Transcript: Inecuații de gradul I

În această lecție vom continua recapitularea ecuațiilor și inequațiilor de gradul 1.
Și mai clar, vom face referire la inequațiile de gradul 1.
Forma generală a inequațiilor de gradul 1 este dată de ax plus b mai mare ca 0,
ax plus b mai mare sau egal decât 0, ax plus b mai mic decât 0,
respectiv ax plus b mai mic sau egal decât 0,
unde, în mod evident, a este diferit de 0,
respectiv a și b sunt numere reale.
În practică, variabila x este, în realitate, delimitată la stânga sau la dreapta
de valoarea minus b supra a.
Vă reamintesc că minus b supra a era soluția ecuației de gradul 1.
Adică, atunci când în ecuație apare semnul mai mare sau semnul mai mare sau egal,
se face referire la valorile pe care variabila x le poate avea în dreapta valorii minus b supra a.
Atunci când în ecuație apare semnul mai mic sau mai mic sau egal,
se face referire la valorile pe care variabila x le poate avea în stânga valorii minus b supra a.
Astfel că, dacă propun spre rezolvare în ecuația ax plus b mai mare decât 0,
în realitate, înțeleg de fapt că ax va fi mai mare decât minus b,
respectiv x-ul mai mare decât minus b supra a.
Astfel, în această situație, în situația rezolvării în ecuație,
se așteaptă ca rezultat un interval.
În cazul de față, un interval deschis.
Și vedeți, minus b supra a plus infinit.
În cazul în care îmi propun să rezolv ax plus b mai mare sau e egal decât 0,
pe exact același principiu de rezolvare,
voi obține intervalul închis de această dată la minus b supra a plus infinit.
Închis, spuneam, din cauza faptului că în ecuație apare semnul mai mare sau egal.
Din cauza egalului.
Pentru o înțelegere cât mai exactă,
reprezentăm pe axea reală valoarea minus b supra a
și mă interesează, în mod cert,
valorile pentru care x sunt mai mari decât acest minus b supra a.
Mai clar, valorile din dreapta lui minus b supra a.
Așa cum este evidențiat cu albastru pe axea reală.
Un aspect important este că intervalul închis,
exprimat în a doua situație a inequației,
va atrage de la sine că
intervalul soluției a inequației va conține
și valoarea minus b supra a.
În cazul în care ne propunem să rezolvăm
inequația ax plus b mai mic decât 0,
la fel ax mai mic decât minus b,
adică x mai mic decât minus b supra a,
rezultatul sau soluție a inequației
este intervalul x.
Aparține intervalului, așa cum vedeți,
minus infinit minus b supra a,
interval deschis.
După cum observați, vorbim de valorile din stânga
valorii minus b supra a,
fără ca ea să fie conținută în intervalul soluției.
Același aspect, dar de această dată
cu mai mic sau egal,
va avea drept rezultat, drept soluție.
Intervalul minus infinit minus b supra a,
de această dată, așa cum spuneam,
închis la minus b supra a.
La fel, pe axa reală, evidențiată
partea din stânga valorii minus b supra a,
adică pentru x mai mic decât minus b supra a,
evidențiată așa cum ne-am obișnuit
cu albastru,
și mai clar, situația în care
este conținută și valoarea minus b supra a,
adică în intervalul închis, situația în care
în ecuația noastră conține semnul
mai mic sau egal.
Pe exemplu, dat în lecția precedentă,
cel cu tricourile, puteți interpreta că
în cazul inequațiilor, prețul de
45 de ron pentru 3 tricouri
este, sau nu, depășit.
Este depășit când vorbim de valoare din dreapta
și nu este depășit,
deci se limitează la acea valoare, pentru
valoarele din stânga. Astfel că, pe prima
situație, vorbim de
preț depășit, mai clar, prețul
unui produs, unui tricou
în cazul nostru va fi mai mare de
15 ron, și a doua situație,
în mod evident, situația în care
nu este depășit prețul, deci
prețul va fi mai mic decât 15
ron pentru un tricou.
Propun în continuare un exemplu
în care vi se cere sau
ni se cere să rezolvăm inequația
x plus 4 mai mare decât minus 2x plus 3.
Pentru rezolvarea inequațiilor,
raționamentul de rezolvare se aseamănă
foarte mult cu cel utilizat la equații.
Singura diferență constă în tipul de
rezultat obținut. Mai clar,
equațiile au drept rezultat o rădăcină,
adică o valoare,
inequațiile au drept rezultat un interval.
Astfel că, în equația propusă
spre rezolvare, și anume x plus 4
mai mare decât minus 2x plus 3
va atrace de la sine, așa cum ne-am obișnuit
de la equații, separarea termenilor
ce conțin necunoscuta x în partea
stângă și termenii
ce nu conțin variabila x în partea
dreaptă. Astfel că x-ul
rămâne la locul lui și își
păstrează semnul. Minus 2x vine din
dreapta în stânga cu semn schimbat,
deci a venit plus 2x. Pe exact
același principiu, 3-ul a rămas la locul lui,
minus 4 a venit cu semn schimbat.
Astfel că obțin 3x mai mare
decât minus 1, ceea ce înseamnă fără doar
și poate că x-ul este mai mare decât minus
1 pe 3. Astfel că soluția
în equație date va fi
intervalul deschis minus 1 pe 3
plus infinit. Dacă în loc
de mai mare aveam mai mare sau egal
în exemplu precedent, am fi obținut
intervalul închis minus 1 pe 3
plus infinit cu, în mod evident,
raționamentul de calcul
același urmat ca
în exemplu precedent. Propunem
în continuare un alt exemplu,
exemplu probabil sau puțin mai complicat,
sensul în care
va atrage de la sine și
desfacerea unei paranteze și
separarea terminului așa cum ne-am obișnuit,
și anume 4 pe lângă 6 minus x
mai mare sau egal decât 3
pe lângă x minus
13
și atunci se desfac
parantezele așa cum vă spunem, se obține
24 minus 4x mai mare
sau egal decât 3x minus 39
separăm termenii așa cum ne-am obișnuit
minus 4x minus 3x mai mare sau
egal decât minus 39 minus 24
adică minus 7x
mai mare decât minus 63.
De ce acest exemplu? Pentru că
prezintă o situație specifică
și clară în cazul inecoaților
și anume, coeficientul
variabilei noastre, variabila x
este minus 7. Acesta este
un coeficient negativ. Acesta este motivul
pentru care suntem obligați
să înmulțim în ecuația noastră
cu minus 1 pentru a schimba
semnul, cum spuneam,
coeficientului variabilei noastre.
Ce înseamnă asta? Înseamnă două aspecte și anume
că se va înmulți cu
minus 1 atât minus 7
cât și minus 63
dar foarte, foarte important
are ca efect înmulțirea asta
schimbarea semnului, coeficientului, așa cum
ne-am propus, dar foarte, foarte important
va avea ca efect și schimbarea sensului
inegalității. Ce vreau să spun cu asta?
În acest moment, noi avem în inegalitate,
în inequație, mai mare sau egal.
Schimbarea sensului presupune transformarea
lui mai mare sau egal în mai mic
sau egal, adică,
așa cum spuneam, minus 7 se transformă în 7x
minus 63 se transformă
în 63, mai mare sau egal se va
transforma în mai mic sau egal.
Deci, atunci când, într-o inequație,
coeficientul variabilei pe care ne propunem
să o determinăm ca interval, ca soluție
va fi negativ, suntem obligați
să mulțim cu minus 1. Minus 1 asta
are ca efect totată schimbarea semnului
coeficientului sau coeficienților din inequație
și foarte important schimbarea sensului
inegalități. Astfel că
x-ul va fi mai mic decât 63x7
adică x-ul va fi mai mic sau egal decât
9. Deci soluția noastră va fi
intervalul minus infinit 9
închis la 9 din cauza egalului.
Un tip de equații ce derivă
din equații, respectiv inequații de gradul 1
sunt equațiile ce conțin
necunoscuta în modul. Este necesar
fără discuții să reamintesc
următorul aspect legat de modulul
sau valoarea absolută a unui
număr, și anume, modul de
a. Va fi a dacă a este pozitiv.
De exemplu, modul de 7.
7 este pozitiv, va avea ca rezultat 7.
Modul de 0
va avea ca rezultat 0 și
foarte important, modul de o valoare
negativă, deci dacă a este negativ,
rezultatul va fi minus acea valoare negativă.
Asta înseamnă că dacă am modul de
minus 7, acesta va fi minus minus 7.
Adică tot 7. Deci,
mai clar, modulul transformă
sau valoarea absolută transformă
în plus orice
valoare negativă sau pozitivă.
Astfel că, pe un exemplu,
ce conține necunoscuta în modul, voi avea
modul de x plus 2 va fi x plus 2
dacă x plus 2 este mai mare decât 0,
0 dacă x plus 2 este
egal cu 0, respectiv minus
x plus 2 dacă x plus 2 este mai mic decât 0.
Astfel că modul de x plus 2
va fi, de fapt, x plus 2 dacă x este
mai mare decât minus 2, ceea ce înseamnă
interval deschis minus 2 plus infinit.
0 dacă x este egal cu minus 2,
respectiv minus x minus 2
vedeți că am pus minus în fața parantezii,
schimbă semnele tuturor termenurilor din parantezi.
Așa cum spuneam, minus x minus 2
pentru x mai mic decât minus 2, deci x
aparține intervalului minus infinit minus 2.
O aplicație pe care
o propun în continuare sună cam așa.
Să se rezolve ecuația
modul de 6 minus x egal cu 2x
plus 3. Foarte important este
că trebuie să priviți rezolvarea acestei ecuații
pe etape. În prima etapă se face
fără doar și poate explicitarea modului.
Modulul, în cazul nostru, 6 minus x.
Acesta va fi 6 minus x dacă 6 minus
x este mai mare decât 0, va fi
0 dacă 6 minus x este egal cu 0,
respectiv minus 6 plus x.
Vedeți că am pus minus în fața
parantezei. Care va fi
minus 6 plus x pentru 6 minus x
mai mic decât 0. Foarte important
este că modulul nostru se va rezuma
sau va avea drept rezultat 6 minus x
pentru x mai mic decât 6.
Ce observați? Că minus x
are coeficient negativ.
M-a obligat, așa cum vă comentam mai sus, să
mulțesc cu minus 1. Ceea ce a tras de la sine
odată schimbarea semnelor, coeficienților
și foarte important
schimbarea sensului inegalității.
Deci mai mare s-a transformat în mai mic.
Continuăm. 0 dacă x este egal cu 6
respectiv x minus 6 dacă x este mai mare
decât 6. În etapa următoare
se rezolvă equația
inițială, equația dată, pe cele trei
situații apărute în urma explicitării
modulului la etapa 1.
Astfel că în situația în care
mi-am propus
să discut pentru x aparține lui
6 plus infinit,
modulul nostru devenea
x minus 6
în situația în care
discutăm pentru x egal cu 6
modulul nostru devenea 0
respectiv situația 3, situația în care
discutăm pe x aparțin intervalului minus infinit 6
modulul nostru devenea 6
minus x. Se motivează
astfel următoarea etapă și anume
sub formă de tabel.
Redactarea rezolvării este la îndemâna
oricui și mi se pare cât se poate
de reprezentativă așa cu tabel.
Și anume, pe primul rând
al tabelului se trec valorile lui x,
valorile, intervalele în care
acesta se desfășoară și pe a doua
linie, sau pe al doilea rând
ecuația noastră. Astfel că
au apărut valorile minus infinit 6
respectiv plus infinit pentru că vorbim de intervalul
6 plus infinit, valoarea 6
respectiv intervalul minus infinit 6.
Astfel că, în situația
în care discutăm de intervalul
minus infinit 6, suntem aici
Modulul nostru, așa cum spuneam, este 6 minus x
și atunci 6 minus x va fi egal cu
2x minus 3. Dacă vorbim
pentru x egal cu 6 sau ne referim la
strict valoare x egal cu 6, modulul nostru
așa cum spuneam este 0 și atunci vorbim
despre 0 egal cu 2x plus 3.
În evident, următoarea etapă, dacă discutăm
pe intervalul 6 plus infinit, discutăm
de unde x minus 6 egal cu 2x
plus 3. În mod evident, se rezolvă
fiecare din aceste
situații și anume, clar, 3x
egal cu 3, de unde x egal cu 1.
Pe situația x aparțin
intervalul minus infinit 6. Pe situația
x egal cu 6, voi avea 2x
egal cu minus 3, ceea ce înseamnă că x
egal cu minus 3 pe 2. Pe
situația 3, intervalul 6
plus infinit, x aparținului 6 plus
infinit, așa cum știm, x într-o parte
în partea stângă, termenii ce
conțin x, termenii ce nu conțin x în partea
dreaptă, rezolvare clasică, x
va fi egal cu minus 9.
Foarte important de înțeles în acest moment
este că 1, soluția
obținută pe intervalul minus
infinit 6, este sau
aparține intervalului de discuție. Deci 1
aparține intervalului minus infinit
6, ceea ce atrage de la sine, ok,
aceasta este o soluție a
ecuației. Ajungând, însă, la a doua situație
și anume x, mi-a dat minus 3 pe 2.
Discutam însă pentru x egal cu 6,
ceea ce ar însemna că 6 ar trebui să fie egal
cu minus 3 pe 2. Nu este adevărat, da? Și atunci
avem o situație falsă, înțelegând
din aceasta că
x egal cu 6 nu este soluția
ecuației date. A treia
și ultima situație este aceea în care am obținut
soluția x egal cu minus 9, discutând
însă pe intervalul 6 plus infinit,
înțeleg că nici aceasta nu aparține
intervalului de discuție. Deci,
înțeleg iar că am un fals, da,
o relație falsă, deci
nici minus 9 nu este rădăcină, nu este soluție
a ecuației date.
Astfel că,
concluzie finală, soluția
ecuației date este
x egal cu 1.