Conjuncția propozițiilor și a predicatelor. Intersecția mulțimilor

În lecția trecută am discutat despre negația propozițiilor și a predicantelor, aceea a fost o operație unară,

iar în lecția aceasta și în cele ce urmează o să discutăm despre operații binare, pentru că acestea antrenează două propoziții.

O primă operație binară este conjuncția, fiind date două propoziții P și Q.

Conjuncția acestora se notează astfel, citim P și Q și aceasta este o propoziție adevărată, dacă și numai dacă propozițiile P și Q sunt adevărate.

Avem și tabelul de valori, observăm așadar că propoziția P și Q este adevărată numai în situația în care propozițiile P și Q sunt adevărate.

De exemplu, dacă avem propoziția P, triunghiul echilateral are toate laturile congruente, aceasta este o propoziție adevărată, deci valoarea de adevăr a propoziției P este 1.

Avem propoziția Q, 26 este divizibil cu 5, aceasta este o propoziție falsă.

Acum să citim propoziția P și Q. Triunghiul echilateral are toate laturile congruente și 26 este divizibil cu 5.

Prin urmare, valoarea de adevăr a acestei propoziții este 0, pentru că este o propoziție falsă.

4 mai mic decât 2 este o propoziție falsă.

9 este multiplul de 3, este o propoziție adevărată.

Valoarea de adevăr a conjunctiei propozițiilor P și Q este 0.

5 este număr natural, este o propoziție adevărată.

4 plus 6 este egal cu 10, este o propoziție adevărată.

Valoarea de adevăr a propoziției P și Q în acest caz este 1, pentru că propozițiile P și Q sunt adevărate.

În continuare să discutăm despre conjunctia predicatelor.

Fiind date două predicate P și Q, conjunctia acestora este predicatul Pdx și Qdx,

pentru care propoziția Pdx și Qdx este adevărată, numai pentru acele valori ale lui X,

pentru care atât Pdx cât și Qdx sunt adevărate.

Să facem un exemplu.

Avem predicatul P, X mai mic sau egal decât 5, unde X este număr natural.

Predicatul Qdx, X divide pe 6, X număr natural.

Atunci predicatul Pdx și Qdx se formulează astfel,

X mai mic sau egal decât 5, X număr natural și X divide pe 6, X număr natural.

Să vedem care sunt mulțimile de adevăr ale acestor predicate.

Mulțimea de adevăr a predicatului P este formată din acele numere naturale mai mici sau egale decât 5,

adică 0, 1, 2, 3, 4 și 5.

Mulțimea de adevăr a predicatului Qdx este formată din divizorii naturali ai numărului 6,

adică 1, 2, 3 și 6.

Și acum să vedem care va fi mulțimea de adevăr a conjunției celor două predicate.

Trebuie ca X să fie număr natural mai mic sau egal decât 5 și, în același timp, X să fie și un divizor al lui 6.

Prin urmare, această mulțime va fi formată din elementele 1, 2 și 3.

Dar observăm că această mulțime este, de fapt, intersecția celor două mulțimi scrise mai sus.

Prin urmare, mulțimea de adevăr a conjunției a două predicate este formată din intersecția mulțimilor de adevăr ale celor două predicate.

O să scrim și această formulă.

Mulțimea de adevăr a predicatului Px și Qx este egală cu mulțimea de adevăr a predicatului P intersectată cu mulțimea de adevăr a predicatului Q.

Prin urmare, intersecția două mulțimi este această mulțime a acelor elemente X cu proprietatea că X aparține lui A și X aparține lui B.

Deci intersecția două mulțimi se definește printr-o conjunție.

Dacă dorim să reprezentăm printr-o diagramă intersecția două mulțimi, atunci fiind date cele două mulțimi A și B, această zonă comună reprezintă intersecția mulțimilor A și B.

Aici avem elementele X care aparțin atât mulțimii A cât și mulțimii B.

În continuare vom face niște aplicații.

Se dau următoarele două propoziții.

Propoziția P. Există X număr real, astfel încât modul din X plus 5 plus modul din X pătrat minus 25 egal cu 0.

Propoziția Q. Există X un număr întreg, astfel încât X pătrat minus 6X plus 8 să fie egal cu 0.

Trebuie să stabilim valoarea de adevăr a propozițiilor P, Q, non-P, non-Q, P și Q și a negației propoziției P și Q.

Pentru a stabili valoarea de adevăr a propoziției P, trebuie să vedem dacă există cel puțin un număr real care verifică această egalitate.

Suma a două module este nulă dacă fiecare modul în parte este egal cu 0.

Pentru ca modul din X plus 5 să fie egal cu 0, trebuie ca X plus 5 să fie egal cu 0, adică X să fie egal cu minus 5.

Modul din X pătrat minus 25 este 0 dacă X pătrat minus 25 este egal cu 0.

X pătrat minus 25 se poate descompone în X plus 5 pe lângă X minus 5, egal cu 0.

Prin urmare, această ecuație are două soluții. Prima soluție, X1, este egal cu minus 5 și a doua soluție, X2, este egal cu 5.

Dar X trebuie să verifice fiecare ecuație în parte. Prin urmare, singura soluție acceptată este X egal cu minus 5.

Din moment ce am găsit cel puțin un număr real care verifică această egalitate, înseamnă că această propoziție existențială este adevărată.

Deci valoarea de adevăr a propoziției P este 1.

Pentru a afla valoarea de adevăr a propoziției Q, bineînțeles că vom rezolva această ecuație, X pătrat minus 6X plus 8 egal cu 0.

Delta este egal cu B pătrat minus 4AC.

În cazul nostru, A este coeficientului X pătrat, adică 1, B este coeficientului X, adică minus 6 și C este termenul liber, adică 8.

Egal în continuare cu 36 minus 4 ori 8.

Egal cu 36 minus 32, adică 4.

X1 este egal cu minus B plus radical din delta supra 2A, adică 6 plus radical din 4, 2, supra 2.

8 supra 2 este egal cu 4.

Și X2 este egal cu minus B minus radical din delta supra 2A, egal cu 6 minus 2 supra 2, 4 pe 2 egal cu 2.

Din moment ce am găsit două valori întregi pentru care este verificată această ecuație, înseamnă că propoziția existențială este adevărată.

Deci valoarea de adevăr a propoziției Q este egală cu 1.

În continuare putem să determinăm foarte rapid valorile de adevăr ale celorlalte propoziții.

Valoarea de adevăr a propoziției NON P este 0.

Valoarea de adevăr a propoziției NON Q este 0.

Valoarea de adevăr a propoziției P și Q este 1 pentru că ambele propoziții sunt adevărate.

Și valoarea de adevăr a negației propoziției P și Q este egală cu 0.

Mai facem un ultim exercițiu.

Fie predicatele

Se cere să determinăm mulțimea de adevăr a predicatului P, mulțimea de adevăr a predicatului Q și mulțimea de adevăr a conjunctiei predicatelor P și Q.

Ca să aflăm mulțimea de adevăr a predicatului P, o să rezolvăm această inequatie.

Ca să eliminăm numitorul, înmulțim cu 2.

Acum o să-l scădem pe 1.

Prin urmare, x aparține intervalului

Aceasta este și mulțimea de adevăr a predicatului P de x și anume intervalul închis la minus 7, deschis la 11.

Ca să aflăm mulțimea de adevăr a predicatului Q, vom rezolva inequatia 2x-9 mai mic decât 1.

2x mai mic decât 10.

x mai mic decât 5.

x aparține intervalului minus infinit 5.

Aceasta va fi mulțimea de adevăr a predicatului Q, intervalul deschis minus infinit 5.

Atunci, mulțimea de adevăr a predicatului P și Q se obține intersectând cele două intervale și obținem astfel intervalul minus 7, 5.

Putem să evidențiem această intersectie și pe o axă.

Avem axa numerelor reale, minus infinit plus infinit, originea.

Undeva aici este minus 7, aici ar fi 5 și 11.

Intervalul minus 7, 11, închis la minus 7 și deschis la 11, este această porțiune hașurată.

Apoi, intervalul deschis minus infinit, 5, este această porțiune hașurată cu verde.

Intersecția celor două intervale este porțiunea de pe axă hașurată cu ambele culori, adică intervalul minus 7, 5.