Propoziții, predicate și cuantificatori

Propoziția (matematică) este un enunț care poate fi adevărat sau fals.

Valoarea de adevăr a unei propoziții p se notează v(p):

$v (p) = \{\begin{cases} 1, d a c ă p e s t e a d e v ă r a t ă \\ 0, d a c ă p e s t e f a l s ă \end{cases}, s a u v (p) = \{\begin{cases} A, d a c ă p e s t e a d e v ă r a t ă \\ F, d a c ă p e s t e f a l s ă \end{cases}$

Predicatul este un enunț care conține una sau mai multe variabile și care, pentru anumite valori atribuite variabilelor, corespunde unei propoziții adevărate sau false.

Notații:

p(x) - predicat unar

p(x,y) - predicat binar

p(x,y,z) - predicat ternar.

Mulțimea D în care variabilele iau valori se numește domeniu de definiție al predicatului.

Mulțimea de adevăr a unui predicat este:

$A_{p (x)} = \{x \in D p (x) a d e v ă r a t ă\}$

Prin utilizarea cuantificatorilor, transformăm predicatele în propoziții.

Cuantificatorul existențial: $\exists$

Propoziția existențială:

$(\exists x) p (x) e s t e a d e v ă r a t ă d a c ă e x i s t ă c e l p u ț i n u n e l e m e n t x_{0} \in D a s t f e l î n c â t p (x_{0}) s ă f i e a d e v ă r a t ă .$

Cuantificatorul universal: $\forall$

Propoziția universală:

$(\forall x) p (x) e s t e a d e v ă r a t ă d a c ă p e n t r u o r i c e e l e m e n t x_{0} \in D p r o p o z i ț i a p (x_{0}) e s t e a d e v ă r a t ă .$