Inecuații de gradul I

În această lecție vom continua recapitularea ecuațiilor și inequațiilor de gradul 1.

Și mai clar, vom face referire la inequațiile de gradul 1.

Forma generală a inequațiilor de gradul 1 este dată de ax plus b mai mare ca 0,

ax plus b mai mare sau egal decât 0, ax plus b mai mic decât 0,

respectiv ax plus b mai mic sau egal decât 0,

unde, în mod evident, a este diferit de 0,

respectiv a și b sunt numere reale.

În practică, variabila x este, în realitate, delimitată la stânga sau la dreapta

de valoarea minus b supra a.

Vă reamintesc că minus b supra a era soluția ecuației de gradul 1.

Adică, atunci când în ecuație apare semnul mai mare sau semnul mai mare sau egal,

se face referire la valorile pe care variabila x le poate avea în dreapta valorii minus b supra a.

Atunci când în ecuație apare semnul mai mic sau mai mic sau egal,

se face referire la valorile pe care variabila x le poate avea în stânga valorii minus b supra a.

Astfel că, dacă propun spre rezolvare în ecuația ax plus b mai mare decât 0,

în realitate, înțeleg de fapt că ax va fi mai mare decât minus b,

respectiv x-ul mai mare decât minus b supra a.

Astfel, în această situație, în situația rezolvării în ecuație,

se așteaptă ca rezultat un interval.

În cazul de față, un interval deschis.

Și vedeți, minus b supra a plus infinit.

În cazul în care îmi propun să rezolv ax plus b mai mare sau e egal decât 0,

pe exact același principiu de rezolvare,

voi obține intervalul închis de această dată la minus b supra a plus infinit.

Închis, spuneam, din cauza faptului că în ecuație apare semnul mai mare sau egal.

Din cauza egalului.

Pentru o înțelegere cât mai exactă,

reprezentăm pe axea reală valoarea minus b supra a

și mă interesează, în mod cert,

valorile pentru care x sunt mai mari decât acest minus b supra a.

Mai clar, valorile din dreapta lui minus b supra a.

Așa cum este evidențiat cu albastru pe axea reală.

Un aspect important este că intervalul închis,

exprimat în a doua situație a inequației,

va atrage de la sine că

intervalul soluției a inequației va conține

și valoarea minus b supra a.

În cazul în care ne propunem să rezolvăm

inequația ax plus b mai mic decât 0,

la fel ax mai mic decât minus b,

adică x mai mic decât minus b supra a,

rezultatul sau soluție a inequației

este intervalul x.

Aparține intervalului, așa cum vedeți,

minus infinit minus b supra a,

interval deschis.

După cum observați, vorbim de valorile din stânga

valorii minus b supra a,

fără ca ea să fie conținută în intervalul soluției.

Același aspect, dar de această dată

cu mai mic sau egal,

va avea drept rezultat, drept soluție.

Intervalul minus infinit minus b supra a,

de această dată, așa cum spuneam,

închis la minus b supra a.

La fel, pe axa reală, evidențiată

partea din stânga valorii minus b supra a,

adică pentru x mai mic decât minus b supra a,

evidențiată așa cum ne-am obișnuit

cu albastru,

și mai clar, situația în care

este conținută și valoarea minus b supra a,

adică în intervalul închis, situația în care

în ecuația noastră conține semnul

mai mic sau egal.

Pe exemplu, dat în lecția precedentă,

cel cu tricourile, puteți interpreta că

în cazul inequațiilor, prețul de

45 de ron pentru 3 tricouri

este, sau nu, depășit.

Este depășit când vorbim de valoare din dreapta

și nu este depășit,

deci se limitează la acea valoare, pentru

valoarele din stânga. Astfel că, pe prima

situație, vorbim de

preț depășit, mai clar, prețul

unui produs, unui tricou

în cazul nostru va fi mai mare de

15 ron, și a doua situație,

în mod evident, situația în care

nu este depășit prețul, deci

prețul va fi mai mic decât 15

ron pentru un tricou.

Propun în continuare un exemplu

în care vi se cere sau

ni se cere să rezolvăm inequația

x plus 4 mai mare decât minus 2x plus 3.

Pentru rezolvarea inequațiilor,

raționamentul de rezolvare se aseamănă

foarte mult cu cel utilizat la equații.

Singura diferență constă în tipul de

rezultat obținut. Mai clar,

equațiile au drept rezultat o rădăcină,

adică o valoare,

inequațiile au drept rezultat un interval.

Astfel că, în equația propusă

spre rezolvare, și anume x plus 4

mai mare decât minus 2x plus 3

va atrace de la sine, așa cum ne-am obișnuit

de la equații, separarea termenilor

ce conțin necunoscuta x în partea

stângă și termenii

ce nu conțin variabila x în partea

dreaptă. Astfel că x-ul

rămâne la locul lui și își

păstrează semnul. Minus 2x vine din

dreapta în stânga cu semn schimbat,

deci a venit plus 2x. Pe exact

același principiu, 3-ul a rămas la locul lui,

minus 4 a venit cu semn schimbat.

Astfel că obțin 3x mai mare

decât minus 1, ceea ce înseamnă fără doar

și poate că x-ul este mai mare decât minus

1 pe 3. Astfel că soluția

în equație date va fi

intervalul deschis minus 1 pe 3

plus infinit. Dacă în loc

de mai mare aveam mai mare sau egal

în exemplu precedent, am fi obținut

intervalul închis minus 1 pe 3

plus infinit cu, în mod evident,

raționamentul de calcul

același urmat ca

în exemplu precedent. Propunem

în continuare un alt exemplu,

exemplu probabil sau puțin mai complicat,

sensul în care

va atrage de la sine și

desfacerea unei paranteze și

separarea terminului așa cum ne-am obișnuit,

și anume 4 pe lângă 6 minus x

mai mare sau egal decât 3

pe lângă x minus

13

și atunci se desfac

parantezele așa cum vă spunem, se obține

24 minus 4x mai mare

sau egal decât 3x minus 39

separăm termenii așa cum ne-am obișnuit

minus 4x minus 3x mai mare sau

egal decât minus 39 minus 24

adică minus 7x

mai mare decât minus 63.

De ce acest exemplu? Pentru că

prezintă o situație specifică

și clară în cazul inecoaților

și anume, coeficientul

variabilei noastre, variabila x

este minus 7. Acesta este

un coeficient negativ. Acesta este motivul

pentru care suntem obligați

să înmulțim în ecuația noastră

cu minus 1 pentru a schimba

semnul, cum spuneam,

coeficientului variabilei noastre.

Ce înseamnă asta? Înseamnă două aspecte și anume

că se va înmulți cu

minus 1 atât minus 7

cât și minus 63

dar foarte, foarte important

are ca efect înmulțirea asta

schimbarea semnului, coeficientului, așa cum

ne-am propus, dar foarte, foarte important

va avea ca efect și schimbarea sensului

inegalității. Ce vreau să spun cu asta?

În acest moment, noi avem în inegalitate,

în inequație, mai mare sau egal.

Schimbarea sensului presupune transformarea

lui mai mare sau egal în mai mic

sau egal, adică,

așa cum spuneam, minus 7 se transformă în 7x

minus 63 se transformă

în 63, mai mare sau egal se va

transforma în mai mic sau egal.

Deci, atunci când, într-o inequație,

coeficientul variabilei pe care ne propunem

să o determinăm ca interval, ca soluție

va fi negativ, suntem obligați

să mulțim cu minus 1. Minus 1 asta

are ca efect totată schimbarea semnului

coeficientului sau coeficienților din inequație

și foarte important schimbarea sensului

inegalități. Astfel că

x-ul va fi mai mic decât 63x7

adică x-ul va fi mai mic sau egal decât

9. Deci soluția noastră va fi

intervalul minus infinit 9

închis la 9 din cauza egalului.

Un tip de equații ce derivă

din equații, respectiv inequații de gradul 1

sunt equațiile ce conțin

necunoscuta în modul. Este necesar

fără discuții să reamintesc

următorul aspect legat de modulul

sau valoarea absolută a unui

număr, și anume, modul de

a. Va fi a dacă a este pozitiv.

De exemplu, modul de 7.

7 este pozitiv, va avea ca rezultat 7.

Modul de 0

va avea ca rezultat 0 și

foarte important, modul de o valoare

negativă, deci dacă a este negativ,

rezultatul va fi minus acea valoare negativă.

Asta înseamnă că dacă am modul de

minus 7, acesta va fi minus minus 7.

Adică tot 7. Deci,

mai clar, modulul transformă

sau valoarea absolută transformă

în plus orice

valoare negativă sau pozitivă.

Astfel că, pe un exemplu,

ce conține necunoscuta în modul, voi avea

modul de x plus 2 va fi x plus 2

dacă x plus 2 este mai mare decât 0,

0 dacă x plus 2 este

egal cu 0, respectiv minus

x plus 2 dacă x plus 2 este mai mic decât 0.

Astfel că modul de x plus 2

va fi, de fapt, x plus 2 dacă x este

mai mare decât minus 2, ceea ce înseamnă

interval deschis minus 2 plus infinit.

0 dacă x este egal cu minus 2,

respectiv minus x minus 2

vedeți că am pus minus în fața parantezii,

schimbă semnele tuturor termenurilor din parantezi.

Așa cum spuneam, minus x minus 2

pentru x mai mic decât minus 2, deci x

aparține intervalului minus infinit minus 2.

O aplicație pe care

o propun în continuare sună cam așa.

Să se rezolve ecuația

modul de 6 minus x egal cu 2x

plus 3. Foarte important este

că trebuie să priviți rezolvarea acestei ecuații

pe etape. În prima etapă se face

fără doar și poate explicitarea modului.

Modulul, în cazul nostru, 6 minus x.

Acesta va fi 6 minus x dacă 6 minus

x este mai mare decât 0, va fi

0 dacă 6 minus x este egal cu 0,

respectiv minus 6 plus x.

Vedeți că am pus minus în fața

parantezei. Care va fi

minus 6 plus x pentru 6 minus x

mai mic decât 0. Foarte important

este că modulul nostru se va rezuma

sau va avea drept rezultat 6 minus x

pentru x mai mic decât 6.

Ce observați? Că minus x

are coeficient negativ.

M-a obligat, așa cum vă comentam mai sus, să

mulțesc cu minus 1. Ceea ce a tras de la sine

odată schimbarea semnelor, coeficienților

și foarte important

schimbarea sensului inegalității.

Deci mai mare s-a transformat în mai mic.

Continuăm. 0 dacă x este egal cu 6

respectiv x minus 6 dacă x este mai mare

decât 6. În etapa următoare

se rezolvă equația

inițială, equația dată, pe cele trei

situații apărute în urma explicitării

modulului la etapa 1.

Astfel că în situația în care

mi-am propus

să discut pentru x aparține lui

6 plus infinit,

modulul nostru devenea

x minus 6

în situația în care

discutăm pentru x egal cu 6

modulul nostru devenea 0

respectiv situația 3, situația în care

discutăm pe x aparțin intervalului minus infinit 6

modulul nostru devenea 6

minus x. Se motivează

astfel următoarea etapă și anume

sub formă de tabel.

Redactarea rezolvării este la îndemâna

oricui și mi se pare cât se poate

de reprezentativă așa cu tabel.

Și anume, pe primul rând

al tabelului se trec valorile lui x,

valorile, intervalele în care

acesta se desfășoară și pe a doua

linie, sau pe al doilea rând

ecuația noastră. Astfel că

au apărut valorile minus infinit 6

respectiv plus infinit pentru că vorbim de intervalul

6 plus infinit, valoarea 6

respectiv intervalul minus infinit 6.

Astfel că, în situația

în care discutăm de intervalul

minus infinit 6, suntem aici

Modulul nostru, așa cum spuneam, este 6 minus x

și atunci 6 minus x va fi egal cu

2x minus 3. Dacă vorbim

pentru x egal cu 6 sau ne referim la

strict valoare x egal cu 6, modulul nostru

așa cum spuneam este 0 și atunci vorbim

despre 0 egal cu 2x plus 3.

În evident, următoarea etapă, dacă discutăm

pe intervalul 6 plus infinit, discutăm

de unde x minus 6 egal cu 2x

plus 3. În mod evident, se rezolvă

fiecare din aceste

situații și anume, clar, 3x

egal cu 3, de unde x egal cu 1.

Pe situația x aparțin

intervalul minus infinit 6. Pe situația

x egal cu 6, voi avea 2x

egal cu minus 3, ceea ce înseamnă că x

egal cu minus 3 pe 2. Pe

situația 3, intervalul 6

plus infinit, x aparținului 6 plus

infinit, așa cum știm, x într-o parte

în partea stângă, termenii ce

conțin x, termenii ce nu conțin x în partea

dreaptă, rezolvare clasică, x

va fi egal cu minus 9.

Foarte important de înțeles în acest moment

este că 1, soluția

obținută pe intervalul minus

infinit 6, este sau

aparține intervalului de discuție. Deci 1

aparține intervalului minus infinit

6, ceea ce atrage de la sine, ok,

aceasta este o soluție a

ecuației. Ajungând, însă, la a doua situație

și anume x, mi-a dat minus 3 pe 2.

Discutam însă pentru x egal cu 6,

ceea ce ar însemna că 6 ar trebui să fie egal

cu minus 3 pe 2. Nu este adevărat, da? Și atunci

avem o situație falsă, înțelegând

din aceasta că

x egal cu 6 nu este soluția

ecuației date. A treia

și ultima situație este aceea în care am obținut

soluția x egal cu minus 9, discutând

însă pe intervalul 6 plus infinit,

înțeleg că nici aceasta nu aparține

intervalului de discuție. Deci,

înțeleg iar că am un fals, da,

o relație falsă, deci

nici minus 9 nu este rădăcină, nu este soluție

a ecuației date.

Astfel că,

concluzie finală, soluția

ecuației date este

x egal cu 1.