Relațiile lui Viete

În această lecție o să discutăm despre relațiile lui Viet și despre natura și semnul rădăcinilor ecuației de gradul al doilea.

François Viet a fost un matematician francez care a avut contribuții importante în algebră.

El a găsit o legătură între soluțiile ecuației de gradul al doilea și coeficienții acesteia.

Vă reamintesc că forma generală a unei ecuații de gradul al doilea este ax pătrat plus bx plus c egal cu 0,

unde a, b și c sunt numere reale cu a diferit de 0.

S-a notat cu delta discriminantul ecuației, acesta este b pătrat minus 4ac.

În cazul în care delta este pozitiv, ecuația admite două rădăcini reale și anume x1 egal cu minus b minus radical din delta supra 2a și x2 egal cu minus b plus radical din delta supra 2a.

În continuare o să deducem relațiile lui Viet, acestea se referă la suma și produsul celor două rădăcini ale ecuației de gradul al doilea,

așadar vom calcula mai întâi suma rădăcinilor x1 plus x2.

Și avem minus b minus radical din delta supra 2a plus minus b plus radical din delta supra 2a.

Pentru că fracțiile au același numitor, vom aduna numărătorii și avem minus b minus radical din delta minus b plus radical din delta supra 2a.

Se reduce minus radical din delta cu plus radical din delta și obținem minus 2b supra 2a.

Se simplifică 2 cu 2 și în final obținem minus b supra a.

Să reținem așadar această formulă x1 plus x2 este egal cu minus b supra a.

Aceasta este prima relație al lui Viet, iar pentru a găsi a doua relație al lui Viet vom exprima produsul rădăcinilor x1 ori x2.

Și avem minus b minus radical din delta supra 2a totul pe lângă minus b plus radical din delta supra 2a.

Egal la numărător aplicăm o formulă de calcul prescriptat a minus b pe lângă a plus b este egal cu a la a doua minus b la a doua.

Așadar la numărător vom avea minus b la pătrat minus radical din delta la pătrat totul supra 4a la a doua.

Egal cu b la a doua minus delta supra 4a la pătrat.

Însă b la a doua minus delta este egal cu 4ac.

Iată dacă ne uităm la această relație avem b pătrat minus 4ac egal cu delta.

Prin urmare b pătrat minus delta este egal cu 4ac.

Așadar la numărător vom scrie 4ac supra 4a pătrat.

Se simplifică 4 cu 4 și a și obținem în final c supra a.

Așadar cea de-a doua relație al lui Viet x1 or x2 egal cu c supra a.

Aceste formule ne permit să calculăm suma și produsul rădăcinilor ecuației de gradul al doilea fără să cunoaștem rădăcinile.

Așadar este important să reținem cele două relații ale lui Viet.

Iată-le x1 plus x2 este egal cu minus b supra a și x1 or x2 egal cu c supra a.

Să vedem un exemplu concret.

Avem următoarea ecuație de gradul al doilea 4x pătrat minus 3x minus 1 egal cu 0.

Haideți să scriem relațiile lui Viet pentru această ecuație.

Mai întâi este foarte important să cunoaștem coeficienții acesteia.

A este coeficientul x la a doua adică 4.

B este coeficientul x adică minus 3.

C este termenul liber minus 1.

Așadar prima relație al lui Viet x1 plus x2 va fi egal cu minus b supra a minus minus 3 supra 4.

Egal cu 3 pe 4.

Iar x1 or x2 este egal cu c supra a și egal cu minus 1 supra 4.

Aceste formule sunt importante deoarece ele ne permit să formăm ecuația de gradul al doilea atunci când se cunosc rădăcinile.

O să vedem imediat cum putem face acest lucru.

O să mai scriu încă o dată forma generală a unei ecuații de gradul al doilea.

A x pătrat plus b x plus c egal cu 0 unde a este diferit de 0.

În continuare ne propunem să găsim o modalitate prin care putem să formăm ecuația de gradul al doilea atunci când se cunosc rădăcinile.

Pentru aceasta vom împărți această ecuație la a unde a este diferit de 0.

Și avem a x pătrat supra a plus b x supra a plus c supra a egal cu 0.

0 supra a este 0.

Aici se simplifică a și ne rămâne x la a doua plus b supra a x plus c supra a egal cu 0.

Care se mai poate scrie x la a doua minus minus b supra a x plus c supra a egal cu 0.

Dar minus b supra a este suma rădăcinilor ecuației din relațiile lui Viet iar c supra a este produsul rădăcinilor.

Așadar ecuația de gradul al doilea se va scrie x la a doua minus s x plus p egal cu 0.

Prin urmare, atunci când se cunosc rădăcinile ecuației de gradul al doilea, calculând suma acestora și produsul, putem să găsim ecuația de gradul al doilea.

Să vedem un exemplu.

Să presupunem că avem o ecuație de gradul al doilea cu rădăcinile x1 egal cu 1 și x2 egal cu 2.

Se cere să formăm ecuația ce admite ca rădăcinii aceste două numere reale.

Pentru aceasta vom calcula mai întâi suma și produsul lor.

Suma rădăcinilor este egală cu x1 plus x2 și egal cu 3, iar produsul este x1 or x2 și egal cu 2.

Prin urmare, ecuația de gradul al doilea se va scrie x la a doua minus 3x plus 2 egal cu 0.

Această ecuație va avea rădăcinile x1 egal cu 1 și x2 egal cu 2.

În continuare vom discuta despre natură și semnele rădăcinilor ecuației de gradul al doilea.

În cazul în care delta este mai mare sau egal cu 0, atunci ecuația de gradul al doilea admite rădăcini reale.

Dacă însă delta este negativ, atunci nu avem rădăcini reale, așadar avem rădăcini nereale.

Atunci când vorbim despre rădăcini reale sau nereale, ne referim de fapt la natura lor.

În continuare considerăm delta mai mare sau egal cu 0 și ne propunem să găsim niște reguli

care ne permit să stabilim semnul rădăcinilor ecuației de gradul al doilea fără a rezolva ecuația.

Și pentru aceasta voi scrie niște exemple.

În primul exemplu să presupunem că avem o ecuație de gradul al doilea

având rădăcinile x1 egal cu minus 1 și x2 egal cu 3.

Haideți să calculăm suma și produsul acestora.

Suma este egală cu 2, deci mai mare ca 0, iar produsul este minus 3, deci negativ.

Observăm așadar că atunci când produsul rădăcinilor este negativ, rădăcinile vor avea semne contrare.

Așadar una dintre soluții este negativă și cealaltă pozitivă, însă din moment ce suma acestora este pozitivă,

înseamnă că modulul rădăcinii negative este mai mic decât rădăcina pozitivă.

Iată, modul din minus 1 este 1, iar 1 este mai mic decât 3.

Încercăm în continuare să găsim și alte reguli care ne permis să stabilim semnul rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

pornind de la semnul sumei și al produsului.

Un alt exemplu, avem rădăcinile x1 egal cu 5 și x2 egal cu 2.

Să calculăm suma și produsul.

Suma este 7, deci pozitivă, iar produsul este 10, mai mare ca 0.

În cazul în care produsul a două numere reale este pozitiv, înseamnă că cele două numere reale au același semn.

Iar din moment ce suma acestora este pozitivă, înseamnă că cele două numere sunt pozitive,

deci x1 este mai mare ca 0 și x2 este mai mare ca 0.

Un alt exemplu, avem rădăcinile x1 egal cu minus 3 și x2 egal cu minus 2.

Suma acestora este minus 5, negativă, iar produsul este 6, pozitiv.

Dacă produsul este pozitiv, atunci cele două rădăcini au același semn.

Și din moment ce suma acestora este negativă, înseamnă că cele două numere sunt negative,

deci x1 este mai mic ca 0 și x2 este mai mic ca 0.

Și un alt patrule exemplu, avem rădăcinile x1 egal minus 3 și x2 egal cu 2.

În această situație, suma este minus 1, negativă, iar produsul este minus 6, negativ.

Dacă produsul este negativ, rădăcinile vor avea semne contrare.

Iar din moment ce suma este negativă, înseamnă că modulul rădăcinii negative este mai mare decât rădăcina pozitivă.

Iată, modul din minus 3 este 3, iar 3 este mai mare ca 2.

Am găsit așadar niște reguli care ne permit să stabilim semnul rădăcinilor ecuației de gradul al doilea,

pornind de la semnul sumei și al produsului.

Ca să reținem aceste reguli mai ușor, le putem sintetiza într-un tabel.

Iată, avem următoarele situații posibile.

Dacă produsul este pozitiv, atunci rădăcinile au același semn.

Mai exact, dacă suma acestora este pozitivă, atunci ambele rădăcini sunt pozitive, iar dacă suma este negativă, ambele rădăcini sunt negative.

În cazul în care produsul este negativ, atunci rădăcinile vor avea semn contrar.

Dacă suma este pozitivă, atunci modulul rădăcinii negative este mai mic decât a doua rădăcină,

iar dacă suma este negativă, atunci modul din x1 va fi mai mare decât x2.

Putem avea și următorul caz particular.

Dacă suma este egală cu 0, atunci cele două rădăcini vor avea semne contrare.

Mai exact, x1 este egal cu minus x2, deci avem două numere reale opuse.

Iar dacă produsul este egal cu 0, atunci fie x1 este egal cu 0, fie x2 este egal cu 0.

Să vedem un exemplu.

Avem următoarea ecuație de gradul al doilea, 5x pătrat plus 14x minus 3 egal cu 0.

Cerința este să stabilim natura și semnul rădăcinilor acestei ecuații, fără a rezolva ecuația.

Pentru a stabili natura rădăcinilor, trebuie să verificăm dacă avem rădăcini reale sau nereale.

Pentru aceasta, vom calcula discriminantul ecuației.

Delta este egal cu b pătrat, adică 14 la pătrat, minus 4 ori 5 ori minus 3.

Și avem 196 plus 4 ori 5, 20 ori 3, 60 egal cu 256.

Așadar delta este mai mare ca 0, prin urmare avem două rădăcini reale.

Și acum, pentru a stabili semnul rădăcinilor fără a rezolva ecuația,

vom calcula suma și produsul acestora folosind relațiile lui Viet.

Suma rădăcinilor este egală cu x1 plus x2 și conform relațiilor lui Viet,

aceasta este egală cu minus b supra a, egal cu minus 14 supra 5,

deci suma rădăcinilor este negativă,

iar produsul acestora, x1, x2, este egal cu c supra a și egal cu minus 3 supra 5.

Deci iată că și produsul este negativ.

Prin urmare suntem în ultima situație, produsul negativ, suma negativă.

Așadar, cele două rădăcini vor avea semne contrare.

x1 este mai mic ca 0, x2 este mai mare ca 0 și putem să mai precizăm că modul din x1 este mai mare decât x2.