Propoziții, predicate și cuantificatori

Această lecție va deschide un nou capitol numit Elemente de logică matematică și teoria mulțimilor.

Logica studiază propozițiile, însă nu din punct de vedere gramatical, pe noi la matematică ne interesează doar valoarea lor de adevăr.

Prin urmare, logica matematică studiază acele enunțuri, care pot fi adevărate sau false, iar un astfel de enunț se numește propoziție.

Acest capitol își propune să consolideze limbajul și raționamentul matematic, iar în lecția aceasta o să discutăm despre propoziții predicate și cuantificatori.

Să ne uităm puțin la aceste enunțuri și să vedem care dintre acestea sunt propoziții.

Primul enunț, cât e ceasul, nu este o propoziție matematică, pentru că nu putem spune cu certitudine că ea este adevărată sau falsă.

Prin urmare, acest enunț nu este o propoziție.

Partea întreagă a numărului 3,2 este 3, este o propoziție adevărată.

Închide ușa, nu este o propoziție.

Enunțurile imperative și interrogative nu sunt propoziții matematice.

X plus 7 egal 11, unde X este număr real.

Aceste enunți ar putea fi o propoziție adevărată pentru o anumită valoare a lui X, însă pentru alte valori ale variabile X poate fi o propoziție falsă.

Prin urmare, nu putem ști cu certitudine dacă este adevărat sau fals aceste enunți.

Înseamnă că nu este o propoziție.

5 mai mare decât 9 este o propoziție falsă.

Dreptonghiul are toate unghiurile drepte, este o propoziție adevărată.

Și 2 plus 10 egal 9 este o propoziție falsă.

Propozițiile se pot nota cu litere mici.

Putem să notăm această propoziție cu P, a doua cu Q, R și S.

Prin valoarea de adevăr a unei propoziții, înțelegem proprietatea acesteia de a fi adevărată sau falsă.

Valoarea de adevăr a unei propoziții se notează astfel și ea poate fi egală cu 1 dacă P este adevărată sau 0 dacă P este falsă.

În loc de 1 și 0, putem pune și simbolurile A și F, de la adevărat sau fals.

Și acum să vedem ce valoare de adevăr are prima propoziție, partea întreagă a numărului 3,2 este 3.

Spuneam că aceasta este o propoziție adevărată și atunci valoarea sa de adevăr va fi 1.

Valoarea de adevăr a propoziției Q este 0 pentru că am spus că această propoziție este falsă.

Valoarea de adevăr a propoziției R, dreptunghiul are toate unghiurile drepte, este egală cu 1.

Și valoarea de adevăr a propoziției S, 2 plus 10 egal 9, este o propoziție falsă, deci valoarea de adevăr este egală cu 0.

Acum să ne îndreptăm atenția asupra acestui enunț.

Spuneam mai devreme că pentru o anumită valoare atribuită variabile X putem obține o propoziție adevărată, iar pentru alte valori obținem o propoziție falsă.

Un astfel de enunț în care apare una sau mai multe variabile se numește predicat.

Să vedem în continuare și alte exemple de predicate.

Predicatele se notează cu p mic, iar în paranteză se trece variabila care apare în enunț, primul predicat p de X, X plus 5 mai mic decât 10, unde X este număr real.

Pentru că în acest enunț apare o singură variabilă, acest predicat se va numi predicat unar.

Al doilea predicat este un predicat binar, deoarece aici avem două variabile în enunț, X plus Y egal șapte, unde X și Y sunt numere naturale.

Al treilea predicat este un predicat ternar, pentru că avem trei variabile, X pătrat plus Y pătrat egal cu Z pătrat, unde X, Y și Z sunt numere naturale.

Dacă atribuim variabilelor anumite valori, obținem propoziții adevărate sau false.

Să ne uităm la primul predicat și să vedem ce propoziții obținem pentru X egal cu 1.

Obținem următoarea propoziție, p de 1, 1 plus 5 mai mic decât 10.

Aceasta este o propoziție adevărată.

În al doilea predicat vom da variabilelor X și Y valorile 1 și 2, obținem astfel propoziția p de 1 și 2, 1 plus 2 este egal cu 7.

Aceasta este o propoziție falsă.

Și pentru al treilea predicat să vedem ce propoziții obținem în cazul în care X este 1, Y este 2 și Z este 3.

Obținem astfel că 1 la pătrat plus 2 la pătrat este egal cu 3 la pătrat.

5 egal cu 9 este o propoziție falsă.

Și acum să vedem ce propoziții obținem dacă X este 3, Y 4 și Z 5.

P de 3, 4, 5.

3 la pătrat plus 4 la pătrat egal cu 5 la pătrat.

Aceasta este o propoziție adevărată pentru că numerele 3, 4 și 5 sunt numere pitangorice.

Observăm așadar că pentru anumite valori atribuite variabile lor, predicatele devin propoziții adevărate, iar pentru alte valori devin propoziții false.

Această mulțime care apare aici se numește mulțimea de valori sau domeniul de definiție al predicatului.

Pentru predicatul unar, domeniul de definiție este R în acest caz.

În al doilea exemplu, domeniul de definiție este N, iar în al treilea exemplu, domeniul de definiție al predicatului este N.

În continuare să vedem ce înțelegem prin mulțimea de adevăr a unui predicat.

Am notat această mulțime cu A mare de la adevăr.

Mulțimea de adevăr a predicatului PDX este formată din acele elemente X din domeniu.

Am notat cu D acest domeniu, cu proprietatea că PDX este o propoziție adevărată.

Și vă face în continuare un exemplu concret.

Avem următorul predicat PDX.

X plus 4 supra X plus 5 este număr întreg, unde X este număr întreg diferit de minus 5.

Ne propunem să determinăm mulțimea de adevăr a acestui predicat.

Mai exact trebuie să vedem pentru ce valori ale variabile X fracția aceasta este număr întreg.

O să mai scriu încă o dată, X plus 4 supra X plus 5.

O fracție este număr întreg dacă numărătorul se împarte exact la numitor,

sau, altfel zis, dacă numitorul este un divizor al numărătorului.

Ne-ar ajuta dacă în locul expresiei de la numărător am avea un număr,

pentru că atunci am putea să scriem divizorii acelui număr.

Și atunci vă face un artificiu de calcul.

În lung de 4 o să scriem 5 minus 1 și o să vedeți imediat de ce.

Așadar avem X plus 5 minus 1 supra X plus 5.

La numărător avem o diferență și atunci putem să despărțim această fracție în alte două fracții.

Prima fracție X plus 5 supra X plus 5 minus 1 supra X plus 5.

Observați că se simplifică X plus 5.

Acesta este și motivul pentru care am vrut să-l scriem pe 4 cu ajutorul lui 5.

Și obținem în continuare egal cu 1 minus 1 supra X plus 5.

Din moment ce 1 este număr întreg,

pentru ca toată această expresie să fie număr întreg,

mai trebuie ca fracția aceasta să fie număr întreg.

1 supra X plus 5 este număr întreg dacă X plus 5 este un divizor al lui 1.

Prin urmare, X plus 5 aparține mulțimii formate din elementele 1 și minus 1.

Aceștia sunt divizorii lui 1, vorbind despre divizori întregi.

În continuare nu ne rămâne decât să rezolvăm aceste două ecuații.

Prima ecuație, X plus 5 egal cu 1, va avea soluția X egal cu minus 4.

X plus 5 egal cu minus 1 are soluția X egal cu minus 6.

Deci pentru aceste două valori atribuite variabile X, fracția noastră este număr întreg.

Deci mulțimea de adevăr a acestui predicat este A mare,

formată din elementele minus 4 și minus 6.

Spuneam mai devreme că dacă atribuim variabilelor anumite valori, transformăm predicatele în propoziții,

însă mai avem și o altă metodă de a transforma predicatele în propoziții, folosind anumite expresii.

Să vedem în continuare care sunt aceste expresii prin care putem transforma un predicat într-o propoziție.

Folosind expresia, există cel puțin un X astfel încât să aibă loc P de X,

transformăm un predicat într-o propoziție, iar această propoziție se numește propoziție existențială

și ea se notează astfel, există cel puțin un X astfel încât să aibă loc P de X.

Sau mai putem nota așa, există X, un număr din domeniu, astfel încât are loc propoziția P de X.

Acest simbol, ca și un E întors, se citește există și se numește cuantificator existențial.

O altă expresie cu ajutorul căreia putem transforma un predicat într-o propoziție este următoarea expresie,

oricare ar fi X are loc P de X.

Această expresie transformă un predicat într-o propoziție, iar această propoziție se numește propoziție universală

și se notează astfel, oricare ar fi X are loc P de X.

Sau mai poate fi notată și așa, oricare ar fi X un element din domeniu de definiție are loc P de X.

Acest simbol se citește oricare ar fi și se numește cuantificator universal.

Propoziția existențială este adevărată dacă există cel puțin un element X din domeniul de valori,

astfel încât propoziția P de X să fie adevărată,

iar propoziția universală este adevărată dacă pentru orice număr X din domeniul de valori, P de X este adevărată.

În schimb, propoziția universală este falsă dacă există cel puțin un X din mulțimea de valori,

astfel încât P de X să fie falsă.

Să vedem în continuare un exemplu concret.

Pornim de la acest predicat, P de X, X divide pe 8, unde X este număr natural.

Să construim propoziția existențială, propoziția universală și să vedem apoi valoarea de adevăr a acestora.

Începem cu propoziția existențială, există un X număr natural, astfel încât X divide pe 8.

Sau mai putem să notăm și așa, există X, un element din mulțimea numerelor naturale, astfel încât X divide pe 8.

Spuneam că propoziția existențială este adevărată dacă există cel puțin un element din domeniul de valori,

adică în cazul nostru, din N, astfel încât X să-l dividă pe 8.

De exemplu, pentru X egal cu 2, această relație de divizibilitate este adevărată, așadar,

propoziția existențială este o propoziție adevărată.

Este suficient să găsim cel puțin o valoare alui X, astfel încât relația aceasta să aibă loc.

Pornind apoi de la acest predicat, să construim propoziția universală,

oricare ar fi X număr natural, X divide pe 8.

Sau oricare ar fi X număr natural, X divide pe 8.

În cazul în care există cel puțin un număr natural pentru care această relație să nu aibă loc,

propoziția universală va fi falsă.

De exemplu, pentru X egal cu 9, 9 divide pe 8 este o propoziție falsă.

Înseamnă că această relație de divizibilitate nu are loc pentru orice număr natural.

Prin urmare, propoziția universală este falsă.

Să mai facem în continuare niște aplicații.

Fie X un număr întreg și ne propunem să vedem valoarea de adevăr a acestor propoziții.

Prima propoziție, există X număr întreg, astfel încât modul din 4-X plus modul din 2X-8 să fie egal cu 0.

Dacă găsim cel puțin un număr întreg astfel încât această egalitate să aibă loc,

atunci propoziția este adevărată.

Suma a două module este 0 dacă fiecare dintre aceste două module este egal cu 0.

Modul din 4-X este 0 dacă X este egal cu 4,

iar modul din 2X-8 este 0 dacă X este egal cu 4.

Prin urmare, am găsit cel puțin o valoare a lui X,

astfel încât această relație să fie adevărată.

Prin urmare, această propoziție este o propoziție adevărată.

A doua propoziție, oricare ar fi X număr întreg, 2X-8 este mai mare sau egal decât 0.

Trebuie să vedem dacă această relație are loc pentru orice număr întreg

sau să găsim cel puțin un număr întreg pentru care inegalitatea este falsă.

De exemplu, dacă X este egal cu 1,

obținem 2-8, adică minus 6, mai mare sau egal decât 0,

adică o propoziție falsă.

Având în vedere că am găsit cel puțin o valoare a lui X

pentru care această inegalitate este falsă,

propoziția oricare ar fi X, 2X-8 mai mare sau egal decât 0,

este o propoziție falsă.

A treia propoziție există X număr întreg,

astfel încât X la 2-64 egal cu 0.

Să vedem dacă găsim cel puțin un X pentru care să aibă loc egalitatea aceasta.

Există chiar două valori pentru X,

și anume X1 egal cu 8 și X2 egal cu minus 8.

Pentru aceste două valori ale lui X, egalitatea aceasta este adevărată,

deci propoziția existențială este adevărată.

În cazul în care avem preindicate binare sau ternare,

acestea pot fi transformate în propoziții

utilizând cuantificatorul existențial în combinație cu cel universal.

De exemplu, avem acest predicat binar 3X plus Y egal cu 1,

unde X și Y sunt numere întregi.

Putem transforma acest predicat într-o propoziție

folosind cei doi cuantificatori.

De exemplu, putem obține propoziția

oricare ar fi X, există un Y număr întreg,

astfel încât 3X plus Y să fie egal cu 1.

Sau o altă propoziție, există X număr întreg,

astfel încât oricare ar fi Y, 3X plus Y egal cu 1.

Atenție însă, cei doi cuantificatori nu sunt comutativi,

pentru că aceste două propoziții nu vor avea aceeași valoare de adevăr.

O să vedem imediat de ce.

Să determinăm mai întâi valoarea de adevăr a acestei propoziții.

Să o mai citim o dată.

Pentru orice X număr întreg, există un Y număr întreg,

astfel încât 3X plus Y să fie egal cu 1.

Haideți atunci să ne alegem un X arbitrar.

Deci pentru un X număr întreg ales arbitrar,

trebuie să verificăm dacă există cel puțin un Y,

astfel încât această egalitate să aibă loc.

Dacă îl exprimăm pe Y din această relație,

avem că Y este egal cu 1 minus 3X.

Deci pentru un X ales arbitrar, există într-adevăr un Y,

astfel încât relația aceasta să aibă loc.

Însă nu este suficient să îl exprimăm pe Y din această relație,

trebuie și să verificăm dacă acesta este număr întreg.

Din moment ce X ia doar valori întregi,

atunci și Y va fi număr întreg,

pentru că nu există aici pericolul să avem vreo fracție sau un radical.

Așadar, Y, scris sub această formă, este număr întreg.

Deci această propoziție este o propoziție adevărată,

pentru că X a fost ales arbitrar.

Deci oricare ar fi X din Z, există un Y din Z,

astfel încât 3X plus Y să fie egal cu 1.

În a doua propoziție, trebuie să verificăm

dacă există cel puțin un X număr întreg,

astfel încât oricare ar fi Y din Z,

3X plus Y să fie egal cu 1.

Să vedem dacă într-adevăr există acest număr X.

Haideți să-l exprimăm pe X.

X va fi egal cu 1 minus Y supra 3.

Trebuie să vedem dacă acest X este număr întreg

pentru orice valoare a lui Y din Z.

Însă dacă alegem pe Y, de exemplu, egal cu 2,

obținem că X este egal cu minus 1 supra 3,

dar minus 1 supra 3 nu este număr întreg.

Prin urmare, nu pentru orice număr Y din Z există un X,

astfel încât 3X plus Y să fie egal cu 1.

Deci această propoziție este falsă.

Rețineți așadar că cei doi cuantificatori nu sunt comutativi.

În concluzie, voi trebuie să rețineți

din această lecție următoarele aspecte.

O propoziție este un enunț care poate fi adevărat sau fals.

Un predicat este un enunț care conține una sau mai multe variabile

și pentru anumite valori atribuite variabilelor

obținem propoziții adevărate sau false.

Și mai trebuie să știți că logica matematică

are două principii de bază.

Primul este principiul terțului exclus.

Asta înseamnă că o propoziție poate să fie

ori adevărată, ori falsă.

A treia variantă nu există.

Și mai avem principiul non-contradicției,

adică o propoziție nu poate să fie în același timp

și adevărată și falsă.

Cam atât. Gata!