Metoda coeficienților nedeterminați

În această lecție o să calculăm o sumă folosind metoda coeficienților nedeterminați

și apoi o să demonstrăm rezultatul obținut prin metoda inducției matematice.

Și avem această sumă 1 supra 1 ori 6 plus 1 supra 6 ori 11 plus 1 supra 11 ori 16 plus puncte puncte plus 1 supra 5n minus 4 pe lângă 5n plus 1.

Mai întâi o să scriem această sumă restrâns cu ajutorul simbolului sigma

și o să avem sumă din 1 supra 5k minus 4 pe lângă 5k plus 1 pentru k luând valori de la 1 până la n.

Acesta va fi termenul general al sumei.

Este destul de dificil să calculăm această sumă în forma care este scrisă

și atunci pentru a găsi o formulă de calcul o să scriem termenul general ca o sumă de două fracții.

1 supra 5k minus 4 pe lângă 5k plus 1.

O să scriem această fracție ca o sumă de două fracții,

fiecare având la numitor unul dintre factorii acestui produs.

Prima fracție va avea numitorul 5k minus 4,

iar a doua fracție va avea numitorul 5k plus 1.

Nu cunoaștem deocamdată numărătorii acestor fracții și atunci o să îi notăm cu a și b.

În continuare ne propunem să aflăm acești coeficienți a și b,

iar metoda prin care o să-i obținem se numește metoda coeficienților nedeterminați.

Imediat o să înțelegeți de ce am vrut să scriem această fracție,

acest termen general, ca o sumă de două fracții.

Deocamdată amplificăm aceste fracții ca să le aducem la numitor comun.

Prima fracție se va amplifica cu 5k plus 1 și a doua fracție cu 5k minus 4.

Și atunci obținem o fracție având numitorul 5k minus 4 pe lângă 5k plus 1,

iar la numărător avem 5ak plus a plus 5bk minus 4b.

Egal.

Acum o să rearanjăm termenii.

Grupăm mai întâi termenii ce-l conțin pe k și chiar o să-l dăm pe k factor comun.

Și avem 5a plus 5b totul ori k plus a minus 4b.

Și totul supra 5k minus 4 pe lângă 5k plus 1.

Avem această egalitate de fracții.

Observăm că cele două fracții au același numitor.

Pentru ca ele să fie egale trebuie să aibă și același numărător.

Prin urmare o să egalăm numărătorul acestei fracții cu 1.

Deci o să avem 5a plus 5b ori k plus a minus 4b egal cu 1.

Și acum să ne uităm la această expresie.

Observăm că în membrul stâng avem un termen ce-l conține pe k însă în membrul drept nu avem termen cu k.

Prin urmare coeficientului k din membrul drept este 0.

Și atunci putem să scriem acest număr 1 ca fiind 0 ori k plus 1.

Ca să avem o egalitate va trebui să egalăm coeficientului k din membrul stâng cu coeficientului k din membrul drept.

Așadar 5a plus 5b trebuie să fie egal cu 0.

Iar acest termen a minus 4b trebuie să fie egal cu 1.

Și atunci o să impunem aceste două condiții sub forma unui sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Prima ecuație va fi 5a plus 5b egal cu 0 și a doua ecuație a minus 4b egal cu 1.

Echivalent.

Dacă împărțim prima ecuație la 5 obținem a plus b egal cu 0 de unde a este egal cu minus b.

Îl înlocuim pe a în a doua ecuație și avem minus b minus 4b egal cu 1.

Echivalent.

a egal cu minus b minus 5b egal cu 1.

Echivalent.

a egal cu minus b.

b va fi egal cu minus 1 supra 5.

Echivalent.

Dacă a este minus b minus minus 1 supra 5 va fi 1 supra 5.

Așadar a este egal cu 1 pe 5.

b egal cu minus 1 supra 5.

Am obținut acești doi coeficienți a și b și atunci revenim la termenul general.

Această fracție 1 supra 5k minus 4 pe lângă 5k plus 1

se va scrie astfel.

În loc de a o să scriem 1 supra 5 totul supra 5k minus 4.

În loc de b avem minus 1 pe 5.

O să-l scriem pe minus aici.

1 supra 5 totul supra 5k plus 1.

În continuare putem să dăm factor comun pe 1 supra 5.

Pe lângă 1 supra 5k minus 4 minus 1 supra 5k plus 1.

Am reușit să scriem așadar termenul general ca o diferență de două fracții.

Și acum să revenim la suma noastră, suma S.

Era sumă din acest termen general, adică sumă din 1 pe 5

pe lângă 1 supra 5k minus 4 minus 1 supra 5k plus 1.

Pentru k de la 1 până la n.

1 supra 5 este constantă și putem să trecem constanta în fața sumei.

Deci o să avem 1 pe 5 ori sumă din 1 supra 5k minus 4 minus 1 supra 5k plus 1.

Pentru k de la 1 până la n.

Și acum să scriem această sumă despășurat.

Atenție, fiecare termen al sumei este o diferență de două fracții.

Deci o să avem 1 supra 5 pe lângă.

Primul termen al sumei se obține pentru k egal cu 1.

Și o să avem 1 supra 5 ori 1 minus 4, adică 1 supra 1 minus

1 supra 5 ori 1 plus 1, 6.

Acesta este primul termen al sumei.

Plus.

Cel de al doilea termen al sumei se obține pentru k egal cu 2.

Avem 5 ori 2, 10 minus 4, 6.

Deci 1 pe 6 minus 5 ori 2, 10 plus 1, 11.

1 supra 11.

Plus.

Așa mai departe.

Haideți să scriem și penultimul termen al sumei.

Acesta se obține înlocuind pe k cu n minus 1.

La numitorul primei fracții o să avem 5 pe lângă n minus 1 minus 4.

Adică 5n minus 5 minus 4, 5n minus 9.

Iar la numitorul celei de-a doua fracții o să avem 5 pe lângă n minus 1 plus 1.

Adică 5n minus 5 plus 1 înseamnă 5n minus 4.

Și atunci aici o să scriem 1 supra 5n minus 9 minus.

O să șterg aici.

1 supra 5n minus 4.

Și ultimul termen al sumei înlocuim pe k cu n și avem 1 supra 5n minus 4 minus 1 supra 5n plus 1.

Și închidem paranteza dreaptă.

Final.

Acum putem să observăm că se reduc aici niște termeni.

De fapt acesta a fost și motivul pentru care am vrut să scriem la început termenul general al sumei ca o sumă de două fracții.

Și iată, minus 1 supra 6 se reduce cu plus 1 supra 6.

Minus 1 supra 11 se va reduce cu următorul termen.

Putem chiar să verificăm.

În cazul în care k este egal cu 3, o să avem 1 supra 5 ori 3, 15 minus 4, 11.

Deci următorul termen aici ar fi plus 1 supra 11, care se reduce cu minus 1 supra 11.

Apoi fracția minus 1 supra 5n minus 4 se reduce cu plus 1 supra 5n minus 4.

Așadar au loc aceste reduceri, dar ca să evidențiem mai clar acest lucru,

o să scriem termenii acestei sume unu sub altul.

Și avem 1 pe 5 pe lângă.

1 pe 1 minus 1 pe 6, acesta e primul termen.

Al doilea termen, 1 pe 6 minus 1 supra 11.

Puncte puncte.

Următorul termen este 1 supra 5n minus 9 minus 1 supra 5n minus 4.

Urmează 1 supra 5n minus 4 și minus 1 supra 5n plus 1.

Iar aici avem o sumă.

Egal.

Minus 1 pe 6 se reduce cu plus 1 pe 6.

Minus 1 pe 11 se reduce cu termenul următor.

Acum putem să intuim faptul că această fracție 1 supra 5n minus 9 se va reduce cu fracția situată înaintea ei.

Așadar intuim faptul că aici unde avem puncte puncte se reduc toți termenii.

Apoi fracția minus 1 supra 5n minus 4 se reduce cu plus 1 supra 5n minus 4.

Și acum să vedem ce mai rămâne.

Avem 1 pe 5 pe lângă.

O să rămână primul termen și ultimul termen.

1 supra 1 minus 1 supra 5n plus 1.

Egal cu 1 supra 5 ori.

În parateza ducem la numitor comun.

Avem 5n plus 1 minus 1 supra 5n plus 1.

Egal.

1 supra 5 ori.

5n supra 5n plus 1.

Se simplifică 5 cu 5.

Și obținem n supra 5n plus 1.

Și iată că am găsit o formulă de calcul.

Însă noi aici am presupus că se reduc toți acești termeni din zona în care am scris puncte puncte.

Prin urmare, pentru a fi siguri că această formulă de calcul la care am ajuns este corectă,

trebuie să demonstrăm rezultatul obținut prin metoda inducție matematică.

O să scriem rezultatul obținut mai sus.

Deci am găsit n supra 5n plus 1.

Și în cele ce urmează o să demonstrăm această formulă prin metoda inducției matematice.

O să ștergem cele scrise mai jos.

Prima etapă a inducției este etapa de verificare.

Verificăm dacă formula obținută este corectă în cazul în care n este egal cu 1.

Pentru n egal cu 1, această sumă are un singur termen, adică primul, 1 supra 1 ori 6.

Și acum înlocuim pe n în formula găsită cu 1, obținem 1 supra 5 ori 1 plus 1.

Echivalent, 1 supra 6 egal cu 1 supra 6.

Am găsit o relație adevărată.

Așadar iată că formula găsită este corectă în cazul în care n este egal cu 1.

A doua etapă a inducției, demonstrația.

Arătăm că are loc implicația p de k.

Implica p de k plus 1, oricare ar fi k mai mare sau egal cu 1.

O să presupunem că propoziția p de k este adevărată

și demonstrăm că propoziția p de k plus 1 este o propoziție adevărată.

Să scriem mai întâi propoziția p de k.

Înlocuim p de n cu k și avem 1 supra 1 ori 6 plus 1 supra 6 ori 11 plus puncte puncte

plus ultimul termen 1 supra 5k minus 4 pe lângă 5k plus 1

este egal cu k supra 5k plus 1.

Presupunem că aceasta este o propoziție adevărată.

Acum să scriem propoziția p de k plus 1.

Aceasta se obține înlocuind pe n cu k plus 1.

O să avem 1 supra 1 ori 6 plus 1 supra 6 ori 11 plus puncte puncte.

Scriem și penultimul termen care se obține înlocuind pe n cu k

și scriem acest penultim termen pentru a evidenția faptul că

în cadrul propoziției p de k plus 1 regăsim propoziția p de k.

Deci avem 1 supra 5k minus 4 pe lângă 5k plus 1

și ultimul termen 1 supra.

Înlocuim aici pe n cu k plus 1.

Să vedem ce obținem.

Avem 5 pe lângă k plus 1 minus 4.

Deci o să fie 5k plus 5 minus 4 adică 5k plus 1

și în a doua paranteză o să avem 5 pe lângă k plus 1 plus 1

înseamnă 5k plus 5 plus 1 deci 5k plus 6.

Aici o să scriem 5k plus 1 pe lângă 5k plus 6

egal cu k plus 1 supra 5k plus 5 plus 1 adică 5k plus 6.

Și acum ne propunem să arătăm că această propoziție este o propoziție adevărată.

Observăm așadar că în cadrul propoziției p de k plus 1

regăsim această sumă.

Din moment ce p de k este adevărată

înseamnă că în locul acestei sume

putem să scriem formula găsită pentru p de k

și să vedem ce obținem.

O să avem k supra 5k plus 1

urmează acest termen plus 1 supra 5k plus 1 pe lângă 5k plus 6 egal.

Amplificăm prima fracție cu 5k plus 6

și o să avem k pe lângă 5k plus 6 plus 1 totul supra 5k plus 1

pe lângă 5k plus 6 egal.

Desfacem paranteza 5k pătrat plus 6k plus 1

supra 5k plus 1 pe lângă 5k plus 6 egal.

La numărător avem o expresie pe care o să o descompunem în factori

pentru a putea face niște simplificări.

Pentru aceasta în loc de 6k o să scriem 5k plus k

și avem 5k pătrat plus 5k plus k plus 1 totul supra 5k plus 1 pe lângă 5k plus 6 egal.

Acum grupăm primii doi termeni și o să-l dăm factor comun pe 5k

și avem 5k pe lângă k plus 1 plus

o să scriu în paranteză pe k plus 1

ca să se vadă mai clar faptul că o să mai putem da încă o dată factor comun

supra 5k plus 1 pe lângă 5k plus 6 egal.

Dăm factor comun pe k plus 1 pe lângă 5k plus 1 totul supra 5k plus 1 pe lângă 5k plus 6 egal.

Iată, se simplifică 5k plus 1 și obținem rezultatul

k plus 1 supra 5k plus 6.

Iată că am ajuns la aceeași formulă scrisă mai sus.

Prin urmare, propoziția p de k plus 1 este adevărată, așadar are loc această implicație

și astfel cele două etape ale inducției matematice sunt validate.

Prin urmare, rezultă că propoziția p de n este o propoziție adevărată.

Oricare ar fi n număr natural mai mare sau egal cu 1.

Prin urmare, formula găsită pentru suma noastră este o formulă corectă.