Disjuncția propozițiilor și a predicatelor. Reuniunea mulțimilor

Salut! Ce mai faceți? Mă bucur că sunteți bine! Dacă vă mai amintiți, în lecția trecută am început să discutăm despre operații binare,

iar în această lecție o să discutăm despre o altă operație, disjungția propozițiilor și a predicatelor și despre reuniunea mulțimilor.

Fiind date două propoziții, P și Q, disjungția acestora se notează astfel, citim P sau Q, și aceasta este o propoziție adevărată,

dacă și numai dacă cel puțin una dintre propozițiile P sau Q este adevărată.

Avem alăturat și tabelul de valori.

Observați că este suficient ca una dintre cele două propoziții să fie adevărată pentru ca disjungția acestora să fie o propoziție adevărată.

Să vedem un exemplu.

Avem propoziția P, 3 plus 4 egal cu 10. Aceasta este o propoziție falsă, deci valoarea de adevăr a propoziției P este 0.

Propoziția Q, 27 este divizibil cu 3. Aceasta este o propoziție adevărată.

Atunci, disjungția acestor propoziții se citește astfel, 3 plus 4 este egal cu 10 sau 27 este divizibil cu 3.

Valoarea de adevăr a propoziției P sau Q este egală cu 1.

10 este mai mic decât 3, este o propoziție falsă.

8 este multiplu de 5, este o propoziție falsă.

Prin urmare, valoarea de adevăr a propoziției P sau Q este egală cu 0 pentru că niciuna din cele două propoziții nu este adevărată.

6 este număr natural, avem o propoziție adevărată.

4 plus 6 este egal cu 10, este de asemenea o propoziție adevărată.

Atunci, valoarea de adevăr a propoziției P sau Q va fi 1.

Discutăm în continuare despre disjungția predicatelor.

Fiind date două predicate, Pdx și Qdx, disjungția acestora se notează astfel și citim Pdx sau Qdx.

Facem un exemplu.

Avem predicatul Pdx, x mai mic sau egal decât 4, unde x este număr natural.

Qdx, x divide pe 5, unde x este număr natural.

Atunci, predicatul Pdx sau Qdx se formulează astfel, x este mai mic sau egal decât 4,

sau x divide pe 5, unde x este număr natural.

Această propoziție este adevărată pentru acele valori ale lui x,

pentru care cel puțin una dintre propozițiile de mai sus este adevărată și falsă în celelalte cazuri.

Să vedem în continuare care sunt mulțimile de adevăr ale acestor predicate.

Mulțimea de adevăr a predicatului P este formată din numările naturale mai mici sau egale cu 4.

Acestea sunt 0, 1, 2, 3 și 4.

Mulțimea de adevăr a predicatului Q este formată din divizorii naturali ai numărului 5.

Aceștia sunt 1 și 5.

Și acum să scriem mulțimea de adevăr a disjungției acestor predicate.

X poate să fie un element din prima mulțime sau din a doua mulțime.

Și atunci mulțimea de adevăr a disjungției este formată din elementele 0, 1, 2, 3, 4 sau 5.

Pe 1 nu o să-l mai scriem pentru că l-am scris deja odată.

Însă această mulțime reprezintă reuniunea celor două mulțimi scrise mai sus.

Și atunci putem să scriem această formulă.

Mulțimea de adevăr a predicatului Px sau Qx este formată din mulțimea de adevăr a predicatului P reunită cu mulțimea de adevăr a predicatului Q.

Reuniunea a doua mulțimi se definește printr-o disjungție.

Aceasta este mulțimea elementelor X cu proprietatea că X aparține lui A sau X aparține lui B.

Dacă privim această diagramă, atunci reuniunea celor două mulțimi este formată din această suprafață hașurată.

În continuare o să facem niște aplicații.

Se dau următoarele propoziții.

Propoziția P, oricare ar fi X număr real, X la 2a minus 9 este diferit de 0.

Propoziția Q, există X număr natural, astfel încât 3X minus 12 să fie mai mare sau egal decât 0.

Se cere să stablim valoarea de adevăr a propozițiilor P, Q, non-P, non-Q, P sau Q, P sau non-Q, non-P sau Q, non-P sau non-Q.

Mai întâi o să stabilim valoarea de adevăr a propoziției P.

Trebuie să verificăm dacă pentru orice X număr real are loc această relație, X la 2a minus 9 să fie diferit de 0.

Însă dacă X este egal cu 3, observăm că X la 2a minus 9 este egal cu 9 minus 9 și egal cu 0.

La fel se întâmplă și dacă X este minus 3.

Prin urmare, această relație nu are loc pentru orice X număr real, așadar propoziția universală este falsă.

Pentru propoziția Q, trebuie să verificăm dacă există cel puțin un număr natural X, astfel încât 3X minus 12 să fie mai mare sau egal decât 0.

Bineînțeles că există un astfel de număr, chiar și mai multe.

Dacă X este 5, avem 3 ori 5 minus 12 mai mare sau egal decât 0, pentru că 3 este mai mare sau egal decât 0.

Prin urmare, având în vedere că există cel puțin un X număr natural pentru care are loc această inegalitate,

putem spune că propoziția existențială este o propoziție adevărată.

Și atunci haideți să scriem aici mai jos că valoarea de adevăr a propoziției P este 0,

valoarea de adevăr a propoziției Q este 1,

valoarea de adevăr a propoziției non-P este 1.

Vă reamintesc că negația unei propoziții P este falsă dacă P este adevărată și invers este adevărată dacă P este falsă.

Valoarea de adevăr a propoziției non-Q este 0, deoarece propoziția Q este adevărată, deci non-Q este falsă.

Valoarea de adevăr a propoziției P sau Q.

Din moment ce avem cel puțin una dintre cele două propoziții adevărată, înseamnă că dizjuncția acestora este o propoziție adevărată.

Valoarea de adevăr a propoziției P sau non-Q.

P este falsă, non-Q este falsă, deci avem două propoziții false, în acest caz dizjuncția lor este o propoziție falsă.

Valoarea de adevăr a propoziției non-P sau Q.

Deci aici trebuie să negăm dizjuncția propozițiilor.

P sau Q era o propoziție adevărată, negația acesteia este o propoziție falsă.

Și valoarea de adevăr a propoziției non-P sau non-Q.

Non-P este adevărată, non-Q este falsă, avem cel puțin o propoziție adevărată, prin urmare dizjuncția acestora este o propoziție adevărată.

Și mai facem un ultim exercițiu cu predicate.

Pe mulțimea M, formată din elementele 2, 3, 4, 5, 6, 7 și 8, avem următoarele două predicate.

Predicatul P de X, X este divizor al lui 12 și predicatul Q, X este pătra perfect.

Se cere să determinăm mulțimea de adevăr a predicatului P, mulțimea de adevăr a predicatului Q și mulțimea de adevăr a dizjuncției celor două predicate.

Pentru a scrie mulțimea de adevăr a predicatului P, trebuie să ne uităm la această mulțime M și să vedem care dintre aceste numere sunt și divizori ai numărului 12.

Prin urmare avem elementele 2, 3, 4 și 6.

Aceștia sunt toți divizorii numărului 12 din mulțimea M.

Trecem la mulțimea de adevăr a predicatului Q.

Trebuie să scriem toate pătratele perfecte din mulțimea M.

Observăm că avem un singur pătrat perfect și acesta este 4.

Mulțimea de adevăr a predicatului P sau Q este formată din reuniunea celor două mulțimi.

Prin urmare avem elementele 2, 3, 4 și 6.