Ecuații de gradul II cu soluții complexe

În această lecție ne vom opri asupra rezolvării ecuațiilor de gradul al doilea,

mai clar situația în care aceste tipuri de ecuații acceptă soluții complexe.

Într-o lecție precedentă am discutat despre rezolvarea ecuațiilor de gradul al doilea

și ne-am referit strict la situația în care soluțiile acestora erau reale.

În cazul în care discriminantul ecuațiilor era pozitiv practic mai mare decât 0 sau 0, adică egal cu 0,

rezolvarea acestor tipuri de ecuații a fost comentată.

În această lecție ne vom referi la situația în care discriminantul este negativ,

practic mai mic decât 0, adică are minus, situație pe care la acel moment

nu o puteam descrie pentru că nu eram familiarizați cu conceptul de număr complex.

Mai clar, la acel moment ne rezumăm la ideea că nu avem soluții reale.

În aceste condiții suntem în măsură să afirmăm că o ecuație de gradul al doilea are soluții complexe,

dacă discriminantul este negativ.

Așadar, dacă delta este mai mic ca 0, rădăcinile ecuației ax² plus bx plus c

egal cu 0 cu, foarte important, a diferit de 0, sunt numere complexe.

Mai mult, rădăcinile sunt numere complexe conjugate.

Vă reamintesc, formula era x1,2 egal cu minus b plus minus radical din delta supra 2a.

În aceste condiții, x1 ar fi minus b plus radical din delta supra 2a,

respectiv x2 ar fi minus b minus radical din delta supra 2a.

Vă reamintesc că atunci când vorbeam de numere complexe conjugate, aveam de forma

z1 egal cu a plus bi,

respectiv conjugatul acestuia, z2, era a minus bi.

Aici vorbim însă de plus, respectiv minus,

deci de aici și ideea că rădăcinile sunt numere complexe conjugate.

Atunci când din calculul discriminantului delta egal cu b² minus 4ac

se obține o valoare negativă, este necesar să traducem valoarea obținută

utilizând unitatea imaginară i.

Astfel, dacă delta îmi dă minus o valoare, un număr,

atunci îl pot scrie ca minus 1 ori număr,

cum minus 1 este i², delta se va traduce, așa cum spuneam,

ca fiind i² înmulțit cu număr.

În aceste condiții, radical din delta necesar pentru calculul rădăcinilor,

x1, x2, va fi egal cu radical din i² ori număr,

ceea ce înseamnă de fapt că este egal cu i radical din număr.

Deci, dacă am ecuația ax² plus bx plus c egal cu 0 cu a diferite 0

și delta calculat pe b² minus 4ac cu rădăcinele calculate

minus b plus minus radical din delta asupra 2a, spuneam, și delta este negativ,

atunci rădăcine x1, x2 se pot traduce ca minus b plus minus,

spuneam, i radical din acel număr.

Numărul este de fapt 4ac minus b²,

întrucât acesta fi negativ, vă dați seama că 4ac minus b²

este practic un număr pozitiv.

Deci, x1 va fi minus b minus i radical din 4ac minus b² asupra 2a,

respectiv x2 va fi minus b plus i radical din 4ac minus b²

asupra 2a.

Înainte de a trece la discutarea unor exemple,

vă reamintesc că în lecția aferentă a ecuațiilor de gradul al doilea

comentam despre suma rădăcinilor, sumă notată cu S mare

și reprezenta x1 plus x2, iar formula de calcul era minus b asupra a,

produsul rădăcinilor x1 ori x2 notat cu P

avea ca și formulă de calcul c asupra a,

și în plus, scrierea trinomului de gradul al doilea,

ax pătrat plus bx plus c, ca fiind a pe lângă x minus x1

pe lângă x minus x2.

Toate acestea sunt valabile și se pot aplica

și în situația în care avem rădăcini complexe.

Primul exemplu, x pătrat plus x plus 1 egal 0.

Delta, așa cum știam, b pătrat minus 4ac,

delta calculat și obținut este minus 3,

negativ, așa cum se vede, trept pentru care îl putem scrie

ca fiind minus 1 înmulțit cu 3.

Dar, așa cum ne-am lămurit, minus 1 este i pătrat,

deci delta va fi, de fapt, 3i pătrat.

Radical din delta va fi i radical din 3.

x1, x2, conform formula e, minus b plus minus radical din delta

supra 2a. Moment în care înțeleg că x1 este minus 1 minus i

radical din 3 supra 2, respectiv, x2 este minus 1 plus i

radical din 3 supra 2. Încă o dată, observați că sunt rădăcini

complexe, conjugate, în condițiile în care minus 1 pe 2

îl regăsim și la x1 și la x2 ca fiind practic aul,

iar b-ul, în cazul rădăcinii x1,

este minus radical din 3 supra 2, iar în cazul rădăcinii

x2, b-ul este radical din 3

supra 2. Un al doilea exemplu, x pătrat

egal cu minus 4, în mod evident 4 trece cu semn schimbat. Moment în care iar

înțeleg că, în mulțimea numărări reale, ceva ridicat la pătrat

nu putea să dea cu minus. Deci pătratul unei valori,

în mulțimea numărări reale, era garantat pozitiv. Astfel, acest

minus 4 este tradus ca fiind produsul dintre minus 1 și 4.

Minus 1 este i pătrat, motiv pentru care x1, x2 va fi plus minus

radical din 4i pătrat, ceea ce înseamnă, fără doar și poate, că x1

și x2 sunt plus minus 2i. Rădăcini complexe,

așa cum am înțeles, ba mai mult, pot să înțeleg că x1

egal cu 0 plus 2i, respectiv

x2 egal cu 0 minus 2i. Încă o dată,

ceea ce am afirmat mai sus este dovedit. Rădăcini complexe

conjugate. Un ultim exemplu.

Să se simplifice fracția x la a treia plus x pătrat

plus x plus 1 supra x la a treia plus 1 minus

x pătrat minus ix. Observați că la numitor am

o expresie matematică de gradul al treilea și, foarte important,

coeficienții acestora sunt complexe. Numărătorul

x la a treia plus x pătrat plus x plus 1. Se dă

între primele două x pătrat factor comun, iar următoarele două

sunt efectiv cuplate într-o paranteză. Astfel, x plus 1 un factor

comun și, pe lângă, x pătrat plus 1,

coeficientul pe care în realitate el are x plus 1.

Rămân nediscutat cu x pătrat plus 1.

Îl egalez cu 0 ca să determin soluțiile și ca să folosesc

acea descriere a trinomului de gradul al doilea. Astfel, x pătrat

egal cu minus 1, x pătrat practic e i pătrat, ceea ce înseamnă de fapt că

x1-2 este egal cu plus minus i. Soluții care atrag de la sine că

x pătrat plus 1 se va scrie ca 1 pe lângă

x minus prima rădăcină, pe lângă x minus

a doua rădăcină, practic minus minus i, adică plus i.

Astfel, x la a treia plus x pătrat plus x plus 1 se va scrie ca

x plus 1 pe lângă x minus i

pe lângă x plus i. Dacă luăm și discutăm numitorul,

x la a treia plus 1 minus i x pătrat minus i x va fi egal cu

x factor comun pe lângă x pătrat plus 1 minus i

x minus i. Gradul al doilea în care

suma x1 plus x2 este minus b supra a,

ceea ce înseamnă de fapt că e minus 1 minus i supra 1, adică i

minus 1, minus în fața unei fracții sau unei paranteze, schimbă semne tuturor termenurilor

din paranteză, respectiv produsul x1, x2 egal cu c supra a,

ceea ce înseamnă de fapt că x1 ori x2 este minus i supra 1, practic

minus i. În aceste condiții este evident că x1

este minus 1, x2 este i. Practic, minus 1 ori i îmi dă

minus i, respectiv minus 1 plus i îmi dă i minus 1.

Astfel, x la a treia plus 1 minus i x pătrat minus

i x este egal cu x pe lângă x minus prima rădăcină

pe lângă x minus a doua rădăcină. Se obține

astfel x pe lângă x minus i pe lângă x plus 1.

Revenim la fracția desimplificat și completăm

ceea ce noi am determinat în discuția anterioră.

Astfel, x la a treia plus x pătrat plus x plus 1 supra x la a treia plus

1 minus i x pătrat minus i x egal cu x plus 1

pe lângă x minus i pe lângă x plus i supra

x pe lângă x minus i pe lângă x plus 1. În mod evident,

x plus 1 se reduce cu x plus 1, x minus i se reduce cu x minus i.

Astfel, rezultatul fracției după simplificare

este x plus i supra x.

După parcurgerea exemplului de mai sus, găsesc necesară exprimarea

ecuațiilor de gradul al doilea, pornind de la rădăcini. Astfel,

ecuația x pătrat plus bx plus c egal 0 cu a diferit de 0 se poate scrie

prin intermediul sumei și produsului rădăcinilor. Astfel,

x pătrat minus sx plus p egal cu 0. Formulă pe care

deja o cunoșteam în momentul în care discutam despre ecuații de gradul al doilea

cu rădăcini reale. S-ul, așa cum știam, este

x1 plus x2, p-ul este x1 înmulțit cu x2.

Dacă rădăcinile sunt complexe, asta este

situația pe care o comentăm acum, admitem că x1 ar fi

m plus ni, caz în care x2, fără doar și poate, va fi

m minus ni, conjugatul lui. În condițiile astea, s-ul, care e

x1 plus x2, va fi n plus ni plus m minus ni.

Practic, ni cu ni se reduc, obținându-se, astfel, suma

ca fiind 2m. p-ul este egal cu x1 ori x2,

adică m plus ni pe lângă m minus ni, ceea ce înseamnă

m pătrat plus n pătrat. x pătrat minus sx plus p

egal cu 0 este ecuația de gradul al doilea, raportată la sumă și produs,

moment în care, în condițiile date, ecuația de gradul al doilea va fi

x pătrat minus 2mx plus m pătrat plus n pătrat

egal cu 0. Practic, în cazul în care o ecuație de gradul al doilea are soluții

complexe, vom obține suma, dublul părții reale a soluțiilor,

iar produsul va fi constituit din suma pătratelor părții reale,

respectiv părții imaginare. Exemplu, x1 egal cu 2 plus 3i,

x2 egal cu 2 minus 3i. Suma, în acest caz, va fi 4,

produsul egal cu 2 la a doua plus 3 la a doua. Produsul este 4 plus 9,

deci 13. Ecoația de gradul al doilea, căutată, este x pătrat

minus 4x plus 13 egal 0.