Implicația propozițiilor și a predicatelor. Incluziunea mulțimilor

În lecția aceasta o să discutăm despre implicația propozițiilor și a predicatelor

și o să vedem ce legături există între implicație și incluziunea mulțimilor.

Fiind date două propoziții P și Q, haideți să facem tabelul de valori pentru propoziția non P sau Q.

Am scris pe primele două coloane valoarea de adevăr pentru propozițiile P și Q

și acum să scriem valoarea de adevăr pentru propoziția non P.

Dacă P este falsă, non P este adevărată.

Iar dacă P este adevărată, non P este falsă.

Acum să completăm valoarea de adevăr pentru propoziția non P sau Q.

Vă reamintesc că dizjungția a doua propoziții este adevărată,

dacă cel puțin una din cele două propoziții este adevărată.

Deci ne uităm pe aceste două coloane.

Avem cel puțin o propoziție adevărată prin numarea ei, dizjungția este adevărată.

La fel și aici.

Această propoziție non P sau Q se mai numește și implicația propozițiilor P și Q

și se notează astfel.

Prin urmare, acesta este tabelul de valor pentru implicația a două propoziții.

Observați că implicația este falsă,

numai atunci când propoziția P este adevărată și Q este falsă.

Implicația este o relație de succesiune logică între două propoziții

și contează ordinea în care sunt scrise acestea.

Prima propoziție P se numește ipoteză, iar Q se numește concluzie.

Această implicație se mai citește și astfel,

dacă P atunci Q sau din P rezultă Q,

P implică Q,

P este o condiție suficientă pentru Q

sau Q este o condiție necesară pentru P.

Implicația poate fi privită și ca un raționament logic

ce are loc între două propoziții.

Iată că plecând de la o ipoteză falsă,

făcând un raționament corect,

se poate ajunge la o concluzie corectă.

Dar plecând de la o ipoteză corectă,

trebuie să facem un raționament corect

pentru a ajunge la o concluzie corectă.

Să vedem concret niște exemple.

Probabil că vă întrebați cum este posibil

că plecând de la o ipoteză falsă,

să efectuăm un raționament corect

și să ajungem la o concluzie corectă.

Iată un exemplu.

Dacă plec de la ipoteza greșită,

că minus 2 este egal cu 2,

și aplicăm un raționament corect,

de exemplu, ridicăm această relație la pătrat,

obținem că 4 este egal cu 4.

Deci am plecat de la o ipoteză falsă,

am aplicat un raționament corect

și am ajuns la o concluzie adevărată.

Este posibil că plecând de la o ipoteză falsă,

să aplicăm un raționament corect

și să ajungem la o concluzie falsă.

De exemplu, dacă plecăm de la ideea

că 3 este egal cu 2,

ceea ce este fals,

și scădem din ambii membri ai relației numărul 1,

obținem că 2 este egal cu 1.

Deci am ajuns la o concluzie falsă.

Ultimul caz este cel mai des întâlnit,

cel în care plecăm de la o ipoteză adevărată,

efectăm un raționament corect

și ajungem la o concluzie adevărată.

De exemplu, dacă 5 este egal cu 5

și înmulțim această egalitate cu 2,

obținem 10 egal cu 10.

Am plecat de la o ipoteză adevărată,

am efectuat un raționament corect

și am ajuns la o concluzie adevărată.

Este interesant de studiat acest caz

în care plecând de la o ipoteză adevărată,

putem ajunge la o concluzie falsă

dacă efectuăm un raționament greșit.

De exemplu, plecăm de la ideea că 3 ori 0

este egal cu 2 ori 0.

Pentru că 0 este egal cu 0,

prin urmare aici avem o relație adevărată.

Și acum, dacă efectuăm un raționament greșit,

de exemplu, dacă împărțim această relație cu 0,

obținem că 3 este egal cu 2.

Deci am ajuns la o concluzie falsă

făcând acest raționament greșit.

De fapt, acesta este și motivul pentru care împărțirea la 0

este o operație fără sens.

Pentru că, iată, dacă împărțim această egalitate la 0,

se ajunge la o concluzie falsă.

Așadar, atunci când trebuie să demonstrăm teoreme în matematică

sau diferite relații,

trebuie să avem grijă că atunci când plecăm de la o ipoteză adevărată,

să efectuăm un raționament corect

pentru a ajunge la o concluzie adevărată.

Și atunci să reținem că implicația a două propoziții este falsă

numai în condiția în care P este adevărată și Q este falsă.

În toate celelalte situații, implicația este adevărată.

Și acum să vedem niște exemple.

Avem următoarele propoziții.

Dacă 1 plus 1 este egal cu 5, atunci elefantul zboară.

Știu că pentru vorbirea curentă această exprimare nu are niciun sens,

însă din punct de vedere matematic este o propoziție cât se poate de adevărată.

Pentru că, iată, 1 plus 1 egal 5 este o ipoteză falsă,

elefantul zboară este o concluzie falsă,

prin urmare suntem în prima situație în care ipoteza și concluzia sunt false,

dar implicația este adevărată.

Deci iată că noi matematicenii putem accepta expresii bizare

și mai mult chiar le considerăm adevărate.

Următoarea propoziție, dacă 2 este egal cu 3,

atunci 5 la 2016 este egal cu 185.312.755.

2 este egal cu 3 este o ipoteză falsă,

prin urmare implicația va fi adevărată.

Nici nu ne interesează ce valoare de adevăr are această concluzie,

pentru că atâta timp cât ipoteza este falsă,

implicația va fi adevărată.

Prin urmare nu este necesar să efectăm acest calcul.

Și ultimul exemplu, dacă 3 plus 7 este egal cu 10,

atunci 5 este mai mic decât 2.

Avem o ipoteză adevărată, o concluzie falsă,

prin urmare suntem în această situație în care implicația este falsă.

În continuare o să discutăm despre implicația predicatelor.

Fiind date două predicate Pdx și Qdx,

spunem că predicatul P implică logic predicatul Q

sau predicatul Q este o consecință logică a predicatului P,

dacă propoziția oricare ar fi X, Pdx implică Qdx, este o propoziție adevărată.

Implicația predicatelor se notează astfel,

de ceată că la predicate folosim o săgeată dublă.

Să luăm un exemplu, avem predicatul Pdx,

X mai mic sau egal decât 3, unde X este număr natural,

predicatul Q, X mai mic decât 6, unde X este număr natural,

și haideți să vedem dacă are loc această implicație,

Pdx implică logic Qdx.

Trebuie să verificăm dacă această propoziție este adevărată oricare ar fi X.

În cazul în care ipoteza este falsă,

deci X este mai mare strict decât 3,

atunci implicația este adevărată.

Am văzut mai devreme că o implicație cu ipoteza falsă este adevărată.

Acum, dacă ipoteza ar fi adevărată,

deci X este mai mic sau egal decât 3,

trebuie să vedem ce valoare de adevăr are concluzia.

Și să luăm un exemplu, dacă X este 2,

atunci 2 este mai mic decât 6.

Prin urmare, oricare ar fi X mai mic sau egal decât 3,

X este mai mic decât 6.

Deci avem o concluzie adevărată.

Prin urmare, implicația este o propoziție adevărată.

Să verificăm acum dacă are loc și implicația inversă.

Dorim să verificăm dacă predicatul Q implică logic predicatul P.

Mai exact, trebuie să vedem dacă această propoziție este adevărată oricare ar fi X.

În cazul în care această ipoteză ar fi falsă,

deci X ar fi mai mare sau egal decât 6,

atunci automat implicația este adevărată.

Să vedem ce se întâmplă dacă ipoteza este adevărată,

dacă X este mai mic decât 6.

Să luăm un exemplu.

Dacă X este egal cu 5,

atunci X este mai mic sau egal decât 3.

Răspunsul este negativ.

Prin urmare, această concluzie nu este adevărată pentru orice X.

În cazul în care X este egal cu 5, această concluzie este falsă.

Prin urmare, avem o implicație cu ipoteza adevărată și concluzia falsă

și atunci această implicație este falsă.

Din moment ce această propoziție nu este adevărată pentru orice X,

înseamnă că această implicație dintre cele două predicate nu are loc.

Și acum să scriem mulțimea de adevăr pentru predicatul P.

Mulțimea de adevăr a predicatului P de X

este formată din acele numere naturale mai mici sau egale cu 3.

0, 1, 2 și 3.

Și să notăm această mulțime cu A.

Mulțimea de adevăr a predicatului Q de X

este formată din numerele naturale mai mici strict decât 6.

0, 1, 2, 3, 4 și 5.

Și notăm această mulțime cu B.

Revenind acum la această implicație,

am văzut că dacă X este mai mic sau egal decât 3,

atunci implicit X este și mai mic decât 6.

Prin urmare, dacă X este un element din mulțimea A,

atunci X este și element din mulțimea B.

Cu alte cuvinte, spunem că mulțimea A este inclusă în mulțimea B.

Această relație de incluziune dintre cele două mulțimi

se poate reprezenta printr-o diagramă astfel.

Deci spunem că A este inclusă în mulțimea B.

Dacă oricare ar fi X un element al mulțimii A,

atunci X este și element al mulțimii B.

Prin urmare, să reținem că predicatul P implică logic predicatul Q

dacă mulțimea de adevăr a predicatului P

este inclusă în mulțimea de adevăr a predicatului Q.

În cazul în care mulțimea de adevăr a predicatului Q

nu este inclusă în mulțimea de adevăr a predicatului P,

atunci spunem că predicatul Q nu implică logic predicatul P.

Se poate observa așadar că mulțimea B nu este inclusă în mulțimea A.

Să mai facem în continuare un exemplu.

Avem aceste două predicate.

Predicatul P de X, X este mai mare ca 0, X fiind număr real,

și predicatul Q, X pătrat mai mare decât 0, unde X este număr real.

Ne propunem să verificăm care dintre aceste două implicații are loc.

Mai întâi să verificăm prima implicație.

Trebuie să verificăm dacă X este mai mare decât 0,

atunci și X pătrat este mai mare decât 0?

Răspunsul este afirmativ pentru că pătratul oricărui număr pozitiv este un număr pozitiv.

Această implicație este adevărată.

Acum să verificăm dacă are loc implicația inversă, Q de X implică logic P de X.

Mai exact, trebuie să verificăm dacă X pătrat este mai mare decât 0,

atunci și X este mai mare decât 0?

Să luăm un exemplu. Dacă X este egal cu minus 2,

atunci propoziția Q de minus 2 se scrie astfel,

minus 2 la pătrat este mai mare decât 0.

Și aceasta este o propoziție adevărată.

Acum să scriem propoziția P de minus 2.

Minus 2 mai mare ca 0.

Observăm că aceasta este o propoziție falsă.

Deci propoziția oricare ar fi X din R, Q de X implică P de X,

este o propoziție falsă.

Așadar, această implicație nu are loc.