Transcript: Inecuații de gradul II cu modul

În această lecție vom face inecoații de gradul al doilea ce conțin modul.
Pentru început, explicitarea modulului se exprima astfel.
Modul de a este egal cu a, dacă a este mai mare sau egal ca 0, deci e un număr pozitiv,
sau minus a, dacă a era mai mic decât 0, practic un număr negativ, unde a este un număr real.
Astfel, valoarea oricărui număr real în modul este pozitivă.
De exemplu, modul de minus 3 este egal cu 3, deoarece minus 3 este negativ
și conform explicitării, practic sunt pe această a doua ramură, minus 3 va fi egal cu minus minus 3,
deci minus aul nostru, care este minus 3.
Și atunci, minus cu minus e plus, pentru care, corect afirmat, modul de minus 3 este 3.
În altă ordine de idei, modul de 3 egal cu 3, deoarece 3 este pozitiv,
conform explicitării, sunt pe prima ramură, și atunci este chiar număr.
Atunci când facem referire la inecoații de gradul al doilea ce conțin modul,
este necesar să remarcăm forma generală a acestora.
Practic, modul de ax pătra plus bx plus c este mai mic decât d, mai mare decât d, mai mic sau egal decât d,
mai mare sau egal decât d, în condițiile în care a, b, c sunt reale,
aul obligatoriu diferit de 0 ca să rămânem pe gradul al doilea,
iar d-ul poate să fie real, adică poate să fie un număr,
sau d poate să fie o expresie matematică ce conține variabila x.
În această situație, explicitarea modului se face astfel.
Modul de ax pătrat plus bx plus c este egal cu ax pătrat plus bx plus c,
dacă ax pătrat plus bx plus c mai mare sau egal ca 0,
respectiv minus ax pătrat plus bx plus c,
dacă ax pătrat plus bx plus c este mai mic decât 0.
Observați, în cazul 1 respectiv,
cazul 2, acestea fiind condițiile în care modulul ia această valoare sau această valoare,
sunt, de fapt, inecoații de gradul al doilea,
inecoații pe care am învățat să le rezolvăm într-o lecție precedentă.
Pentru explicitarea corectă a modulului,
este necesară rezolvarea inecoațiilor,
ce se constituie drept condiții, așa cum vă spuneam.
Rezolvarea acestora conduce la domeniul pe care x-ul ia valori
pentru fiecare din cele două situații exprimate.
De exemplu,
modul de ax pătrat plus bx plus c
este egal cu ax pătrat plus bx plus c
dacă x aparține minus infinit x1
reunit cu x2 plus infinit,
asta înseamnă în afară a rădăcinilor,
și, pe a doua situație,
ax pătrat minus bx plus c
dacă x aparține lui x1, x2,
observați, între rădăcini.
Sau, în egală măsură,
se poate exprima modul de ax pătrat plus bx plus c
egal cu ax pătrat plus bx plus c
dacă x aparține lui x1, x2,
deci, practic, între rădăcini,
respectiv, minus ax pătrat minus bx minus c
dacă x aparține lui minus infinit x1
reunit cu x2 plus infinit,
iar spun, în afară a rădăcinilor.
După determinarea domenilor
pentru fiecare dintre cele două situații,
se trece la rezolvarea inequației inițiale,
adică două inequații,
câte una pentru fiecare situație,
adică pentru prima situație am de rezolvat o inequație,
pentru a doua situație am de rezolvat o inequație.
Soluțiile obținute pentru fiecare
dintre cele două inequații rezolvate
sunt intersectate cu domenul
de discuție al acestora, foarte important,
intersectate. Astfel,
se obțin mulțimele de soluții ale inequaților
notate cu M1, respectiv M2.
M1, soluția primei inequații
pe prima situație și M2, soluția
cele de-a doua inequații pe cea de-a doua situație.
Pentru obținerea soluției finale,
soluția inequației ce conține modul,
deci soluția inequației date, practic,
se face prin reuniunea, iar foarte
important, mulțimilor M1 și M2.
Pentru o cât mai bună
înțelegere a celor mai sus comentate, o să dau câteva
exemple. Astfel, exemplul 1.
Să se rezolve inequația. Modul de x²
minus 5x plus 6, mai mic decât 2.
În primă etapă, explicitarea modului.
Modul de x² minus 5x
plus 6 va fi
x² minus 5x plus 6 dacă x² minus
5x plus 6 este mai mare sau egal decât 0,
respectiv minus x²
minus 5x plus 6 dacă
x² minus 5x plus 6 este mai mic decât 0.
În aceste condiții, va aduceți aminte,
rezolvăm equația de gradul al doilea,
equație care în acest moment are delta
calculat 1,
pozitiv, am rădăcini reale distinte,
rădăcinile în cazul meu calculate
2, respectiv 3.
Așa cum vă aduceți aminte din lecția precedentă,
când a egal cu 1, care e
pozitiv, deci are plus, când delta
este mai mare decât 0, înțeleg de fapt că
între rădăcini am semn contrar
lui a, în cazul nostru minus, în afara
rădăcinii avem semnul lui a.
Astfel, în condițiile date,
modul de x² minus 5x plus 6
va fi x² minus 5x plus 6
dacă, deci mă interesează mai mare
sau egal, practic mă interesează plus.
Și atunci e în afara rădăcinii.
Și atunci am x²
minus 5x plus 6, cum spuneam,
dacă x aparține minus infinit 2,
prima rădăcină, reunit cu 3
plus infinit, 3
fiind a doua rădăcină.
În a doua situație voi avea minus x²
plus 5x minus 6 dacă x
aparține lui 2, 3, intervalului 2, 3,
practic între rădăcini semn
contrar, în condițiile în care aici mă interesa
mai mic decât 0.
Fiecare din aceste două situații le-am notat
cu steluță 1, respectiv steluță 2,
situații care urmează a fi rezolvate.
Practic, situația 1
pentru x aparține intervalului minus infinit 2
reunit cu 3 plus infinit, avem
x² minus 5x plus 6
mai mic decât 2.
Așa era
în ecuația inițială dată.
De aici, evident, rezolvare. Se trece 2 în partea
cealaltă cu semn schimbat, deci în partea stângă,
obținând astfel x² minus
5x plus 4. Ecoația
corespunzătoare în ecuații obținute,
delta e 25 minus 16, iar spun pozitiv
rădăcini reale și distincte,
x1 calculat este
5 minus 3, 2 pe 2, 1,
x2 calculat, 5 plus 3 supra 2,
4. În aceste condiții
am a egal cu 1 pozitiv, deci am plus.
Am delta pozitiv.
Între rădăcini, semn contrar, minus,
în afara rădăcinilor, semnului a, plus.
Pe mine mă interesează în ecuația noastră
mai mic, deci semnul minus.
Înțeleg că
x-ul aparține intervalului
1, 4 deschis pentru că nu am și
egal. Soluția M1
se obține, așa cum spuneam, prin intersectarea
domeniului variabile x,
domeniul fiind acesta,
și soluția obținută, soluția fiind
aceasta. Astfel,
M1 va fi egal cu minus infinit
2 reunit cu 3 plus infinit
intersectat cu 1, 4, așa cum am
spus, domeniul, respectiv soluția.
M1 în acest caz va fi 1, 2
deschis la 1, închis la 2
reunit cu 3
4, unde 3
închis, 4 deschis.
Cea de-a doua situație
este discutată în continuare
înțelegând că pentru x
aparține lui 2, 3, deci a doua situație
2, 3. Intervalul deschis
2, 3. Avem minus x
pătrat plus 5x minus 6
mai mic decât 2. La fel, minus
2 se duce în partea cealaltă cu semn schimbat
minus x pătrat plus 5x minus 6
minus 2 mai mic decât 0
calcul minus x pătrat plus 5x
minus 8. Înmulțesc inequația cu minus 1
și obțin x pătrat minus 5x
plus 8, mai mare de această
dată decât 0. Vă reamintesc că
înmulțirea unei inequații cu minus 1 presupune a schimbarea
semnelor și sensul lui inegalități.
Equația corespunzătoare
este rezolvată, 25 minus
32. Negativ, înțeleg că
x1 și x2 nu aparțin numelor
reale, deci nu avem soluții reale.
Pentru că nu avem soluții
reale, vă reamintesc că graficul nu
atingea axa OX și atunci
pentru A pozitiv
și delta negativ, semnul
pe care îl prezenta
funcția corespunzătoare
în ecuație dată era
plus peste tot, adică PR.
Practic, x
aparține mulțim real. În acest caz
soluția N2 se obține prin
intersectarea domeniului, iar spun
domeniul, în acest caz, 2,3
și soluția obținută
în acest caz, x aparține lui R
Astfel, M2 va fi 2,3
intersectat cu R, în mod evident
M2 este 2,3
Până aici, înțeleg că M1 este
1,2
deschis la 1, închis la 2, reunit cu 3,4
închis la 3, deschis la 4
M2 este 2,3
deschis în ambele
capete. Astfel,
soluția finală, sau soluția în ecuație
ce conține modul, soluția în ecuație dată
inițială, este M
egal cu M1 reunit de această dată
cu M2
M1 reunit cu M2
soluție finală 1,4
Un al doilea exemplu pe care
vi-l propun este să se rezolve
în ecuația modul de x²-3x
plus 2 mai mic sau egal decât
x plus 7. Explicitarea este
x²-3x plus 2 dacă
x²-3x plus 2 este mai mare sau egal decât 0
respectiv x² plus 3x
minus 2 dacă x²-3x
plus 2 mai mic decât 0.
Ecoația corespunzătoare, delta
9 minus 8 mai mare decât 0
avem rădăcini reale și distincte
x12 va fi minus b plus minus
radical din delta supra 2a
înțelegând de aici minus minus 3, deci 3
plus minus radical din 1, deci 1 supra 2a
2 ori 1, adică 2. Astfel,
x1 va fi 3 minus 1 supra 2, adică
2 pe 2, 1. Respectiv
x2, 3 plus 1 supra 2, adică 4
supra 2, 2. În aceste
condiții, explicitarea modulului
x²-3x plus 2 va fi x²-3x
plus 2 dacă x aparține
pentru că mă interesează mai mare
mă interesează în afara rădăcinelor, aul fiind
pozitiv, delta fiind pozitiv
soluția pentru mai mare
sau egal este în afara rădăcinilor. Și atunci
x aparține lui minus infinit 1
reunit cu 2 plus infinit, închis
la 1 și la 2 pentru că avem și egal,
respectiv, minus x² plus 3x
minus 2 dacă x aparține în interiorul
rădăcinilor, în cazul meu
deschis, pentru că avem strict
mai mic. Astfel, prima situație
comentată va fi cea în care
x aparține intervalului minus infinit 1
reunit cu 2 plus infinit. În aceste
condiții, inequația noastră devine
x²-3x plus 2
sunt pe situație aceasta, mai mic sau
egal decât x plus 7. Se trec toți
termenii în partea stângă cu semn schimbat. Astfel,
x²-3x plus 2 minus x
minus 7, mai mic sau egal decât 0.
Rezolvăm, evident, și atunci avem x²
minus 4x minus 5
mai mic sau egal decât 0. Ecoația
corespunzătoare x²-4x-5
egal cu 0. Delta va fi 16
plus 20, adică 36
iar pozitiv, rădăcire are și distinte
x¹-2 va fi minus b
deci 4, plus minus radical din delta
deci 6, supra 2 a
2. Înțeleg de aici că x¹ va fi
4 minus 6 minus 2 supra 2
deci minus 1. x² va fi
4 plus 6, 10, supra 2
5. Pentru că mă interesează
semn mai mic sau egal, înțeleg că mă interesează
semn contrarului a. Semn contrarului a
între rădăcini, în condițiile în care
a-ul este 1 și e pozitiv.
Astfel, x aparține intervalului
minus 1, 5. Deci m1
este minus infinit 1 reunit cu
2 plus infinit intersectat cu
minus 1, 5, închis
în minus 1, respectiv 5.
m1, în aceste condiții, va fi
minus 1, 1 reunit
cu 2 și 5.
Cea de-a doua situație, pentru x
aparține intervalului 1, 2 deschis la 1
deschis la 2, avem minus x²
plus 3x minus 2, mai mic sau egal decât x
plus 7. Se trec toți termenii în partea stângă
cu semn schimbat, obținând astfel
minus x² plus 3x minus 2
minus x minus 7, mai mic sau egal
decât 0. Rezolvăm
minus x², 3x minus x
2x, minus 2 minus 7
minus 9, mai mic sau egal decât 0.
Înmulțesc în ecuația cu minus 1, obțin astfel
în ecuația x²
minus 2x plus 9, mai mic sau egal
decât 0. Ecoația
corespunzătoare, x² minus 2x plus 9
egal cu 0, delta egal cu 4
minus 36, negativ, înțelegând că x1
x2 nu aparține lui r, dar
pentru că aul este pozitiv
se află deasupra axei și întotdeauna
va fi pozitiv. În condițiile astea
x aparține lui r, este soluția
acestei inequații. Astfel
1, 2, vă reamintesc, era
domeniul
r
era soluția.
În aceste condiții, m2 va fi
1, 2. Deci soluția
inequației date este m
egal cu m1 reunit cu m2.
m este minus 1, 1 reunit cu 2, 5
acesta fiind m1
reunit cu 1, 2
acesta fiind m2. În aceste
condiții, soluția inequației date va fi m
egal cu minus 1
până la 5. 1, 2 a completat
celipsea din acest interval.