Ecuații iraționale (I)

În această lecție ne vom opri asupra ecuațiilor irraționale.

Definiție. Se numesc ecuații irraționale ecuațiile ce conține cunoscuta sub radical.

Câteva exemple.

1. Radical din x-4, egal cu 3, plus radical din x.

Al doilea exemplu. Radical din x, egal cu 3, minus 2x.

Un al treilea și ultim exemplu. Radical de ordinul 3, din 7, minus x, egal cu radical de ordinul 4, din x, plus 8.

Este important să reamintesc un aspect foarte important.

Radicalii de ordin par sunt definiți numai pentru valori pozitive.

Și, mai mult decât atât, rezultatele acestor radicali de ordin par sunt în egală măsură valori pozitive.

Astfel, în primele două exemple, radical din x-4, respectiv radical din x, atât aici cât și aici,

au ordin par, în cazul acesta, fiind necesare condițiile de existență.

În cel de-al doilea exemplu, radical de ordinul 3, din 7, minus x, este un radical de ordin in par,

ordinul fiind, așa cum se vede, 3, motiv pentru care nu este necesară o condiție de existență, ei fiind definiți pe R.

De exemplu, ecuația irrațională radical din x-3 plus radical din 2-x, egal cu 3.

Radical din x-3 are ordinul 2.

Vă reamintesc că ordinul escris al unui radical este 2.

Astfel, vorbind de un ordin par al unui radical, și atunci sunt necesare condițiile de pozitivitate.

x-3 mai mare sau egal decât 0.

Se trece 3 cu semn schimbat, obținând astfel soluția interval 3 plus infinit închis la 3.

Cel de-al doilea radical, 2-x, radical de ordinul 2 din 2-x, are în egală măsură ordin par.

Sunt necesare condiții de pozitivitate, astfel 2-x este mai mare sau egal decât 0.

minus x este mai mare sau egal decât minus 2.

Așa după cum cunoaștem, se înmulțește în ecuația cu minus 1,

astfel se obține x mai mic sau egal decât 2, schimbându-se atât semnul cât și sensul inegalității,

iar soluția acestei inequații este minus infinit 2 închis, ca și intervalul în mod evident.

Aceste două intervale soluții rezultate din condițiile de existență ale radicalilor de ordin par

au intersecție avidă, adică intervalul 3 plus infinit intersectat cu intervalul minus infinit 2 egal cu mulțimea avidă.

Acest aspect atrage de la sine că ecuația irrațională dată nu are soluții în mod evident vorbind de soluții reale.

Un alt exemplu pe care vi-l propun, radical din x plus radical din 3 plus x egal cu minus 5.

Radical din x are ordin par, asta însemnând că x trebuie să fie mai mare sau egal ca 0.

Intervalul soluției este 0 plus infinit.

Radical din 3 plus x are ordin par, asta însemnând că 3 plus x trebuie să fie mai mare sau egal ca 0.

Faptul ce atrage de la sine că x-ul este mai mare sau egal decât minus 3.

Intervalul soluției în acest moment este minus 3 plus infinit.

Intersecția celor două intervale soluții pentru fiecare din radicalii discutați este 0 plus infinit.

În acest moment înțeleg că radical din x, pentru că este un radical de ordin par, va avea soluție rezultat o valoare pozitivă.

Radical din 3 plus x, clar, ordin par, este și el mai mare sau egal decât 0.

Astfel, suma acestora va fi garantat pozitivă.

Văd însă că rezultatul acestei inequații este unul negativ, în cazul meu minus 5.

Acest aspect atrage în egală măsură faptul că ecuația irrațională dată nu are soluții reale.

Observații.

Cele două ecuații exemplificate mai sus arată în mod cert că, înainte de a trece la rezolvarea unei astfel de ecuații,

este necesar să se verifice dacă acestea au sau nu soluții reale.

Mai clar, nu trec la rezolvarea unei ecuații irraționale dacă nu verific condițiile de existență,

evident, acolo unde acestea există,

astfel încât să înțeleg că are ecuația în cauză soluție sau nu.

Pentru că, în cazul în care nu ar avea soluții reale ecuația, evident, nu are sens să o căutăm prin niciuna din metodele cunoscute.

Continuăm cu metode de rezolvarea ecuațiilor irraționale.

Calea obișnuită de rezolvarea ecuațiilor irraționale constă în eliminarea radicalilor prin diferite transformări,

reducându-le astfel la ecuații studiate, de exemplu ecuații de gradul 1 sau ecuații de gradul al 2.

Printre transformările mai sus comentate, vă subliniez ridicarea la putere și înmulțirea cu expresii conjugate.

Ridicarea la putere. Un exemplu. Dacă am ecuația irrațională radical din 2 minus x egal cu x.

Asta înseamnă că, așa cum spuneam, ordinul nescris al unui radical este 2.

Deci 2, ordinul, este, de fapt, puterea la care se va ridica această inequatie pentru anularea radicalului.

În prima etapă, în mod evident, se pun condițiile de existență.

Și anume, 2 minus x mai mare sau egal decât 0, ceea ce înseamnă minus x mai mare sau egal decât minus 2,

se înmulțește cu minus 1, înțelegând că x este mai mic sau egal decât 2.

Astfel, x-ul va aparține intervalului minus infinit 2 închis.

Pentru că, așa cum spuneam, un radical de ordin par are un rezultat pozitiv,

înțeleg că o condiție de existență necesară în această inequatie este ca și rezultatul, în cazul meu x, să fie pozitiv.

Astfel, x aparține intervalului 0 plus infinit.

Intersecția celor două soluții interval este intervalul 0, 2 închis.

Astfel, in ecuația mea, radical din 2 minus x, egal cu x, cu, așa cum am spus,

ordinul radicalului, este 2, se va ridica la puterea a doua.

Înțelegând din asta că radicalul se ridica la a doua, în egală măsură rezultatul se ridica la puterea a doua.

Un radical ridicat la pătrat, în cazul în care, evident, acesta are ordin 2, se anulează,

înțelegând că voi obține doar ceea ce este scris sub radical, în cazul meu 2 minus x, egal cu x pătrat.

Ecoația de gradul al doilea, ecoația pe care știm să o rezolvăm,

și care, pe situația de delta pozitiv, soluțiile obținute sunt minus 2, respectiv 1.

Este important în acest moment să se decidă care din soluțiile, minus 2, respectiv 1,

convin conform acestui domeniu obținut.

Și atunci, minus 2 aparține intervalului 0,2?

Nu.

Acesta este motivul pentru care minus 2, ca și soluție obținută, nu convine,

nu convine în condițiile în care acesta nu aparține intervalului 0,2.

Ceea de-a doua soluție, x2, egal cu 1, aparține intervalului 0,2,

ceea ce înseamnă că ea este o soluție corectă, bună, în ecoație date,

pentru care soluția reală a ecoației inițiale date este x, egal cu 1.

Deci, în acest moment am discutat despre prima transformare ce se poate face,

și anume ridicarea la putere.

Și atunci rețin, dacă o inequație irrațională, ce conține evident radical,

are radical de ordine n, ecoația se va ridica la puterea n.

A doua transformare propusă, subliniată, este înmulțirea cu expresii conjugate.

Astfel, un exemplu radical din x plus 9 plus radical din x minus 3, egal cu 6.

Expresia conjugata acesteia este radical din x plus 9 minus radical din x minus 3.

Condițiile de existență aferente acestei inequații sunt x plus 9 mai mare sau egal ca 0,

în mod evident x mai mare sau egal decât minus 9.

Intervalul soluției acestui radical este minus 9 plus infinit.

Radical din x minus 3 necesită condiții de existență x minus 3 mai mare sau egal cu 0.

Soluția este 3 plus infinit.

Intersecția acestor intervale soluției este, de fapt, domeniul de existență al întregii ecoații irraționale,

este 3 plus infinit.

Așa cum spuneam, expresia conjugată a ecoației noastre,

membrului stâng al ecoației noastre, este radical din x plus 9 minus radical din x minus 3.

Vom înmulți întreaga ecoație cu expresia conjugată și obținem radical din x plus 9 plus radical din x minus 3

înmulțit cu radical din x plus 9 minus radical din x minus 3

egal cu 6 pe lângă radical din x plus 9 minus radical din x minus 3.

Produsul de aici îl recunoaștem ca fiind, în formulă de calcul prescurtat, a plus b pe lângă a minus b.

Deci a plus b pe lângă a minus b ce are drept rezultat a pătrat minus b pătrat.

Astfel, radical din x plus 9 la pătrat, radical din x plus 9 joacă rolul lui a.

Minus radical din x minus 3 la pătrat, radical din x minus 3 va joaca rolul lui b.

Este egal cu 6 pe lângă radical din x plus 9 minus radical din x minus 3.

Așa cum spuneam, ordinul este 2 ridicat la pătrat obțin ceea ce este scris sub radical.

x plus 9 minus x minus 3 egal cu 6 pe lângă radical din x plus 9 minus radical din x minus 3.

x plus 9 minus x minus cu minus plus, deci plus 3, egal cu același rezultat.

x cu x se reduce, obținând astfel 12 egal cu 6 pe lângă radical din x plus 9 minus radical din x minus 3.

În mod evident, 12 împărțit la 6 este 2 și atunci radical din x plus 9 minus radical din x minus 3 este 2.

Și ăsta este momentul în care atașăm relații obținute, ecuația inițial dată.

Astfel, radical din x plus 9 plus radical din x minus 3 egal cu 6.

Le adunăm cele două relații, practic ecuații, și obținem 2 radical din x plus 9.

În mod evident, radical din x minus 3 s-a redus, egal cu 8.

Obținem, astfel, radical din x plus 9 egal cu 4.

Așa cum ne-am obișnuit, ridicăm la pătrat, deci ca în primul exemplu, și obținem că x plus 9 egal cu 4 la al doilea, adică cu 16.

X-ul, în acest caz, va fi 7.

Verificăm dacă acest 7 aparține domeniului soluție al acestei inequații.

Practic, 7 aparține lui 3 plus infinit, deci convine, așa cum spuneam, motiv pentru care soluția reală a acestei inequații este, așa cum spuneam, 7.

Astfel, în urma exemplelor aplicative exprimate mai sus, se poate concluziona

O primă etapă de parcurs în rezolvarea ecuațiilor irraționale este dată de aflarea domeniului de existența soluțiilor acestea.

Reamintesc aici că radicalii de ordin par sunt definiți numai pentru valori pozitive, aceștia, la rândul lor, fiind de asemenea pozitivi.

Dacă, după parcurgerea etapei 1, se ajunge la concluzia că ecuația irrațională are soluții, se trece la o etapă următoare și aceea constă în efectuarea de transformări convenabile sau artificii de calcul, astfel încât să se ajungă la ecuații cunoscute.

Aici, la transformări convenabile, mă refer la ridicarea la putere sau înmuțire cu expresii conjugate.

Când spun, însă, ecuații cunoscute, la acest moment mă refer la ecuațiile de gradul 1, respectiv ecuațiile de gradul a 2.

Ultima etapă constă în a decide dacă soluțiile obținute sunt convenabile.

Vă reamintesc că puteam să obțin soluții de mai multe feluri, dar acestea să nu convină, întrucât nu aparținau domeniului de definiție sau domeniului de existență pe care îl determinam, practic, la prima etapă.

În continuare se exprimă soluțiile reale ale ecuației raționale date.