Ecuații de gradul întâi cu două necunoscute

În această secvență ne vom ocupa de ecuații de gradul întâi cu două necunoscute.

Care este forma unor asemenea ecuații?

Avem această formă a ori x adunat cu b ori y adunat cu c egal 0,

unde a, b și c sunt toate numere reale, iar x și y parcurg și ele mulțimea numerelor reale.

Ce avem aici? Este o ecuație de gradul întâi cu două necunoscute?

E clar că are două necunoscute. Necunoscutele sunt x și y.

De ce se numește ecuație de gradul întâi?

Pentru că necunoscutele, cel mai mare exponent la care se află necunoscutele este 1.

Avem aici x la întâia și y la întâia.

Și avem acest exemplu, 2x adunat cu 3y minus 7 egal 0, unde x și y sunt numere reale.

Care este mulțimea soluțiilor acestei ecuații?

Sau să întreb altfel, câte soluții credeți că avem?

Păi avem o infinitate de soluții, pentru că ori de câte ori îi dăm o valoare lui x,

vom obține o valoare pentru y.

Și ca să fie mai clar acest lucru, iată, putem să îl exprimăm pe y în funcție de x.

Mai întâi, haide să separăm pe 3 ori y de restul termenilor.

Și avem aici 3y cu cât este egal?

Păi trecem pe 7 peste egal cu semn schimbat, deci ne dă pe minus 7 și ne dă 7.

Aici avem 2x, peste egal vom avea minus 2x.

Și acum, ca să îl obținem pe y, împărțim la 3 această relație și vom avea că y se scrie 7 supra 3 minus 2 supra 3 înmulțit cu x.

Deci l-am exprimat pe y în funcție de x.

Și acum e clar că ori de câte ori dăm o valoare reală lui x, vom obține o valoare reală pentru y.

Și acum, cum x ia o infinitate de valori, înseamnă că și y ia tot o infinitate de valori, deci avem o infinitate de soluții.

Și chiar haide să facem un tabel de valori ca la funcții să găsim câteva din soluțiile acestei ecuații.

Trecem aici x și aici y.

Și să-i dăm lui x câteva valori, de exemplu să-i dăm valoarea minus 1.

Cât este atunci y?

Păi dacă x este egal cu minus 1, atunci y cu cât va fi egal?

Înlocuim aici, în loc de x trecem minus 1 și avem 7 supra 3.

Da, primul termen, minus 2 supra 3 înmulțit cu x care este minus 1.

Și cât vom avea?

Păi minus ori minus ne dă plus, deci aici vom avea plus 2 supra 3, deci obținem 7 adunat cu 2 totul supra 3.

Cu alte cuvinte nu o împărțim la 3, adică 3.

Și trecem aici 3.

Să dăm o altă valoare lui x, de exemplu 2.

Dacă x este egal cu 2, atunci y va fi egal cu, avem aici în loc de x trecem 2.

Deci avem 7 supra 3, din care scădem 2 supra 3 înmulțit cu 2.

Și vom avea linie de fracție, aici avem 2 ori 2, 4, deci vom obține 4 supra 3 și aici 7 pe 3, deci 7 minus 4 totul supra 3 ne dă 3 supra 3, 1.

Trecem aici 1.

Și să mai luăm încă o valoare pentru x, să considerăm că x este egal cu, haideți să trecem mai întâi aici, 1 supra 2, 1 supra 2.

Dacă x ne dă 1 pe 2, atunci y va fi egal cu 7 supra 3 minus 2 supra 3 înmulțit cu x care e 1 pe 2.

Și observăm că aici putem să simplificăm pe 2 și 2 prin 2 ne dă 1 și 1, cu alte cuvinte ne dă 1 pe 3, 7 minus 1 totul supra 3, să notăm aici 7 minus 1 totul supra 3 înseamnă 6 supra 3, adică 2.

Și avem aici 2.

Acum nu putem scrie toate soluțiile pentru că avem o infinitate de soluții, de aceea cel mai bine este să reprezentăm grafic soluțiile unei asemenea ecuații.

Și vom începe prin a reprezenta aceste 3 puncte pe care le-am obținut și să trecem coordonatele obținute, avem minus 1 și 3, notăm aici minus 1 și 3, următoarele coordonate sunt 2 și 1 și apoi avem 1 supra 2 și 2 și le reprezentăm într-un sistem de coordonate.

Trecem aici minus 1 și 3, deci minus 1 și acum haideți să trecem pe 3, avem aici 1, 2 și 3, punctul de coordonate minus 1 și 3 este acesta.

Apoi punctul de coordonate 2 și 1, aici este 1, aici este 2, aici îl avem pe 1, găsim punctul și ultimul punct 1 pe 2 și 2, aici îl avem pe 1, deci aici este 1 supra 2, adică 0,5, aici este 2 și iată aceste 3 puncte.

Cum sunt aceste 3 puncte? Păi ele sunt puncte coliniare, chiar putem să trasăm dreapta determinată de ele.

Acum orice altă soluție am găsit pentru această ecuație, adică o pereche de numere, cum am notat aici, atunci punctul care va avea coordonatele respective se va situa pe această dreaptă.

Și putem să luăm încă un exemplu ca să ne convingem, dacă îi dăm lui X valoarea 3, păi haide să trecem aici, îi dăm lui X valoarea 3, chiar haide să prelungesc și această dreaptă, deci i-am dat lui X valoarea 3, cât este acum Y?

Mutăm ce avem și îi dăm, cum am spus lui X, valoarea 3. Ce rezultă? Că Y va fi 7 supra 3, minus 2 supra 3, înmulțit cu 3. Și vom avea aici 6 pe 3, deci avem 7 minus 6, totul supra 3 și rezultatul este 1 supra 3.

Păi punctul de coordonate 3 și 1 pe 3, pe care iată îl trec aici, pentru că este soluție a acestei ecuații, 3 și 1 supra 3, se află pe această dreaptă, haide să îl trecem.

Deci dacă avem abscisa a 3, aici este 3 și coordonata 1 supra 3, 1 supra 3 cam pe aici, 1 pe 3 și trasăm, găsim acest punct.

Păi iată că acest punct de coordonate 3 și 1 pe 3, care verifică ecuația noastră, se află chiar pe această dreaptă. Deci mulțimea soluțiilor ecuației 2X plus 3Y minus 7 egal 0 se reprezintă printr-o dreaptă.

Evident că aici nu am demonstrat rigoros, ci am dat o explicație mai mult intuitivă, ca să înțelegeți că, de fapt, mulțimea soluțiilor unei asemenea ecuații este o dreaptă.

De aceea, dreapta obținută, deci această dreaptă, se numește dreapta de ecuație 2X plus 3Y minus 7 egal 0 și chiar putem să notăm aici 2X plus 3Y minus 7 egal 0.

Și chiar putem să scriem pe această dreaptă și ecuația ei. Cu alte cuvinte, când mi se dă o ecuație de gradul 1 cu 2 necunoscute, deci o ecuație de această formă, a ori X plus b ori Y plus c egal 0, mulțimea soluțiilor unei asemenea ecuații se reprezintă printr-o dreaptă, iar acea dreaptă se numește dreapta de ecuație aX plus bY plus c egal 0.

Să reprezentăm acum geometric mulțimea soluțiilor acestei ecuații 2X minus Y plus 5 egal 0.

Ca să ne fie mai simplu, haideți să le exprimăm pe Y în funcție de X. Sigur, putem să facem și invers, să le exprimăm pe X în funcție de Y, oricare variantă este corectă.

Dar, dacă îl scriem pe Y în funcție de X, atunci, de fapt, să trecem pe Y peste egal cu semn schimbat și vom avea că Y este 2 ori X adunat cu 5.

Și acum, haideți să facem tabelul de valori.

De câte valori avem nevoie, de vreme ce știm deja că mulțimea soluțiilor acestei ecuații este reprezentată printr-o dreaptă.

Păi, o dreaptă determinată de două puncte înseamnă că avem nevoie de două valori.

Asta înseamnă că îi dăm lui X două valori.

Și să luăm, de exemplu, numerele 0 și minus 1.

Putem să trecem ce valori dorim, pentru că X și Y sunt numere reale, parcurg mulțimea numerelor reale.

Dacă X este 0, atunci Y cu cât este egal?

Avem 2 ori 0 adunat cu 5 ne dă 5.

Deci, trecem aici 5.

Dacă X este minus 1, atunci Y va fi egal cu 2 ori minus 1 adunat cu 5.

Asta înseamnă 3.

Deci, avem punctele de coordonate 0 și 5.

Și al doilea punct de coordonate minus 1 și 3.

Și haide să le trecem aici.

0 și 5.

Trecem 5 pe axa Y.

1, 2, 3, 4 și aici îl avem pe 5.

Acesta este punctul de coordonate 0 și 5.

Minus 1 și 3.

Aici este minus 1.

Aici avem 1, 2, 3.

Și, iată, avem acest punct.

Dreapta care este determinată de aceste două puncte.

Haideți să o trasăm.

Iată.

Aceasta este dreapta.

Chiar o să o prelungesc ca să aibă unde să scriem.

Aceasta este dreapta de ecuație.

Să notăm.

În ultima problemă vrem să arătăm că dreptele care au aceste ecuații

sunt concurente în punctul de coordonate 2 și 0.

Deci, ni se dau două drepte.

Haideți să le notăm de indice 1.

Trecem mai întâi numele dreptei urmat de două puncte

și apoi scriem ecuația

Vrem să arătăm că aceste două drepte

sunt concurente în punctul de coordonate 2 și 0.

Ce înseamnă drepte concurente?

Două sau mai multe drepte sunt concurente

dacă ele au un singur punct în comun.

De exemplu, aceste două drepte sunt concurente

singurul lor punct comun este acesta.

Ca să arătăm că d1 și d2 sunt concurente în punctul

care are aceste coordonate,

ce avem de făcut?

În primul rând trebuie să arătăm că acest punct

se află pe ambele drepte.

Deci, arătăm că punctul de coordonate 2 și 0

aparține dreptei d1,

dar el aparține și dreptei d2.

Această condiție este suficientă

pentru a arăta că dreptele sunt concurente?

Nu, pentru că e posibil ca cele două drepte

să fie și suprapuse.

Aici arătăm doar că un punct este comun

celor două drepte, dar putem avea și situația

în care dreptele au infinitate de puncte în comun

de cele sunt suprapuse.

Ca să evităm acest lucru, arătăm că dreptele

de indice 1 și de indice 2 sunt drepte distincte.

Deci, două drepte distincte cu un punct în comun

înseamnă că avem drepte concurente.

Cum arătăm că punctul de coordonate 2 și 0

aparține dreptei d1?

Păi, acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă

înlocuindu-l pe x cu 2 și pe y cu 0

vom obține o relație adevărată.

Deci, minus 2 înmulțit cu x e 2

minus y e 0

plus 4 egal 0.

Este această relație adevărată?

Păi, calculăm.

Avem aici minus 4 minus 0, deci minus 4 cu 4, 0.

0 egal cu 0 adevărat.

Deci, această relație e îndeplinită.

Același lucru îl facem și aici.

Echivalent cu, dacă x este 2

și y este 0

minus 2 egal 0.

Avem relație adevărată?

Sigur, avem tot 0 egal cu 0.

Deci, am arătat că acest punct cu aceste coordonate

se află și pe dreapta d1 și pe dreapta d2.

Cum arătăm că cele două drepte sunt diferite?

Păi, putem să găsim un punct care aparține dreptei d1

și nu aparține dreptei d2 sau invers.

Haideți să ne uităm mai întâi la dreapta d2.

E mai ușor să găsim un punct care e pe această dreaptă.

Avem coeficienți mai mici.

Iată, dacă îi dăm lui x valoarea 1 și lui y tot valoarea 1

vom obține o relație adevărată.

Deci, punctul de coordonate 1 și 1

aparține dreptei d2

pentru că

să înlocuim pe x și pe y cu 1.

Avem 1 plus 1 minus 2

ne dă 0.

Avem o relație adevărată.

Deci, e echivalent cu 0 egal cu 0 adevărat.

Acest punct de coordonate 1 și 1

aparține oare și dreptei d1?

Păi, haideți să verificăm.

Îi dăm lui x valoarea 1

iar lui y tot valoarea 1.

Și avem

minus 2 înmulțit cu 1

minus 1

plus 4

egal 0.

Echivalent cu, aici obținem așa

minus 3 cu 4 ne dă 1.

Echivalent cu 1 egal cu 0.

Cum e această relație?

Falsă.

Deci, acest punct de coordonate

minus, de coordonate, pardon, 1 și 1

nu aparține dreptei d1

pentru că, iată, avem această relație.

Deci, am arătat că dreptele sunt distincte.

Ele au ca punct comun

punctul de coordonate 2 și 0

și acest punct este unic.

Deci, vorbim de drepte concurente.