Inecuații de gradul II cu modul

În această lecție vom face inecoații de gradul al doilea ce conțin modul.

Pentru început, explicitarea modulului se exprima astfel.

Modul de a este egal cu a, dacă a este mai mare sau egal ca 0, deci e un număr pozitiv,

sau minus a, dacă a era mai mic decât 0, practic un număr negativ, unde a este un număr real.

Astfel, valoarea oricărui număr real în modul este pozitivă.

De exemplu, modul de minus 3 este egal cu 3, deoarece minus 3 este negativ

și conform explicitării, practic sunt pe această a doua ramură, minus 3 va fi egal cu minus minus 3,

deci minus aul nostru, care este minus 3.

Și atunci, minus cu minus e plus, pentru care, corect afirmat, modul de minus 3 este 3.

În altă ordine de idei, modul de 3 egal cu 3, deoarece 3 este pozitiv,

conform explicitării, sunt pe prima ramură, și atunci este chiar număr.

Atunci când facem referire la inecoații de gradul al doilea ce conțin modul,

este necesar să remarcăm forma generală a acestora.

Practic, modul de ax pătra plus bx plus c este mai mic decât d, mai mare decât d, mai mic sau egal decât d,

mai mare sau egal decât d, în condițiile în care a, b, c sunt reale,

aul obligatoriu diferit de 0 ca să rămânem pe gradul al doilea,

iar d-ul poate să fie real, adică poate să fie un număr,

sau d poate să fie o expresie matematică ce conține variabila x.

În această situație, explicitarea modului se face astfel.

Modul de ax pătrat plus bx plus c este egal cu ax pătrat plus bx plus c,

dacă ax pătrat plus bx plus c mai mare sau egal ca 0,

respectiv minus ax pătrat plus bx plus c,

dacă ax pătrat plus bx plus c este mai mic decât 0.

Observați, în cazul 1 respectiv,

cazul 2, acestea fiind condițiile în care modulul ia această valoare sau această valoare,

sunt, de fapt, inecoații de gradul al doilea,

inecoații pe care am învățat să le rezolvăm într-o lecție precedentă.

Pentru explicitarea corectă a modulului,

este necesară rezolvarea inecoațiilor,

ce se constituie drept condiții, așa cum vă spuneam.

Rezolvarea acestora conduce la domeniul pe care x-ul ia valori

pentru fiecare din cele două situații exprimate.

De exemplu,

modul de ax pătrat plus bx plus c

este egal cu ax pătrat plus bx plus c

dacă x aparține minus infinit x1

reunit cu x2 plus infinit,

asta înseamnă în afară a rădăcinilor,

și, pe a doua situație,

ax pătrat minus bx plus c

dacă x aparține lui x1, x2,

observați, între rădăcini.

Sau, în egală măsură,

se poate exprima modul de ax pătrat plus bx plus c

egal cu ax pătrat plus bx plus c

dacă x aparține lui x1, x2,

deci, practic, între rădăcini,

respectiv, minus ax pătrat minus bx minus c

dacă x aparține lui minus infinit x1

reunit cu x2 plus infinit,

iar spun, în afară a rădăcinilor.

După determinarea domenilor

pentru fiecare dintre cele două situații,

se trece la rezolvarea inequației inițiale,

adică două inequații,

câte una pentru fiecare situație,

adică pentru prima situație am de rezolvat o inequație,

pentru a doua situație am de rezolvat o inequație.

Soluțiile obținute pentru fiecare

dintre cele două inequații rezolvate

sunt intersectate cu domenul

de discuție al acestora, foarte important,

intersectate. Astfel,

se obțin mulțimele de soluții ale inequaților

notate cu M1, respectiv M2.

M1, soluția primei inequații

pe prima situație și M2, soluția

cele de-a doua inequații pe cea de-a doua situație.

Pentru obținerea soluției finale,

soluția inequației ce conține modul,

deci soluția inequației date, practic,

se face prin reuniunea, iar foarte

important, mulțimilor M1 și M2.

Pentru o cât mai bună

înțelegere a celor mai sus comentate, o să dau câteva

exemple. Astfel, exemplul 1.

Să se rezolve inequația. Modul de x²

minus 5x plus 6, mai mic decât 2.

În primă etapă, explicitarea modului.

Modul de x² minus 5x

plus 6 va fi

x² minus 5x plus 6 dacă x² minus

5x plus 6 este mai mare sau egal decât 0,

respectiv minus x²

minus 5x plus 6 dacă

x² minus 5x plus 6 este mai mic decât 0.

În aceste condiții, va aduceți aminte,

rezolvăm equația de gradul al doilea,

equație care în acest moment are delta

calculat 1,

pozitiv, am rădăcini reale distinte,

rădăcinile în cazul meu calculate

2, respectiv 3.

Așa cum vă aduceți aminte din lecția precedentă,

când a egal cu 1, care e

pozitiv, deci are plus, când delta

este mai mare decât 0, înțeleg de fapt că

între rădăcini am semn contrar

lui a, în cazul nostru minus, în afara

rădăcinii avem semnul lui a.

Astfel, în condițiile date,

modul de x² minus 5x plus 6

va fi x² minus 5x plus 6

dacă, deci mă interesează mai mare

sau egal, practic mă interesează plus.

Și atunci e în afara rădăcinii.

Și atunci am x²

minus 5x plus 6, cum spuneam,

dacă x aparține minus infinit 2,

prima rădăcină, reunit cu 3

plus infinit, 3

fiind a doua rădăcină.

În a doua situație voi avea minus x²

plus 5x minus 6 dacă x

aparține lui 2, 3, intervalului 2, 3,

practic între rădăcini semn

contrar, în condițiile în care aici mă interesa

mai mic decât 0.

Fiecare din aceste două situații le-am notat

cu steluță 1, respectiv steluță 2,

situații care urmează a fi rezolvate.

Practic, situația 1

pentru x aparține intervalului minus infinit 2

reunit cu 3 plus infinit, avem

x² minus 5x plus 6

mai mic decât 2.

Așa era

în ecuația inițială dată.

De aici, evident, rezolvare. Se trece 2 în partea

cealaltă cu semn schimbat, deci în partea stângă,

obținând astfel x² minus

5x plus 4. Ecoația

corespunzătoare în ecuații obținute,

delta e 25 minus 16, iar spun pozitiv

rădăcini reale și distincte,

x1 calculat este

5 minus 3, 2 pe 2, 1,

x2 calculat, 5 plus 3 supra 2,

4. În aceste condiții

am a egal cu 1 pozitiv, deci am plus.

Am delta pozitiv.

Între rădăcini, semn contrar, minus,

în afara rădăcinilor, semnului a, plus.

Pe mine mă interesează în ecuația noastră

mai mic, deci semnul minus.

Înțeleg că

x-ul aparține intervalului

1, 4 deschis pentru că nu am și

egal. Soluția M1

se obține, așa cum spuneam, prin intersectarea

domeniului variabile x,

domeniul fiind acesta,

și soluția obținută, soluția fiind

aceasta. Astfel,

M1 va fi egal cu minus infinit

2 reunit cu 3 plus infinit

intersectat cu 1, 4, așa cum am

spus, domeniul, respectiv soluția.

M1 în acest caz va fi 1, 2

deschis la 1, închis la 2

reunit cu 3

4, unde 3

închis, 4 deschis.

Cea de-a doua situație

este discutată în continuare

înțelegând că pentru x

aparține lui 2, 3, deci a doua situație

2, 3. Intervalul deschis

2, 3. Avem minus x

pătrat plus 5x minus 6

mai mic decât 2. La fel, minus

2 se duce în partea cealaltă cu semn schimbat

minus x pătrat plus 5x minus 6

minus 2 mai mic decât 0

calcul minus x pătrat plus 5x

minus 8. Înmulțesc inequația cu minus 1

și obțin x pătrat minus 5x

plus 8, mai mare de această

dată decât 0. Vă reamintesc că

înmulțirea unei inequații cu minus 1 presupune a schimbarea

semnelor și sensul lui inegalități.

Equația corespunzătoare

este rezolvată, 25 minus

32. Negativ, înțeleg că

x1 și x2 nu aparțin numelor

reale, deci nu avem soluții reale.

Pentru că nu avem soluții

reale, vă reamintesc că graficul nu

atingea axa OX și atunci

pentru A pozitiv

și delta negativ, semnul

pe care îl prezenta

funcția corespunzătoare

în ecuație dată era

plus peste tot, adică PR.

Practic, x

aparține mulțim real. În acest caz

soluția N2 se obține prin

intersectarea domeniului, iar spun

domeniul, în acest caz, 2,3

și soluția obținută

în acest caz, x aparține lui R

Astfel, M2 va fi 2,3

intersectat cu R, în mod evident

M2 este 2,3

Până aici, înțeleg că M1 este

1,2

deschis la 1, închis la 2, reunit cu 3,4

închis la 3, deschis la 4

M2 este 2,3

deschis în ambele

capete. Astfel,

soluția finală, sau soluția în ecuație

ce conține modul, soluția în ecuație dată

inițială, este M

egal cu M1 reunit de această dată

cu M2

M1 reunit cu M2

soluție finală 1,4

Un al doilea exemplu pe care

vi-l propun este să se rezolve

în ecuația modul de x²-3x

plus 2 mai mic sau egal decât

x plus 7. Explicitarea este

x²-3x plus 2 dacă

x²-3x plus 2 este mai mare sau egal decât 0

respectiv x² plus 3x

minus 2 dacă x²-3x

plus 2 mai mic decât 0.

Ecoația corespunzătoare, delta

9 minus 8 mai mare decât 0

avem rădăcini reale și distincte

x12 va fi minus b plus minus

radical din delta supra 2a

înțelegând de aici minus minus 3, deci 3

plus minus radical din 1, deci 1 supra 2a

2 ori 1, adică 2. Astfel,

x1 va fi 3 minus 1 supra 2, adică

2 pe 2, 1. Respectiv

x2, 3 plus 1 supra 2, adică 4

supra 2, 2. În aceste

condiții, explicitarea modulului

x²-3x plus 2 va fi x²-3x

plus 2 dacă x aparține

pentru că mă interesează mai mare

mă interesează în afara rădăcinelor, aul fiind

pozitiv, delta fiind pozitiv

soluția pentru mai mare

sau egal este în afara rădăcinilor. Și atunci

x aparține lui minus infinit 1

reunit cu 2 plus infinit, închis

la 1 și la 2 pentru că avem și egal,

respectiv, minus x² plus 3x

minus 2 dacă x aparține în interiorul

rădăcinilor, în cazul meu

deschis, pentru că avem strict

mai mic. Astfel, prima situație

comentată va fi cea în care

x aparține intervalului minus infinit 1

reunit cu 2 plus infinit. În aceste

condiții, inequația noastră devine

x²-3x plus 2

sunt pe situație aceasta, mai mic sau

egal decât x plus 7. Se trec toți

termenii în partea stângă cu semn schimbat. Astfel,

x²-3x plus 2 minus x

minus 7, mai mic sau egal decât 0.

Rezolvăm, evident, și atunci avem x²

minus 4x minus 5

mai mic sau egal decât 0. Ecoația

corespunzătoare x²-4x-5

egal cu 0. Delta va fi 16

plus 20, adică 36

iar pozitiv, rădăcire are și distinte

x¹-2 va fi minus b

deci 4, plus minus radical din delta

deci 6, supra 2 a

2. Înțeleg de aici că x¹ va fi

4 minus 6 minus 2 supra 2

deci minus 1. x² va fi

4 plus 6, 10, supra 2

5. Pentru că mă interesează

semn mai mic sau egal, înțeleg că mă interesează

semn contrarului a. Semn contrarului a

între rădăcini, în condițiile în care

a-ul este 1 și e pozitiv.

Astfel, x aparține intervalului

minus 1, 5. Deci m1

este minus infinit 1 reunit cu

2 plus infinit intersectat cu

minus 1, 5, închis

în minus 1, respectiv 5.

m1, în aceste condiții, va fi

minus 1, 1 reunit

cu 2 și 5.

Cea de-a doua situație, pentru x

aparține intervalului 1, 2 deschis la 1

deschis la 2, avem minus x²

plus 3x minus 2, mai mic sau egal decât x

plus 7. Se trec toți termenii în partea stângă

cu semn schimbat, obținând astfel

minus x² plus 3x minus 2

minus x minus 7, mai mic sau egal

decât 0. Rezolvăm

minus x², 3x minus x

2x, minus 2 minus 7

minus 9, mai mic sau egal decât 0.

Înmulțesc în ecuația cu minus 1, obțin astfel

în ecuația x²

minus 2x plus 9, mai mic sau egal

decât 0. Ecoația

corespunzătoare, x² minus 2x plus 9

egal cu 0, delta egal cu 4

minus 36, negativ, înțelegând că x1

x2 nu aparține lui r, dar

pentru că aul este pozitiv

se află deasupra axei și întotdeauna

va fi pozitiv. În condițiile astea

x aparține lui r, este soluția

acestei inequații. Astfel

1, 2, vă reamintesc, era

domeniul

r

era soluția.

În aceste condiții, m2 va fi

1, 2. Deci soluția

inequației date este m

egal cu m1 reunit cu m2.

m este minus 1, 1 reunit cu 2, 5

acesta fiind m1

reunit cu 1, 2

acesta fiind m2. În aceste

condiții, soluția inequației date va fi m

egal cu minus 1

până la 5. 1, 2 a completat

celipsea din acest interval.