Ecuația de gradul II cu rădăcini reale

Ecuația de gradul al doilea este o ecuație de forma:

$\boxed{ a{x}^2+bx+c=0 } a\in {\mathrm{ℝ}}^{*}, b, c\in \mathrm{ℝ} (x\in \mathrm{ℝ})$

și ea este echivalentă cu ecuația:

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0.$

Discriminantul ecuației este numărul

$\boxed{ ∆=b^2-4ac }$

Modalități de rezolvare a ecuației de gradul al doilea:

• $a{x}^2+bx+c=0$

Distingem trei cazuri, în funcție de semnul lui delta:

$1. ∆>0$

Ecuația are două soluții reale distincte și acestea sunt:

$$\begin{gathered} \boxed{ x_1=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a} } \\ \boxed{ x_2=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a} } \end{gathered}$$

$2. ∆=0$

Ecuația are o singură soluție reală:

$\boxed{ x=-\frac{b}{2a} }$

$3. ∆<0$

Ecuația nu are soluții în mulțimea numerelor reale

$S=\varnothing .$

• $a{x}^2+bx=0 (c=0)$

Se scoate x factor comun:

$a{x}^2+bx=0\Rightarrow x(ax+b)=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ ax+b=0\Rightarrow x_2=-\frac{b}{a}\end{array}\right.$

• $a{x}^2+c=0 (b=0)$

$a{x}^2+c=0\Rightarrow x^2=-\frac{c}{a}$

1. $dacă -\frac{c}{a}\ge 0\Rightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$
2. $dacă -\frac{c}{a}<0\Rightarrow x\notin \mathrm{ℝ}\Rightarrow S=\varnothing .$