Ecuația de gradul II cu rădăcini reale

În lecția de față vom discuta ecuațiile de gradul 2.

Foarte important, înainte de a trece mai departe în discuția noastră, este să înțelegeți că, fiind ecuație este o egalitate matematică,

deci va conține în descrierea ei un egal, mai mult decât atât de gradul 2 înseamnă că necunoscuta ecuației în discuție va avea puterea maximă 2.

Mai mult decât atât, gradul unei ecuații arată sau sublimează numărul de soluții sau de rădăcini pe care această ecuație îl admite.

Forma generală a ecuației de gradul al doilea este ax pătra plus bx plus c egal cu 0, unde a, b și c sunt numere reale și, în mod evident, x este necunoscuta sau variabila ecuației,

necunoscută, care, după cum vedeți în forma generală, are putere maximă 2.

O altă formă de scriere a ecuației de gradul al doilea, scrisă de data asta în raport sau în funcție de sumă și produs al rădăcinilor, este x pătrat minus sx plus p egal cu 0.

Formulele de calcul al acestor tipuri de ecuații constau în delta respectiv sumă produs, x1 și x2, după cas. Delta este b pătrat minus 4ac.

Suma care, așa cum spuneam, poate apărea într-o altă formă de descriere a ecuației de gradul al doilea este data de x1 plus x2, unde x1 și x2 sunt rădăcinile pe care le admite ecuația noastră și are, ca și formulă de calcul, minus b supra.

Produsul este x1 ori x2 și, ca și formulă de calcul, are, ca valoare, c supra. Cazurile de discuție în funcție de care se poate comenta o ecuație de gradul al doilea sunt date de valoarea pe care delta o va avea în momentul în care ne propunem să o calculăm.

Și anume, primul caz este acela în care delta este negativ, adică, din calculul pe care îl facem asupra acestor ecuații, el poate să dea o valoare negativă, ceva cum imi zic.

În acest caz, rădăcinile x1 și x2 nu sunt reale. O să vedem mai târziu și mai clar într-o lecție viitoare că aceste rădăcini sunt, de fapt, complexe, drept pentru care, la momentul respectiv, va trebui, în primul rând, să știm ce este acela un număr complex.

Al doilea caz de discuție este acela în care delta nu va da zero. În acest caz, rădăcinile x1 și x2 sunt egale. Formula de calcul este cea expusă și anume x1 egal cu x2 și egal cu minus b supra 2a.

În această situație, se afirmă destul de des că ecuația admite rădăcină dublă, sensul în care x1 coincide cu x2, sunt cele două rădăcini, dar sunt la fel.

A treia situație și ultima este aceea în care delta este pozitiv, caz în care rădăcinile x1 și x2 sunt reale, dar, foarte important, sunt diferite sau reale distincte, afirmăm de foarte multe ori,

Momentul în care formula de calcul arată rădăcinilor sau soluțiilor ecuației este dată de formula minus b plus minus radical din delta supra 2a.

Pentru început o să comentăm un pic câteva dintre aceste aspecte pe exemplu ca să ne lămurim în mod clar despre ce este vorba.

Depind. Am o ecuație de formă x pătrat minus 5x plus 6 egal cu 0.

În primul și în primul rând, coeficienții, adică a, b și c, reale despre care comentăm în teorie, sunt a egal cu 1, b egal cu minus 5, este foarte important să înțelegeți că acești coeficienți se iau cu tot cu semn, respectiv c egal cu 6.

În condițiile actuale pot calcula fără discuții delta care este b pătrat minus 4ac, adică delta va fi în cazul meu minus 5 la pătrat minus 4 ori 1 ori 6.

Ceea ce înseamnă minus 5 la pătrat 25 minus 4 ori 1 ori 4, 4 ori 6, 24.

Înțeleg din asta că delta are valoarea 1.

Uitându-mă la valoarea lui delta, înțeleg că, conform cazurilor de discuție comentate mai sus, acesta este pozitiv.

Dacă este pozitiv, înțeleg în realitate că rădăcinile mele x1 și x2 sunt reale și mai mult decât atât distinte.

Formula de calcul, așa cum spuneam, x1-2 este dată de minus b plus minus radical din delta supra 2a, adică x1 va avea valoarea minus b.

Înțeleg că va fi minus minus 5 plus radical din 1 supra 2 înmulțit cu 1, în ideea în care și aur are valoarea 1.

Asta înseamnă că x1 va avea valoarea 5 plus 1 supra 2, adică 6 pe 2, deci 3.

Și x2 va avea valoarea minus minus 5 minus radical din 1 supra același 2 ori 1, care va avea ca și rezultat 5 minus 1 supra 2, adică 2.

Foarte important de înțeles aici este că, repet, în momentul în care discut despre o ecuație de gradul 2, trebuie să remarc corect coeficienții necunoscutelor și mai clar A-ul, B-ul și C-ul.

Delta trebuie calculată în prima etapă pentru a înțelege clar în care dintre cazurile de discuții am.

În cazul în care am spus, așa cum am dat exemplu, delta este pozitiv ca și valoare, formula de calcul este cea expusă.

O să mă joc puțin invers cu voi, adică să mă aleg de sumă și produs.

Sensul în care, dacă așa cum am afirmat, mi-a dat x1 egal cu 2, respectiv x2 mi-a dat 3, respectiv invers, chiar nu contează.

Înțeleg de aici că suma care era x1 plus x2 va avea valoarea cât 2 plus 3, adică, mai pe interesul tuturor, suma are valoarea 5.

În egală măsură, produsul, care așa cum spuneam e x1 ori x2, este egal cu 2 ori 3, adică egal cu 6.

Deci, la momentul ăsta, înțeleg eu că suma este 5, produsul este 6.

În condițiile în care avem suma și produsul, putem să exprimăm ecuația de gradul 2 pornind doar de la sumă și de la produs,

după formula pe care clar am comentat-o aici, și anume, x2 minus Sx plus P egal cu 0.

În situația în care, clar, am x2 minus 5, că atât este suma, x plus P, adică 6, egal cu 0.

Observați că ecuația obținută este, de fapt, ecuația de la care am pornit.

Ce atestă acest aspect?

Că un alt tip de aplicații pe care îl puteți întâlni este acelea în care vi se dau rădăcinile pe care le are ecuația de gradul 2

și vi se cere să determinați voi ecuația de gradul 2 care admite ca și rădăcini soluțiile date.