O egalitate de forma

$ax+b=c, a\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}; b, c\in \mathrm{\mathbb{N}}$ 

se numește ecuație cu o necunoscută (x este necunoscuta ecuației).

O valoare a lui x pentru care se verifică egalitatea se numește soluție a ecuației.

A rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile.

Pașii de rezolvare a unei ecuații de forma ax+b=c:

1. Scădem din ambii membri ai ecuației numărul b (sau îl trecem pe b peste egal cu semn schimbat):

$$\begin{gathered} ax+b=c \overline{)} -b \\ ax+b-b=c-b \\ ax=c-b \end{gathered}$$

2. Împărțim ambii membri ai ecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):

$$\begin{gathered} ax=c-b \overline{)} :a \\ x=(c-b):a \end{gathered}$$

A. Inecuații de forma ax+b<c

O inegalitate de forma

$ax+b<c (>,\le ,\ge ), a\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}; b, c\in \mathrm{\mathbb{N}}$ 

se numește inecuație cu o necunoscută (x este necunoscuta inecuației).

O valoare a lui x pentru care se verifică inegalitatea se numește soluție a inecuației.

A rezolva o inecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile.

Pașii de rezolvare a unei inecuații:

1. Scădem din ambii membri ai inecuației numărul b (sau îl trecem pe b în celălalt membru cu semn schimbat):

$$\begin{gathered} ax+b<c \overline{)} -b \\ ax+b-b<c-b \\ ax<c-b \end{gathered}$$

2. Împărțim ambii membri ai inecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):

$$\begin{gathered} ax<c-b \overline{)} :a \\ x<(c-b):a \end{gathered}$$

B. Inecuații în care necunoscuta este la exponent

 Inecuațiile în care necunoscuta este la exponent se rezolvă fie prin încercări, fie scriem numerele din ambii membri ca puteri cu aceeasi bază. Dacă avem aceeași bază in ambii membri (diferită de 0 sau 1), atunci relația de inegalitate se păstrează și în cazul exponenților.

Exemplu:

$$\begin{gathered} 2^x\le 16 \\ {2}^x\le 2^4 \\ x\le 4 \end{gathered}$$

x poate lua valorile 0,1,2,3,4.

Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuațiilor:

• stabililim mărimile cunoscute și necunoscute
• notăm necunoscuta cu o literă, de obicei cu x
• formăm ecuația: transcriem în limbaj matematic datele problemei
• rezolvăm ecuația
• verificăm și interpretăm rezultatul găsit

O egalitate de forma

$ax+b=c, a\ne 0$ 

unde a,b,c sunt fracții zecimale, se numește ecuație cu o necunoscută (x este necunoscuta ecuației).

O valoare a lui x pentru care se verifică egalitatea se numește soluție a ecuației.

A rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile.

Pașii de rezolvare a unei ecuații de forma ax+b=c:

1. Scădem din ambii membri ai ecuației numărul b (sau îl trecem pe b peste egal cu semn schimbat):

$$\begin{gathered} ax+b=c \overline{)} -b \\ ax+b-b=c-b \\ ax=c-b \end{gathered}$$

2. Împărțim ambii membri ai ecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):

$$\begin{gathered} ax=c-b \overline{)} :a \\ x=(c-b):a \end{gathered}$$

O inegalitate de forma

$ax+b<c (>,\le ,\ge ), a\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}; b, c\in \mathrm{\mathbb{N}}$ 

se numește inecuație cu o necunoscută (x este necunoscuta inecuației).

O valoare a lui x pentru care se verifică inegalitatea se numește soluție a inecuației.

A rezolva o inecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile.

Pașii de rezolvare a unei inecuații de forma ax+b<c:

1. Scădem din ambii membri ai inecuației numărul b (sau îl trecem pe b în celălalt membru cu semn schimbat):

$$\begin{gathered} ax+b<c \overline{)} -b \\ ax+b-b<c-b \\ ax<c-b \end{gathered}$$

2. Împărțim ambii membri ai inecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):

$$\begin{gathered} ax<c-b \overline{)} :a \\ x<(c-b):a \end{gathered}$$

Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuațiilor:

• stabililim mărimile cunoscute și necunoscute
• notăm necunoscuta cu o literă, de obicei cu x
• formăm ecuația: transcriem în limbaj matematic datele problemei
• rezolvăm ecuația
• verificăm și interpretăm rezultatul găsit

Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul inecuațiilor:

• stabililim mărimile cunoscute și necunoscute
• notăm necunoscuta cu o literă, de obicei cu x
• formăm inecuația: transcriem în limbaj matematic datele problemei
• rezolvăm inecuația
• verificăm și interpretăm rezultatul găsit

Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuațiilor:

• stabililim mărimile cunoscute și necunoscute
• notăm necunoscuta cu o literă, de obicei cu x
• formăm ecuația: transcriem în limbaj matematic datele problemei
• rezolvăm ecuația
• verificăm și interpretăm rezultatul găsit

A. Ecuații de forma ax+b=c

O egalitate de forma

$ax+b=c, a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}; b, c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ 

se numește ecuație cu o necunoscută (x este necunoscuta ecuației).

O valoare a lui x pentru care se verifică egalitatea se numește soluție a ecuației.

A rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile.

Pașii de rezolvare a unei ecuații de forma ax+b=c:

1. Scădem din ambii membri ai ecuației numărul b (sau îl trecem pe b peste egal cu semn schimbat):

$$\begin{gathered} ax+b=c \overline{)} -b \\ ax+b-b=c-b \\ ax=c-b \end{gathered}$$

2. Împărțim ambii membri ai ecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):

$$\begin{gathered} ax=c-b \overline{)} :a \\ x=(c-b):a \end{gathered}$$

B. Ecuații cu modul

Pentru a rezolva o ecuație de forma: 

$\left|x\right|=a, a\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

avem următoarele cazuri:

• dacă a < 0, ecuația nu are soluție
• dacă a = 0, ecuația are o soluție unică x = 0
• dacă a > 0, ecuația are două soluții în mulțimea numerelor întregi; acestea sunt: x = a și x = -a.

A. Inecuații de forma ax+b<c

O inegalitate de forma

$ax+b<c (>,\le ,\ge ), a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}; b, c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ 

se numește inecuație cu o necunoscută (x este necunoscuta inecuației).

O valoare a lui x pentru care se verifică inegalitatea se numește soluție a inecuației.

A rezolva o inecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile.

Pașii de rezolvare a unei inecuații:

1. Scădem din ambii membri ai inecuației numărul b (sau îl trecem pe b în celălalt membru cu semn schimbat):

$$\begin{gathered} ax+b<c \overline{)} -b \\ ax+b-b<c-b \\ ax<c-b \end{gathered}$$

2. Împărțim ambii membri ai inecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):

$$\begin{gathered} ax<c-b \overline{)} :a \\ x<(c-b):a \end{gathered}$$

Atenție! Dacă înmulțim sau împărțim o inecuație cu un număr negativ, se schimbă semnul inegalității.

B. Inecuații cu modul

O inecuație de forma 

$\left|x\right|<a, a>0$

este echivalentă cu inecuația:

$-a<x<a$.

Exemplu:

$$\begin{gathered} \left|x\right|\le 4, x\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ \left|x\right|\le 4\iff -4\le x\le 4 \\ x\in \left\{-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4\right\} \end{gathered}$$

A. Ecuații de forma ax+b=c

O egalitate de forma

$ax+b=c, a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}; b, c\in \mathrm{ℝ}$ 

se numește ecuație cu o necunoscută (x este necunoscuta ecuației).

O valoare a lui x pentru care se verifică egalitatea se numește soluție a ecuației.

A rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile.

Pașii de rezolvare a unei ecuații de forma ax+b=c:

1. Scădem din ambii membri ai ecuației numărul b (sau îl trecem pe b peste egal cu semn schimbat):

$$\begin{gathered} ax+b=c \overline{)} -b \\ ax+b-b=c-b \\ ax=c-b \end{gathered}$$

2. Împărțim ambii membri ai ecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):

$$\begin{gathered} ax=c-b \overline{)} :a \\ x=(c-b):a \end{gathered}$$

B. Ecuații de forma x² = a

Pentru a rezolva o ecuație de forma: 

$x^2=a, a\in \mathrm{\mathbb{Q}}$

avem următoarele cazuri:

• dacă a < 0, ecuația nu are soluție:

          $S=\varnothing$

• dacă a = 0, ecuația are o soluție unică:

           $x=0$

• dacă a > 0, ecuația are două soluții: 

           $x_1=\sqrt{a}; x_2=-\sqrt{a}.$

O inegalitate de forma

$ax+b<c (>,\le ,\ge ), a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}; b, c\in \mathrm{ℝ}$ 

se numește inecuație cu o necunoscută (x este necunoscuta inecuației).

O valoare a lui x pentru care se verifică inegalitatea se numește soluție a inecuației.

A rezolva o inecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile.

Pașii de rezolvare a unei inecuații:

1. Scădem din ambii membri ai inecuației numărul b (sau îl trecem pe b în celălalt membru cu semn schimbat):

$$\begin{gathered} ax+b<c \overline{)} -b \\ ax+b-b<c-b \\ ax<c-b \end{gathered}$$

2. Împărțim ambii membri ai inecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):

$$\begin{gathered} ax<c-b \overline{)} :a \\ x<(c-b):a \end{gathered}$$

Atenție! Dacă înmulțim sau împărțim o inecuație cu un număr negativ, se schimbă semnul inegalității.

Exemplu:

$$\begin{gathered} -\sqrt{2}x+\sqrt{72}\ge 0, x\in \mathrm{\mathbb{N}} \\ -\sqrt{2}x\ge -\sqrt{72} \\ x\le -\sqrt{72}:\left(-\sqrt{2}\right) \\ x\le \sqrt{36} \\ x\le 6 \\ x\in \left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\right\} \end{gathered}$$

Explicitarea modulului unei inecuații de gradul doi se face astfel:

$\left|a{x}^2+bx+c\right|=\left\{\begin{array}{l} a{x}^2+bx+c, dacă a{x}^2+bx+c\ge 0\\ -\left(a{x}^2+bx+c\right), dacă a{x}^2+bx+c<0.\end{array}\right.$

În continuare, pentru o mai bună explicitare a modulului, este necesar să rezolvăm inecuațiile ce se constituie drept condiții:

$$\begin{gathered} a{x}^2+bx+c\ge 0, cu soluția D_1 \\ a{x}^2+bx+c<0, cu soluția D_2. \end{gathered}$$

După determinarea domeniilor pentru fiecare din cele două situații, se trece la rezolvarea inecuației inițiale (vor fi două inecuații, câte una pentru fiecare situație). Soluțiile obținute pentru fiecare dintre cele două inecuații sunt intersectate cu domeniul de discuție al acestora. Astfel se obțin mulțimile de soluții ale inecuațiilor, notate cu 

$M_1 \mathrm{și} M_2.$

Soluția finala a inecuției cu modul se obține prin reuniunea celor două soluții:

$M=M_1\cup M_2.$

Ecuația de gradul al doilea este o ecuație de forma:

$\boxed{ a{x}^2+bx+c=0 } a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, b, c\in \mathrm{ℝ} (x\in \mathrm{ℝ})$

și ea este echivalentă cu ecuația:

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0.$

Discriminantul ecuației este numărul

$\boxed{ ∆=b^2-4ac }$

Distingem trei cazuri, în funcție de semnul lui delta:

$1. ∆>0$

Ecuația are două soluții distincte și acestea sunt:

$$\begin{gathered} \boxed{ x_1=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a} } \\ \boxed{ x_2=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a} } \end{gathered}$$

$2. ∆=0$

Ecuația are o singură soluție:

$\boxed{ x=-\frac{b}{2a} }$

$3. ∆<0$

Ecuația nu are soluții în mulțimea numerelor reale

$S=\varnothing .$

Ecuația de gradul al doilea este o ecuație de forma:

$\boxed{ a{x}^2+bx+c=0 } a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, b, c\in \mathrm{ℝ} (x\in \mathrm{ℝ})$

Discriminantul ecuației este numărul

$\boxed{ ∆=b^2-4ac }$

Distingem trei cazuri, în funcție de semnul lui delta:

$1. ∆>0$

Ecuația are două soluții distincte și acestea sunt:

$$\begin{gathered} \boxed{ x_1=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a} } \\ \boxed{ x_2=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a} } \end{gathered}$$

$2. ∆=0$

Ecuația are o singură soluție:

$\boxed{ x=-\frac{b}{2a} }$

$3. ∆<0$

Ecuația nu are soluții în mulțimea numerelor reale

$S=\varnothing .$

O inegalitate de forma

$ax+b<c (>,\le ,\ge ), a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, b, c\in \mathrm{ℝ} (x\in \mathrm{ℝ})$ 

se numește inecuație de gradul I cu o necunoscută (x este necunoscuta inecuației).

Valorile lui x pentru care se verifică inegalitatea se numesc soluții ale inecuației.

Pașii de rezolvare a unei inecuații:

1. Scădem din ambii membri ai inecuației numărul b (sau îl trecem pe b în celălalt membru cu semn schimbat):

$$\begin{gathered} ax+b<c \overline{)} -b \\ ax+b-b<c-b \\ ax<c-b \end{gathered}$$

2. Împărțim ambii membri ai inecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):

$$\begin{gathered} ax<c-b \overline{)} :a \\ x<(c-b):a \end{gathered}$$

Atenție! Dacă înmulțim sau împărțim o inecuație cu un număr negativ, se schimbă semnul inegalității.

Soluția se va scrie sub formă de interval.

Propozițiile cu două variabile de forma ax+by+c = 0, unde a, b, c sunt numere reale (a și b nenule) se numesc ecuații de gradul I cu două necunoscute.

Aceste ecuații au o infinitate de soluții, iar mulțimea soluțiilor se reprezintă printr-o dreaptă.

O dreaptă este determinată de două puncte. Prin urmare, pentru a reprezenta dreapta soluțiilor vom alege două puncte care verifică ecuația ax+by+c = 0.

Vom exprima o necunoscută în funcție de cealaltă, de exemplu îl exprimăm pe y în funcție de x. Apoi alegem două valori pentru x și-l calculăm pe y. Cele două puncte de coordonate (x,y) astfel obținute se reprezintă într-un sistem de coordonate. Dreapta determinată de cele două puncte va fi dreapta soluțiilor.

Propozițiile cu două variabile de forma ax+by+c = 0, unde a, b, c sunt numere reale (a și b nenule) se numesc ecuații de gradul I cu două necunoscute.

Fiind dată o funcție liniară f: R→R, f(x) = ax+b, putem să construim pe baza acesteia o ecuație de gradul I cu două necunoscute, astfel:

f(x)= y ⇒  ax+b = y ⇔ ax-y+b = 0.

Forma generală a unui sistem de două ecuații cu două necunoscute este:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}\right. \\ unde: \\ x, y \in \mathrm{ℝ}- sunt necunoscute \\ {a}_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2\in \mathrm{ℝ}- sunt coeficienți. \end{gathered}$$

A rezolva un sistem de două ecuații cu două necunoscute înseamnă a găsi perechile de forma (x, y) care verifică atât prima cât și a doua ecuație.

Fie sistemul de ecuații:

$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}\right. unde a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2\in \mathrm{ℝ}.$

Pentru a rezolva un sistem de două ecuații prin metoda grafică, vom reprezenta în același sistem de axe de coordonate dreptele soluțiilor celor două ecuații. Apoi determinăm coordonatele punctului de intersecție a acestora, care va fi soluția sistemului.

Observație. Dacă cele două drepte sunt paralele, atunci sistemul nu are soluție.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații prin metoda substituției, vom proceda în felul următor:

• alegem o ecuație din care vom exprima o necunoscută în funcție de cealaltă și o înlocuim apoi în a doua ecuație
• obținem astfel o ecuație cu o singură necunoscută, pe care o rezolvăm
• revenim la substituția făcută și determinăm cealaltă necunoscută.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații prin metoda reducerii, vom proceda astfel:

• înmulțim o ecuație sau amândouă cu un număr convenabil ales
• adunăm sau scădem membru cu membru ambele ecuații, eliminând una din necunoscute și determinând-o pe cealaltă
• înlocuim în una din ecuații variabila determinată anterior și aflăm apoi cealaltă necunoscută.

O egalitate de forma

$ax+b=0, a, b\in \mathrm{ℝ}, a\ne 0$ 

se numește ecuație de gradul I cu o necunoscută (x este necunoscuta ecuației).

O valoare a lui x pentru care se verifică egalitatea se numește soluție a ecuației.

A rezolva o ecuație înseamnă a-i găsi toate soluțiile.

Pașii de rezolvare a unei ecuații de forma ax+b=0:

1. Scădem din ambii membri ai ecuației numărul b (sau îl trecem pe b peste egal cu semn schimbat). 

2. Împărțim ambii membri ai ecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):

$$\begin{gathered} ax+b=0 \overline{)} -b \\ ax=-b\overline{)} :a \\ x=-\frac{b}{a}. \end{gathered}$$

Interpretare geometrică

Considerăm funcția

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=ax+b, a, b\in \mathrm{ℝ}, a\ne 0.$

Graficul acestei funcții este o dreaptă care intersectează axa Ox în punctul de abscisă 

$x=-\frac{b}{a} (soluția ecuației).$

Intersecția cu axa Oy va fi punctul având ordonata y = b.

Forma generală a inecuațiilor de gradul I cu o necunoscută este:

$$\begin{gathered} ax+b<0 \\ ax+b\le 0 \\ ax+b>0 \\ ax+b\ge 0, unde a, b\in \mathrm{ℝ}, a\ne 0. \end{gathered}$$

Valorile lui x pentru care se verifică inegalitatea se numesc soluții ale inecuației.

Pașii de rezolvare a inecuației de gradul I de forma ax + b < 0:

1. Scădem din ambii membri ai inecuației numărul b (sau îl trecem pe b în celălalt membru cu semn schimbat):

$$\begin{gathered} ax+b<0 \overline{)} -b \\ ax+b-b<0-b \\ ax<-b \end{gathered}$$

2. Împărțim ambii membri ai inecuației la a (a se mai numește coeficientul lui x):

$$\begin{gathered} ax<-b \overline{)} :a \\ x<-\frac{b}{a} \\ S=\left(-\infty ; -\frac{b}{a}\right). \end{gathered}$$

Atenție! Dacă înmulțim sau împărțim o inecuație cu un număr negativ, se schimbă semnul inegalității.

Soluția se va scrie sub formă de interval.

În mod analog se rezolvă și celelalte tipuri de inecuații.

Un sistem de inecuații de gradul I conține două sau mai multe inecuații de gradul I.

Mulțimea soluțiilor unui sistem de inecuații se obține intersectând mulțimile soluțiilor inecuațiilor care compun sistemul.

Fie ecuația:

$a{x}^2+bx+c=0, a, b, c \in \mathrm{ℝ}, a\ne 0$

cu rădăcinile:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt{△}}{20}, unde △=b^2-4ac\ge 0.$

Au loc următoarele relații:

$$\begin{gathered} Relațiile lui Viete: \boxed{S=x_1+x_2=-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \\ P=x_1·x_2=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}} \end{gathered}$$

Formarea ecuației de gradul doi când se cunosc rădăcinile

Atunci când se cunosc rădăcinile reale ale ecuației de gradul al doilea putem forma ecuația calculând suma și produsul rădăcinilor. Ecuația va fi:

$\boxed{x^2-Sx+P=0. }$

Ecuația de gradul al doilea este o ecuație de forma:

$\boxed{ a{x}^2+bx+c=0 } a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, b, c\in \mathrm{ℝ} (x\in \mathrm{ℝ})$

și ea este echivalentă cu ecuația:

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0.$

Discriminantul ecuației este numărul

$\boxed{ ∆=b^2-4ac }$

Modalități de rezolvare a ecuației de gradul al doilea:

• $a{x}^2+bx+c=0$

Distingem trei cazuri, în funcție de semnul lui delta:

$1. ∆>0$

Ecuația are două soluții reale distincte și acestea sunt:

$$\begin{gathered} \boxed{ x_1=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a} } \\ \boxed{ x_2=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a} } \end{gathered}$$

$2. ∆=0$

Ecuația are o singură soluție reală:

$\boxed{ x=-\frac{b}{2a} }$

$3. ∆<0$

Ecuația nu are soluții în mulțimea numerelor reale

$S=\varnothing .$

• $a{x}^2+bx=0 (c=0)$

Se scoate x factor comun:

$a{x}^2+bx=0\Rightarrow x(ax+b)=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ ax+b=0\Rightarrow x_2=-\frac{b}{a}\end{array}\right.$

• $a{x}^2+c=0 (b=0)$

$a{x}^2+c=0\Rightarrow x^2=-\frac{c}{a}$

1. $dacă -\frac{c}{a}\ge 0\Rightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$
2. $dacă -\frac{c}{a}<0\Rightarrow x\notin \mathrm{ℝ}\Rightarrow S=\varnothing .$

Relațiile lui Viète stabilesc o legătură între rădăcinile reale ale ecuației de gradul al doilea și coeficienții acesteia.

Fie ecuația:

$a{x}^2+bx+c=0, a, b, c \in \mathrm{ℝ}, a\ne 0$

cu rădăcinile:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt{△}}{20}, unde △=b^2-4ac\ge 0.$

Au loc următoarele relații:

$$\begin{gathered} Relațiile lui Viete: \boxed{S=x_1+x_2=-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \\ P=x_1·x_2=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}} \end{gathered}$$

Observație. Cu ajutorul relațiilor lui Viète putem calcula suma și produsul rădăcinilor ecuației de gradul al doilea fără a cunoaște rădăcinile.

Formarea ecuației de gradul doi când se cunosc rădăcinile

Atunci când se cunosc rădăcinile reale ale ecuației de gradul al doilea putem forma ecuația calculând suma și produsul rădăcinilor. Ecuația va fi:

$\boxed{x^2-Sx+P=0. }$

Natura și semnele rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

$$\begin{gathered} 1. \mathrm{Dacă} △<0\Rightarrow \mathrm{ecuația} \mathrm{de} \mathrm{gradul} \mathrm{doi} \mathrm{nu} \mathrm{are} \mathrm{rădăcini} \mathrm{reale} \\ 2. \mathrm{Dacă} △\ge 0\Rightarrow \mathrm{ecuația} \mathrm{de} \mathrm{gradul} \mathrm{doi} \mathrm{are} \mathrm{rădăcini} \mathrm{reale}. \end{gathered}$$

Semnul soluțiilor reale se stabilește cu ajutorul semnului produsului P și al sumei S, conform tabelului de mai jos:

​

Cazuri particulare:

• Dacă S = 0, rădăcinile sunt egale în modul și de semne contrare:

$x_1=-x_2.$

• Dacă P = 0, una dintre rădăcini este zero:

$x_1=0 sau x_2=0.$

Expresia 

$a{X}^2+bX+c$

se descopune în factori după formula:

$\boxed{a{X}^2+bX+c=a(X-x_1)(X-x_2)}$

unde 

$x_1, x_2 sunt soluțiile reale ale ecuației a{x}^2+bx+c=0.$

Forma generală a inecuațiilor de gradul doi este:

$$\begin{gathered} a{x}^2+bx+c>0 \\ a{x}^2+bx+c\ge 0 \\ a{x}^2+bx+c<0 \\ a{x}^2+bx+c⩽0, \\ unde a, b, c\in \mathrm{ℝ}, a\ne 0. \end{gathered}$$

Rezolvarea inecuațiilor de gradul doi este o consecință imediată a semnului funcțiilor de gradul doi. Fie

$f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}, f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c=0, a, b, c\in \mathrm{ℝ}, a\ne 0.$

Semnul funcției de gradul doi se stabilește în funcție de semnul discriminantului și semnul lui a, astfel:

$1. △>0\Rightarrow \exists x_1, x_2\in \mathrm{ℝ}, x_1<x_2$

Funcția f are semnul lui a în afara rădăcinilor și semn contrar lui a între rădăcini. În consecință,

$$\begin{gathered} \bullet f are semnul lui a pe \left(-\infty ,x_1\right)\cup \left(x_2,+\infty \right) \\ \bullet f are semn contrar lui a pe \left(x_1,x_2\right). \end{gathered}$$

$2. △=0\Rightarrow \exists x_1, x_2\in \mathrm{ℝ}, x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

Funcția f are semnul lui a pe $\mathrm{ℝ}-\left\{-\frac{b}{2a}\right\}.$

$3. △<0\Rightarrow nu există rădăcini reale$

Funcția f are semnul lui a pe $\mathrm{ℝ}.$

Pașii de rezolvare a unei inecuații de gradul doi:

• se rezolvă ecuația de gradul doi corespunzătoare inecuației date;
• se evidențiază semnul lui a;
• se stabilește în care dintre situațiile teoretice ne aflăm în raport cu delta;
• se stabilește mulțimea soluțiilor inecuației.

Explicitarea modulului unei inecuații de gradul doi se face astfel:

$\left|a{x}^2+bx+c\right|=\left\{\begin{array}{l} a{x}^2+bx+c, dacă a{x}^2+bx+c\ge 0\\ -\left(a{x}^2+bx+c\right), dacă a{x}^2+bx+c<0.\end{array}\right.$

În continuare, pentru o mai bună explicitare a modulului, este necesar să rezolvăm inecuațiile ce se constituie drept condiții:

$$\begin{gathered} a{x}^2+bx+c\ge 0, cu soluția D_1 \\ a{x}^2+bx+c<0, cu soluția D_2. \end{gathered}$$

După determinarea domeniilor pentru fiecare din cele două situații, se trece la rezolvarea inecuației inițiale (vor fi două inecuații, câte una pentru fiecare situație). Soluțiile obținute pentru fiecare dintre cele două inecuații sunt intersectate cu domeniul de discuție al acestora. Astfel se obțin mulțimile de soluții ale inecuațiilor, notate cu 

$M_1 \mathrm{și} M_2.$

Soluția finala a inecuției cu modul se obține prin reuniunea celor două soluții:

$M=M_1\cup M_2.$

Prin sistem de inecuații de gradul doi se înțelege un sistem de inecuații în care cel puțin una din inecuații este de gradul doi (celelalte inecuații ce compun sistemul sunt de gradul întâi sau doi).

Pentru rezolvarea unui astfel de sistem este necesar să se rezolve fiecare inecuație a sistemului, indiferent de gradul acestora. Soluția sistemului se obține intersectând soluțiile inecuațiilor care formează sistemul.

Forma generală a unui sistem format dintr-o ecuație de gradul I și o ecuație de gradul II este:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}ax+by+c=0\\ a_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2+d_{1}x+e_{1}y+f_1=0, \end{array}\right. \\ unde a, b, c, a_1, b_1, c_1, d_1, e_1, f_1\in \mathrm{ℝ}, a_1\ne 0. \end{gathered}$$

Pentru a rezolva un astfel de sistem folosim metoda substituției:

-din ecuația de gradul întâi se exprimă una din necunoscute în raport cu cealaltă; de exemplu:

$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}, b\ne 0.$

-apoi se trece la substituirea acesteia în ecuația de gradul doi;

-se rezolvă ecuația de gradul doi obținută;

-soluțiile ecuației de gradul doi (dacă există) sunt înlocuite în ecuația

$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}, b\ne 0.$

Astfel se determină soluțiile sistemului, adică perechile de forma:

$S=\left\{\left(x_1, y_1\right);\left(x_2,y_2\right)\right\}.$

Interpretarea geometrică

Soluția sau soluțiile sistemului sunt puncte situate pe fiecare reprezentare grafică a ecuațiilor sistemului. Prin urmare, aceste puncte aparțin atât dreptei d corespunzătoare ecuației de gradul întâi, cât și parabolei P corespunzătoare ecuației de gradul doi. Spunem că soluțiile reale ale sistemului dau coordonatele punctelor de intersecție ale dreptei cu parabola.

Distingem trei situații posibile:

1. dacă sistemul are două soluții, atunci dreapta d este secantă parabolei P (dreapta și parabola au două puncte comune)
2. dacă sistemul are o soluție, atunci dreapta d este tangentă parabolei P (dreapta și parabola au un singur punct comun)
3. dacă sistemul nu are soluții reale, dreapta d este exterioară parabolei P (dreapta și parabola nu au puncte comune).

Sistemele omogene sunt sisteme în care cele două polinoame conțin doar monoame de același grad. Sistemele omogene au forma generală:

$\left(S\right): \left\{\begin{array}{l}{a}_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2=d_1\\ a_2{x}^2+b_{2}xy+c_2{y}^2=d_2\end{array}\right.$

Metoda de rezolvare a sistemelor omogene

$CAZ 1. d_1\ne 0 și d_2\ne 0.$

Se realizează o combinație a celor două ecuații astfel încât prin adunarea lor să obținem termenul liber egal cu zero.

$\left\{\begin{array}{l}{a}_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2=d_1\overline{)} ·\alpha \ne 0\\ a_2{x}^2+b_{2}xy+c_2{y}^2=d_2\overline{)}·\beta \ne 0\end{array}\right.$

Se adună cele două ecuații, iar ecuația astfel obținută devine a doua ecuație a sistemului. Prima ecuație se copiază. Obținem astfel un sistem echivalent cu sistemul (S), de forma:

$(S`): \left\{\begin{array}{l}{a}_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2=d_1\\ a_3{x}^2+b_{3}xy+c_3{y}^2=0\end{array}\right.$

A doua ecuație devine;

$$\begin{gathered} a_3{x}^2+b_{3}xy+c_3{y}^2=0\overline{)} :x^2 (x\ne 0)\Rightarrow a_3+b_3\frac{y}{x}+c_3{\left(\frac{y}{x}\right)}^2=0 \\ Not. \frac{y}{x}=t\Rightarrow a_3+b_{3}t+c_3{t}^2=0 \end{gathered}$$

Rezolvăm ecuația de gradul doi obținută. 

• Dacă nu există soluții reale, atunci sistemul dat nu are soluție.
• Dacă avem soluții reale se revine la notația făcută. 

$$\begin{gathered} a) △>0\Rightarrow \exists t_1, t_2\in \mathrm{ℝ}, t_1\ne t_2: \\ \frac{y}{x}=t_1\Rightarrow y=t_{1}x și \frac{y}{x}=t_2\Rightarrow y=t_{2}x \\ b) △=0\Rightarrow \exists t_1, t_2\in \mathrm{ℝ}, t_1=t_2=t: \\ \frac{y}{x}=t\Rightarrow y=tx \end{gathered}$$

În ambele situații se continuă cu rezolvarea sistemelor de mai jos (sisteme formate dintr-o ecuație de gradul întâi și o ecuație de gradul doi):

$$\begin{gathered} a) \left\{\begin{array}{l}y=t_{1}x\\ a_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2=d_1\end{array}\right. și \left\{\begin{array}{l}y=t_{2}x\\ a_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2=d_1\end{array}\right. \\ b) \left\{\begin{array}{l}y=tx\\ a_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2=d_1\end{array}\right. \end{gathered}$$

$CAZ 2. d_1=0 sau d_2=0.$

În acest caz obținem un sistem de forma (S') care se rezolvă după algoritmul prezentat mai sus.

Definiție. O ecuație cu două necunoscute se numește simetrică, dacă înlocuind o necunoscută cu cealaltă, ecuația nu se schimbă.

Exemplu: 2x + 7xy + 2y = 10.

Proprietate. Dacă o ecuație simetrică are soluția (x', y') atunci ea admite și soluția (y',x').

Definiție.Un sistem format din ecuații simetrice se numește sistem simetric.

Un sistem de forma:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=s\\ xy=p\end{array}\right.$

se numește sistem simetric fundamental, iar acesta se rezolvă utilizând suma si produsul rădăcinilor ecuației de gradul al doilea. Se formează ecuația de gradul al doilea cu necunoscuta t:

$t^2-st+p=0,$ având rădăcinile  $t_1, t_2.$

Soluțiile sistemului simetric fundamental vor fi:

$x=t_1, y=t_{2 }și x=t_2, y=t_{1 } \Rightarrow S=\left\{\left(t_1,t_2\right); \left(t_2,t_1\right)\right\}.$

Metoda de rezolvare a sistemelor simetrice cu necunoscutele x și y

1) Se introduc două necunoscute noi: s = x + y și p = xy

2) Se exprimă ecuațiile sistemului în s și p

3) Se rezolvă sistemul cu necunoscutele s și p

4) Cu valorile obținute pentru s și p se revine la substituție și se rezolvă sistemul simetric fundamental.

Fie ecuația:

$a{x}^2+bx+c=0, a\ne 0, a, b, c \in \mathrm{ℝ}$

Dacă discriminantul ecuației este negativ:

$△=b^2-4ac <0$

atunci ecuația are două rădăcini complexe conjugate și acestea sunt:

$x_1=\frac{-b-i\sqrt{-△}}{2a} și x_1=\frac{-b+i\sqrt{-△}}{2a}.$

Formarea ecuației de gradul doi când se cunosc soluțiile

Dacă $x_1, x_2 \in \mathrm{ℂ}$  sunt soluțiile complexe ale unei ecuații de gradul doi, atunci ecuația va avea forma:

$x^2-Sx+P=0, unde S=x_1+x_2, P=x_1·x_2$

Ecuații bipătrate

O ecuație bipătrată este o ecuație de forma $a{x}^4+b{x}^2+c=0 (a\ne 0).$ 

Metoda de rezolvare: notăm $x^2=y$ și obținem o ecuație de gradul doi: $a{y}^2+by+c=0$ cu soluțiile $y_1, y_2.$

Revenim la notație și rezolvăm ecuațiile $x^2=y_1, x^2=y_2.$

O ecuație binomă este o ecuație de forma:

$z^n-a=0, z\in \mathrm{ℂ}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}, n\ge 2, a\in \mathrm{ℂ}.$

Ecuația se poate rescrie sub forma:

$z^n=a.$

Soluțiile ecuației sunt rădăcinile de ordinul n ale numărului complex a. Pentru a determina aceste rădăcini vom scrie numărul a sub formă trigonometrică.

Ecuații de forma  $a{z}^{2\mathrm{n}}+b{z}^{\mathrm{n}}+c=0$

Se notează $z^n=y$ și se rezolvă ecuația $a{y}^2+by+c=0$ cu soluțiile $y_1, y_2.$

Apoi se revine la substituție și se rezolvă ecuațiile binome

$z^n=y_{1 }, z^n=y_2.$

Etapele rezolvării ecuațiilor iraționale:

-se pun condiții de existență a radicalilor de ordin par

-se stabilește domeniul de existență a ecuației

-se elimină radicalii prin ridicări la putere sau amplificare cu expresii conjugate

- se verifică dacă soluția obținută aparține domeniului de existență.

Etapele rezolvării ecuațiilor iraționale:

-se pun condiții de existență a radicalilor de ordin par

-se stabilește domeniul de existență a ecuației

-se elimină radicalii prin ridicări la putere sau amplificare cu expresii conjugate

- se verifică dacă soluția obținută aparține domeniului de existență.

Ecuația exponențială este o ecuație în care necunoscuta apare la exponent. 

Pentru a rezolva ecuațiile exponențiale se fac transformări echivalente folosind proprietățile funcției exponențiale, apoi se rezolvă ecuațiile algebrice obținute. 

Pentru rezolvarea inecuațiilor exponențiale se folosește monotonia funcției exponențiale (funcția exponențială este strict crescătoare dacă baza este supraunitară și strict descrescătoare dacă baza este subunitară). 

Ecuația logaritmică este o ecuație în care necunoscuta apare ca argument sau ca bază a unui logaritm. Pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice vom scrie mai întâi condițiile de existentă pentru logaritmi, apoi vom folosi proprietățile funcției logaritmice și divese substituții.

În rezolvarea inecuațiilor logaritmice vom folosi monotonia funcției logaritmice (funcția logaritmică este strict crescătoare dacă baza logaritmului este supraunitară și strict descrescătoare dacă baza este subunitară).