Ecuații iraționale (II)

Această lecție se constituie ca o continuare a lecției precedente, lecția de ecuații irraționale.

Dacă în lecția precedentă m-am oprit asupra ecuațiilor irraționale ce conținau radical de ordini par,

în această lecție voi face referire la acele ecuații irraționale ce conțin radical de ordini impar și, în plus,

acele ecuații irraționale ce conțin radical de ordini diferiți.

Astfel că un exemplu pe care îl propun de această dată cu radical de ordini impar este radical de ordinul 3 din x-1 egal cu 2.

Pentru că radicalul conținut în ecuația propusă are ordini impar, așa cum se vede, ordinul 3, nu sunt necesare condiții de existență.

Vă reamintesc că doar acei radicali de ordini impar aveau condiție de existență ca ei, ca valoare, să fie pozitivi

și ceea ce exista sub radical să fie în egală măsură pozitivi.

Astfel, ecuația noastră radical de ordinul 3 din x-1 egal cu 2 va fi ridicată la puterea a 3.

De ce la puterea a 3-a?

Pentru că ordinul radicalului este 3.

În egală măsură vă aduc aminte că dacă aveam radical de ordinul n din a la puterea n, se scria ca a la puterea n supra n.

Ce înseamnă asta de fapt în condițiile în care ecuația noastră a fost ridicată la puterea a 3-a?

Deci, practic, ambii membri au fost ridicati la puterea a 3-a.

Înseamnă că radical de ordinul 3 din x-1 la puterea a 3-a va fi egal cu 2 la puterea a 3-a.

Pe baza formulei mai sus comentate, obțin că x-1 va fi practic la puterea 3 supra 3, adică la puterea a 1-i.

Și așa cum vă spuneam și în lecția precedentă, se anulează ordinul și cu putere.

Scriindu-se astfel, doar ceea ce se află sub radical.

În cazul meu, așa cum vedeți, x-1 se află sub radical, va avea ca rezultat 2 la a 3-a, adică 8.

În cazul ăsta, x-ul este egal cu 8 plus 1, deci x este egal cu 9.

x egal cu 9 fiind acea soluție reală a ecuației irraționale propuse.

Atunci când în ecuații apar radical de ordini diferite, este necesar să se ridice la puterea numitorului comun acestor ordine.

În general, la aceste tipuri de ecuații, prin transformările realizate, se ajunge la ecuații de grad mai mare decât 2.

Ecuații ce încă nu au fost studiate.

Vin însă și spun că prin intermediul artificilor de calcul, prin factori comuni ce se pot da,

sau prin intermediul formulelor de calcul prescurtat învățate, putem să rezolvăm astfel de ecuații.

În cazul acesta, vă propun o astfel de ecuație ca să înțelegem exact cum stau lucrurile.

Exemplu. Radical de ordinul 3 din x pătrat minus 1 egal cu radical din x plus 1.

Se vede clar. Ordin diferit. Ordin 3, ordin 2, ordin neschis al radicalului.

Întrucât în membru drept al ecuației avem ordin par pentru radical,

înțeleg că trebuie, în mod obligatoriu, să pun condiția de existență ca ceea ce se află sub radical,

în cazul meu x plus 1, să fie mai mare sau egal ca 0.

Obțin astfel, x aparține intervalului minus 1 plus infinit.

În acest caz, ecuația irrațională propusă va fi ridicată la puterea 6.

6 fiind, de această dată, acel numitor comun între 3 și 2.

Mai clar, 6 se împarte la 3, 6 se împarte la 2, exact.

Astfel, obțin radical de ordinul 3 din x pătrat minus 1 la puterea 6

egal cu radical din x plus 1 la puterea 6.

Așa cum vă comentam în formula mai sus prezentată sau amintită,

este x pătrat minus 1 la puterea 6 supra 3

egal cu x plus 1 la puterea 6 supra 2.

Astfel, x pătrat minus 1 rămâne la puterea a doua,

egal cu x plus 1 la puterea a treia.

Dacă, în acest moment, aș ridica la puterea a treia,

folosim formulă de calcul prescurtat cunoscută de forma

a plus b la puterea a treia,

egal cu a la a treia plus 3a pătrat b

plus 3ab pătrat plus b la a treia,

aș obține o ecuație de gradul al treilea,

respectiv aici, de gradul 4,

ecuație care nu mi este la îndemână.

Am însă cunoscut formulă de calcul prescurtat și, mai clar,

a pătrat minus b pătrat egal cu a minus b pe lângă a plus b.

Observ aici x pătrat minus 1

că are la bază această formulă de calcul prescurtat,

drept pentru care el va fi scris ca

x minus 1 pe lângă x plus 1 la puterea a doua.

Reamintesc că a or b la puterea n

însemna, de fapt, a la puterea n

or b la puterea n.

Înțeleg de aici că x minus 1 va fi la puterea a doua

înmulțit cu x plus 1 la puterea a doua,

egal cu x plus 1 la a treia.

Observați că nu am ridicat la a treia

pentru a evita scrierea sau obținerea

unei ecuații de grad superior 2,

ecuație ce nu știm încă să o rezolvăm.

Astfel, obțin

x minus 1 la a doua

înmulțit cu x plus 1 la a doua,

minus a trecut cu semn schimbat,

x plus 1 la puterea a treia.

În momentul în care pot să dau factor comun,

x plus 1 la puterea a doua.

Obținând astfel, x plus 1 la puterea a doua

pe lângă x minus 1 la a doua

minus semnul dintre acestea,

respectiv x plus 1,

egal cu 0.

Înțeleg în acest moment că x plus 1 la a doua

rămâne așa cum îl vedem

și pot să ridic în paranteză

confort formulei de calcul prescurtat

a minus b la puterea a doua.

Astfel, x pătrat minus 2x plus 1

minus în fața parantezii schimbă semnele din paranteză

pentru care voi obține minus x minus 1.

În aceste condiții, obțin

x plus 1 la puterea a doua pe lângă

x pătrat minus 3x

minus 1 sau redus.

Am produs

de factor nul

egal cu 0. Ce înseamnă asta?

Că ori primul factor este nul,

ori cel de-al doilea este nul

sau, de ce nu, ambii termeni sunt

nuli. Din prima relație

obțin x plus 1 egal cu 0

ceea ce înseamnă x egal cu minus 1.

x egal cu minus 1 este o soluție a ecuației

care convine întrucât aparține

intervalului minus 1 plus infinit.

În ceea ce privește a doua ecuație, x pătrat minus 3x

egal cu 0 se dă factor comun x pe lângă

x minus 3, ceea ce atrage de la sine

x egal cu 0 și sau

x minus 3 egal cu 0. Dacă x egal cu 0

aparține intervalului minus 1 plus infinit

și în mod normal convine, dacă

x minus 3 egal cu 0, x egal cu 3

în egală măsură aparține intervalului minus 1

plus infinit și, la fel, convine.

Haideți să vedem însă ce se întâmplă

în momentul în care, pentru soluțiile obținute,

vom face verificarea în

ecuației rațională dată. Astfel,

pentru x egal cu minus 1,

ecuația mea devine radical de orinul 3

din minus 1 la puterea a doua minus 1

egal cu radical din minus 1 plus 1.

Înțelegând astfel că minus 1

la puterea a doua e 1, 1 minus 1, 0

minus 1 plus 1, iar 0. Deci

radical de orinul 3 din 0 egal cu radical din 0.

Practic, 0 egal cu 0, o relație adevărată.

În cazul în care însă x

este egal cu 0 și înlocuiesc

în ecuația inițial dată, obțin radical

de orinul 3 din 0 la puterea a doua minus 1

egal cu radical din 0 plus 1.

Înțeleg în acest moment că am

radical de orinul 3 din minus 1

egal cu radical de orinul 2, practic, din 1.

Astfel, minus 1 egal cu 1.

Este o relație falsă.

În cazul în care x este egal cu 3

radical de orinul 3 din 3 la a doua minus 1

egal cu radical din 3 plus 1.

Deci, obțin radical

de orinul 3 din 8, 9 minus 1

egal cu radical de orinul 2 din 4.

Asta însemnând că

8 se scrie ca 2 la a treia, deci 2

radical de orinul 2, practic, din 2 la a doua

e tot 2. Deci, 2

egal cu 2. O relație adevărată.

De ce, însă, în

aceste soluții se găsesc

soluții care nu verifică

ecuația noastră? Haideți să vedem.

Păi,

o condiție de extensă ce nu a fost pusă

înainte de începerea rezolvării ecuației era

ca radicalul pozitiv

adică

radical de ori din par

trebuia să aibă și el, în egală măsură,

valoare pozitivă. Am pus condiție de extensă

x plus 1, mai mare sau egal ca 0

însă nu am ținut cont de faptul că

și rezultatul unui radical de ori din par

trebuie să fie pozitiv, de pentru care

în plus trebuia pusă condiția de extensă

ca radical de orinul 3 din x minus 1

să fie pozitiv și să accept doar

valorile pentru care acesta

mi-ar fi dat cu plus.

Astfel,

radical de orinul 3 din x

pătra minus 1 trebuia să fie pozitiv

de pentru care radical de orinul 3

din minus 1 obținut în cazul în care x

era egal cu 0, practic minus 1

care este negativ, nu convenea.

Deci, în cazul de față, soluția

ecuației date este x1

egal cu minus 1. Verifică o dată ecuația

și mai cu seama aparține intervalului

definit ca domeniul de existență.

x2 egal cu 3

iar verifică ecuația irrațională și așa cum spuneam

în plus aparține domeniului de existență

minus 1 plus infinit. Repet,

0 nu poate fi acceptat

pentru că nu verifică ecuația și foarte

important, am ratat la început

a pune la condiții de existență

că și radicalul de ordinul 3

din x pătra minus 1 trebuia și el să fie

pozitiv pentru că era rezultat

al unui radical de ordin par.

Un alt exemplu pe care vi-l propun

este radical de ordinul 4 din x pătra

plus 3x plus 2 egal cu radical

din x minus 3. Ambii radicali

în ecuația irrațională exemplificată

sunt de ordin par. Asta înseamnă

că în ambele situații trebuiesc puse acele condiții

de pozitivitate ale acestor tipuri

de radical. Astfel, x pătrat plus 3x

plus 2 este mai mare săl egal cu 0.

În ecuație de gradul al doilea,

în ecuație pe care știm să o rezolvăm, delta

ecuației aferente în ecuație date

este 9 minus 8, deci e 1

pozitiv, înțelegând din aceasta că x1

2 va fi minus b plus minus radical

din delta supra 2a, adică în cazul de față

minus 3 plus minus 1 supra 2.

Obțin astfel soluțiile x1 egal cu minus

2, x2 egal cu minus 1.

Cum a este pozitiv și delta este pozitiv,

vă reamintesc că vorbeam de acel domeniu, de acea

separa rădăcinilor. Astfel,

x aparține intervalului minus infinit minus 2

reunit cu minus 1 plus infinit.

În egală măsură, cea de-a doua

condiție de existență este x minus 3

mai mare săl egal cu 0. x este mai mare săl egal

decât 3, înțelegând că x aparține

intervalului 3 plus infinit.

Din 1 și 2, deci cele două soluții

pentru fiecare din radicalii

întâlniți în ecuație,

duc la intersecția acestora

sau prin intersecția acestora

la domeniul de definiție al

ecuației irracionale propuse.

Astfel, x aparține

intervalului 3 plus infinit.

Pentru rezolvarea acesteia,

așa cum vă spuneam, se ridică

la numitorul celor două ordine

ale radicalilor propuse. Astfel,

acesta este 4. De ce 4? 4 se împarte

exact la 4, 4 se împarte exact la 2

ordinul neschis al radicalului din membrul drept.

Astfel, se ridică la 4, așa cum spuneam

și se obține radical de ordinul 4

din x pătra plus 3x plus 2 la păterea 4

egal cu radical de ordinul 2 teoretic

din x minus 3 la păterea 4.

4 supra 4 este 1, deci rămâne

x pătrat plus 3x plus 2 egal cu

x minus 3, teoretic ar fi la

4 supra 2, ordinul neschis,

adică la păterea a 2.

Înțeleg în acest moment că x pătrat plus 3x plus 2

va fi egal cu x pătrat minus

6x plus 9.

x pătrat cu x pătrat se reduce

și obțin 3x plus 2

egal cu minus 6x plus 9.

6x sau minus 6x trece

cu semn schimbat în partea stângă,

obținând astfel 3x plus 6x egal cu

9, minus 2 trece în partea dreaptă

cu semn schimbat. Astfel, 9x

egal cu 7 și x-ul obținut este

7 supra 9. Întrucât

x egal cu 7 pe 9 nu aparține

domeniului nostru de definiție, 3 plus infinit,

acesta nu convine ca soluție.

Astfel, ecuația irrațională nu

are soluții reale.