Calculul unor sume și scrierea acestora cu ajutorul simbolului Sigma

De multe ori în matematică se utilizează litere grecești.

Litera în grecească sigma se folosește pentru a scrie mai ușor și pentru a calcula mai rapid anumite sume.

Dacă avem, de exemplu, următoarea sumă notată cu Sn, o sumă de N termeni de forma A1 plus A2 plus A3 plus puncte puncte plus An,

această sumă se poate scrie mai restrâns cu ajutorul acestui simbol.

Termenul general al sumei este de formă AK, unde K ia valori de la 1 până la N,

iar dacă scriem în fața termenului general simbolul sigma pentru K al 1 valori de la 1 până la N,

obținem astfel o scriere mai restrânsă a acestei sume.

Citim astfel, sumă din AK pentru K al 1 valori de la 1 până la N sau sumă din AK când K ia valori de la 1 la N sau, mai simplu, sumă din AK K de la 1 la N.

De exemplu, dacă avem următoarea notație, sumă din K la 4 pentru K de la 1 la N,

atunci avem o sumă în care termenul general este de forma K la puterea 4,

iar pentru K egal cu 1 obținem primul termen al acestei sume.

Și acesta va fi 1 la puterea 4.

Pentru K egal cu 2 obținem cel de-al doilea termen al sumei, 2 la puterea 4.

Și continuăm cu 3 la a patra și așa mai departe.

Ultima valoare pe care o poate lua K este N, deci ultimul termen al sumei se obține înlocuind pe K cu N.

Și avem N la puterea 4.

Un alt exemplu, sumă din 3 supra K pe lângă K plus 1 pentru K alun valor de la 1 până la N.

Acesta este termenul general al sumei.

În cazul în care K este egal cu 1 obținem primul termen, 3 supra 1 ori 1 plus 1, adică 2, plus.

Pentru K egal cu 2 obținem cel de-al doilea termen al sumei, 3 supra 2 ori 2 plus 1, adică 3, plus.

Cel de-al treilea termen al sumei va fi 3 supra 3 ori 4.

Și așa mai departe, ultimul termen al sumei este 3 supra N pe lângă N plus 1.

Un alt exemplu, sumă din 1 supra 2K minus 1 pe lângă 2K plus 1.

Pentru K alun valor de la 1 până la N.

Înlocuind în expresia termenului general pe K cu 1 obținem primul termen al acestei sume.

1 supra 2 ori 1 minus 1 este 1 ori 2 ori 1 plus 1 este 3, plus.

Acum înlocuim pe K cu 2 și obținem cel de-al doilea termen al sumei.

2 ori 2, 4 minus 1, 3 ori 2 ori 2, 4 plus 1, 5, plus.

K egal cu 3, 2 ori 3, 6 minus 1, 5, 2 ori 3 plus 1, 7.

Și așa mai departe, ultimul termen al acestei sume va fi 1 supra 2N minus 1 pe lângă 2N plus 1.

Iată deci că aceste sume se pot scrie restrâns cu ajutorul acestui simbol.

Iar înlocuind pe K cu o anumită valoare putem să scriem orice termen al sumei.

Acest simbol are câteva proprietăți importante pe care o să le deducem în continuare.

Dacă avem, de exemplu, o sumă din alfa ori AK, pentru că K luăm valori de la 1 până la N,

unde alfa este un număr real diferit de 0, deci o constantă care nu depinde de K.

Atunci această sumă se poate scrie astfel, alfa ori A1 plus alfa ori A2 plus puncte puncte plus alfa ori AN.

Am scris desfășurat această sumă pentru K aluând valori de la 1 până la N.

În continuare observăm că putem să dăm factor comun pe alfa și obținem alfa pe lângă A1 plus A2 plus și așa mai departe plus AN.

Dar această sumă din paranteză se poate scrie sumă din AK pentru K aluând valori de la 1 până la N.

Și atunci avem în continuare egal cu alfa ori sumă din AK pentru K aluând valori de la 1 până la N.

Cu alte cuvinte, atunci când avem o constantă în cadrul unei sume, această constantă va trece în fața sumei.

O altă proprietate, avem sumă din AK plus BK pentru K aluând valori de la 1 și până la N.

Observăm că avem o sumă în care termenul general este o sumă de 2 termeni.

Pentru K egal cu 1 obținem primul termen al acestei sume A1 plus B1.

Plus.

Pentru K egal cu 2 obținem cel de-al doilea termen al sumei A2 plus B2.

Plus și așa mai departe.

Pentru K egal cu N avem ultimul termen AN plus BN.

Adunarea este asociativă, prin urmare putem să asociem acești termeni cum dorim.

Și o să scriem în continuare, egal cu A1 plus A2 plus puncte puncte plus AN plus B1 plus B2 plus puncte puncte plus BN.

Această sumă este de fapt sumă din AK pentru K aluând valori de la 1 până la N

și această sumă va fi sumă din BK pentru K aluând valori de la 1 până la N.

Prin urmare, iată că suma unei sume este egală cu suma sumelor.

Aceste două proprietăți pe care le-am scris conduc la o a treia proprietate pe care nu o să mai deducem

dar este imediată.

Sumă din alfa ori AK plus beta ori BK

unde alfa și beta sunt constante pentru K aluând valori de la 1 până la N

se poate scrie alfa ori sumă din AK pentru K de la 1 la N

deci constanta va trece în fața sumei

iar suma unei sume va fi egală cu suma sumelor.

Deci putem să scriem în continuare plus beta ori sumă din BK

când K aia valori de la 1 până la N.

Să reținem așadar aceste trei formule pe care o să le mai citesc încă o dată.

Sumă din alfa ori AK este egală cu alfa ori sumă din AK

prin urmare, constanta trece în fața sumei

sumă din AK plus BK este egală cu sumă din AK plus sumă din BK

iar suma din alfa ori AK plus beta ori BK

se poate scrie egal cu alfa ori sumă din AK plus beta ori sumă din BK.

În continuare o să facem două exerciții.

Avem următoarea sumă notată cu SN

1 ori 2 plus 2 ori 3 plus 3 ori 4 plus puncte puncte plus N pe lângă N plus 1

și dorim să găsim o formulă de calcul pentru această sumă.

Mai întâi aș vrea să ne reamintim formulele de calcul pentru suma primelor N numere naturale

respectiv pentru suma pătratelor și suma cuburilor primelor N numere naturale

pe care le-am demonstrat prin inducție matematică.

Iată cele trei formule scrise cu ajutorul simbolului sigma

1 plus 2 plus puncte puncte plus N

este sumă pentru K de la 1 la N din K

deci termenul general al sumei este K

și această sumă este egală cu N pe lângă N plus 1 supra 2

suma pătratelor primelor N numere naturale

1 la a doua plus 2 la a doua plus N la a doua

se poate scrie sumă din K pătrat pentru K de la 1 la N

și aceasta este egală cu N pe lângă N plus 1 pe lângă 2N plus 1 supra 6

și 1 la a treia plus 2 la a treia plus puncte puncte plus N la a treia

se poate scrie sumă din K la a treia pentru K de la 1 până la N

și este egală cu N pe lângă N plus 1 supra 2 totul la pătrat.

Și acum haideți să scriem și noi această sumă cu ajutorul simbolului sigma

Vom scrie sumă din K pe lângă K plus 1

observăm că termenul general al sumei este un produs de două numere consecutive

deci avem K pe lângă K plus 1

unde K ia valori de la 1 până la N

Putem să verificăm. Pentru K egal cu 1 avem 1 ori 2

deci primul termen

pentru K egal cu 2 avem 2 ori 3

deci al doilea termen și așa mai departe.

Înseamnă că am scris corect formula termenului general pentru această sumă.

Acum această sumă se poate scrie astfel

sumă pentru K luând valori de la 1 la N din K la pătrat plus K

Am desfăcut paranteza. Înmulțim pe K cu fiecare număr din paranteză.

Suma unei sume este egală cu suma sumelor.

Prin urmare vom scrie sumă din K pătrat pentru K de la 1 la N

plus sumă din K pentru K luând valori de la 1 până la N

Acum vom aplica aceste formule.

Sumă din K pătrat este N pe lângă N plus 1 pe lângă 2N plus 1 supra 6

Iar sumă din K este N pe lângă N plus 1 supra 2

O să aducem la numitor comun, amplificăm cu 3

și obținem N pe lângă N plus 1 pe lângă 2N plus 1

plus 3N pe lângă N plus 1 totul supra 6

În continuare o să dăm factor comun pe N pe lângă N plus 1

Deci avem N pe lângă N plus 1

pe lângă 2N plus 1 plus 3

totul supra 6

egal cu N pe lângă N plus 1

Aici o să avem 2N plus 4 și dăm factor comun pe 2

2 pe lângă N plus 2 totul supra 6

Simplificăm pe 6 cu 2

și în final o să obținem N pe lângă N plus 1 pe lângă N plus 2 totul supra 3

Iată că am obținut astfel o formulă de calcul pentru această sumă

N pe lângă N plus 1 pe lângă N plus 2 totul supra 3

Mai facem încă un exercițiu

Avem suma SN 1 ori 4 plus 2 ori 7 plus 3 ori 10 plus puncte puncte plus N pe lângă 3N plus 1

Vom scrie și această sumă cu ajutorul simbolului sigma

și avem sumă din K pe lângă 3K plus 1

pentru K luând valori de la 1 până la N

Putem să verificăm

Pentru K egal cu 1 avem 1 ori 4, primul termen

Pentru K egal cu 2 avem 2 pe lângă 3 ori 2 plus 1, adică 2 ori 7

și așa mai departe

Desfacem și aici paranteza înmulțind pe K cu fiecare număr din paranteză

și obținem sumă din 3K la pătrat plus K

pentru K luând valori de la 1 și până la N

Acum desfacem această sumă în două sume

și putem să trecem constanta în fața sumei

Deci o să scriu egal cu 3 ori sumă din K la pătrat pentru K de la 1 la N

plus sumă din K pentru K de la 1 până la N

Acum aplicăm din nou formulele amintite mai devreme

Sumă din K la pătrat este N pe lângă N plus 1 pe lângă 2N plus 1 supra 6

iar sumă din K este N pe lângă N plus 1 supra 2

Simplificăm cu 3

și o să obținem N pe lângă N plus 1 pe lângă 2N plus 1

plus N pe lângă N plus 1 totul supra 2

Acum la numărător o să dăm factor comun pe N pe lângă N plus 1

totul pe lângă 2N plus 1 plus 1

și totul supra 2

Egal cu N pe lângă N plus 1

În paranteza dreaptă obținem 2N plus 2

Dăm factor comun pe 2

și ne rămâne N plus 1 totul supra 2

Se simplifică 2 cu 2

și obținem N pe lângă N plus 1 la pătrat

Iată deci că am obținut și în acest caz o formulă de calcul pentru această sumă

Lăsăm ca și exercițiu demonstrația acestor formule prin metoda inducției matematice