Sisteme de inecuații de gradul I

Un sistem de inequații de gradul întâi este format din două sau mai multe inequații.

O soluție a unui sistem este o număr real care verifică fiecare inequație,

deci mulțimea soluțiilor unui sistem se obține intersectând mulțimile soluțiilor fiecarei inequații.

Începem cu acest sistem.

x plus 1 supra 2 plus x plus 2 supra 3 este mai mare decât x plus 3 supra 6

și 5x minus 2 supra 2 este mai mic sau egal decât 6x plus 3 supra 4 plus 1.

Vom înmulți prima inequație cu 6 ca să eliminăm numitorii și a doua inequație cu 4

și obținem 3 pe lângă x plus 1 plus 2 pe lângă x plus 2 este mai mare decât x plus 3

iar a doua inequație se va scrie 2 pe lângă 5x minus 2 mai mic sau egal decât 6x plus 3 plus 4.

În continuare desfacem parantezele și avem 3x plus 3 plus 2x plus 4 mai mare decât x plus 3

și 10x minus 4 este mai mic sau egal decât 6x plus 7.

În continuare separăm termenii care conține cunoscuta x de ceilalți termeni.

3x plus 2x este 5x minus x 4x mai mare decât minus 4.

Apoi 10x minus 6x este 4x mai mic sau egal decât 7 plus 4, 11.

x este mai mare decât minus 1. Am împărțit prima inequație la 4 și x mai mic sau egal decât 11 supra 4.

Soluția acestui sistem este formată din acele numere reale strict mai mari decât minus 1 și mai mici sau egale cu 11 supra 4.

Așadar soluția sistemului se obține intersectând aceste două intervale.

Avem intervalul minus 1 infinit care reprezintă soluția primei inequații intersectat cu intervalul minus infinit 11 supra 4.

Acest interval este soluția celei de-a doua inequații iar intersecția celor două intervale va fi intervalul minus 1 11 supra 4.

Acest interval este soluția sistemului de inequații și trecem la un al doilea exercițiu.

Al doilea sistem este format din trei inequații de gradul 1. Iată, 4x plus 6 mai mare decât x minus 3, 6x minus 3 este mai mic sau egal decât 2x plus 1 și 2x plus 5 este mai mare decât 3x minus 1.

O să rezolv pe rând fiecare inequație. Prima inequație, 4x plus 6, este mai mare decât x minus 3.

Obținem 3x mai mare decât minus 3 minus 6 minus 9, împărțim la 3 și obținem x mai mare decât minus 3.

x aparține intervalului minus 3 infinit.

A doua inequație, 6x minus 3 mai mic sau egal decât 2x plus 1.

Avem 4x mai mic sau egal decât 4, x mai mic sau egal decât 1, x aparține intervalului minus infinit 1.

Și ultima inequație, 2x plus 5 mai mare decât 3x minus 1, minus x mai mare decât minus 6,

înmulțim inequația cu minus 1 și se schimbă sensul inegalității, avem x mai mic ca 6, x aparține intervalului minus infinit 6.

Acum soluția sistemului se obține intersectând cele 3 mulțimi,

intervalul minus 3 infinit intersectat cu intervalul minus infinit 1, intersectat cu intervalul minus infinit 6.

Pentru a vedea mai bine intersecția acestor 3 intervale, o să le reprezentăm pe o axă.

Avem 0 minus infinit, minus 3, aici este minus 3, 1 și 6.

Primul interval minus 3 plus infinit, iată, în această porțiune avem numerele mai mari strict decât minus 3, la minus 3 avem o paranteză deschisă.

Al doilea interval minus infinit 1, la 1 avem o paranteză dreaptă, iată, în această zonă avem numerele strict mai mici decât 1.

Și ultimul interval minus infinit 6, la 6 avem paranteză rotundă, în această porțiune avem numerele strict mai mici decât 6.

Intersecția acelor 3 intervale este dată de porțiunea hașurată cu cele 3 culori, iată, avem intervalul minus 3, 1.

Așadar, soluția acestui sistem va fi intervalul minus 3, 1, deschis la minus 3 și închis la 1.

În concluzie, pentru a rezolva un sistem de inequații de gradul 1, rezolvăm fiecare inequație a sistemului, iar la final, mulțimea soluțiilor se obține intersectând mulțimile soluțiilor fiecarei inequații.