă.

Și iată că există o astfel de valoare, de exemplu, dacă x este egal cu 1, obținem 4 supra 2, care este număr întreg.

Prin urmare, această propoziție este falsă.

Deci valoarea de adevăr a propoziției non P este 0.

Trecem la următoarea propoziție.

Oricare ar fi x număr real, 2x minus 8 este mai mare decât 0.

Negația acestei propoziții, non Q, există x număr real, astfel încât 2x minus 8 să fie mai mic sau egal decât 0.

Dacă găsim cel puțin o valoare alu x pentru care această inegalitate să aibă loc, atunci propoziția existențială este adevărată.

De exemplu, dacă x este egal cu 0, minus 8 este într-adevăr mai mic sau egal decât 0.

Prin urmare, propoziția existențială este adevărată.

Deci valoarea de adevăr a propoziției non Q este 1.

Și ultima propoziție, există x număr întreg, astfel încât 3 la x să fie egal cu 27.

Negația propoziției R, oricare ar fi x număr întreg, 3 la x este diferit de 27.

Aceasta este o propoziție falsă, întrucât pentru x egal cu 3 obținem că 3 la 3-a este egal cu 27.

Deci nu pentru orice valoare x din z, 3 la x este diferit de 27.

Așadar aceasta este o propoziție falsă, deci valoarea de adevăr a propoziției non R este 0.

Și mai facem încă un exercițiu.

Să se determine mulțimile de adevăr pentru predicatele PDX, QDX, negația predicatului PDX și negația lui QDX.

Primul predicat PDX, radical din 3x minus radical din 27 mai mic decât 0, unde x este număr real.

Haideți mai întâi să rezolvăm această inequatie.

Radical din 3x minus radical din 27 mai mic decât 0.

Radical din 3x este mai mic decât radical din 27.

Împărțim inequatia cu radical din 3 și obținem x mai mic decât radical din 27 împărțit la radical din 3.

x mai mic decât radical din 9, adică x mai mic strict decât 3.

Atunci, mulțimea de adevăr a acestui predicat, A mare, indice PDX, este formată din acele elemente x din R cu proprietatea că x este mai mic decât 3.

Adică intervalul minus infinit 3.

Acum putem să obținem și mulțimea de adevăr pentru negația acestui predicat și fără să scriem negația predicatului.

Am văzut mai devreme că mulțimea de adevăr a negației unui predicat este complementară a mulțimii A în raport cu R, în cazul nostru.

Și atunci putem să scriem direct mulțimea de adevăr a negației predicatului P.

Aceasta este complementară a mulțimii A în raport cu R, adică intervalul 3 plus infinit, în hisla 3.

Următorul predicat QDX, 5 la x plus 2 mai mare decât 125.

Să rezolvăm această inecoație.

5 la x plus 2 este mai mare decât 5 la a treia, pentru că 125 se poate scrie 5 la a treia.

În cazul în care avem două puteri cu aceeași bază, atunci inegalitatea se păstrează și între exponenți,

deci putem să scriem că x plus 2 este mai mare decât 3, adică x mai mare decât 1.

Prin urmare, mulțimea de adevăr a predicatului QDX este formată din acele elemente x din R cu proprietatea x mai mare decât 1,

adică intervalul deschis 1 plus infinit.

Dacă notăm această mulțime cu b, să zicem, atunci mulțimea de adevăr a negației predicatului Q este complementar a mulțimii b în raport cu R,

adică intervalul minus infinit 1.

Observați așadar că pentru a obține mulțimea de adevăr a negației unui predicat, nu este obligatoriu să scriem și negația predicatului.