Sisteme de ecuații simetrice

Definiție. O ecuație cu două necunoscute se numește simetrică, dacă înlocuind o necunoscută cu cealaltă, ecuația nu se schimbă.

Exemplu: 2x + 7xy + 2y = 10.

Proprietate. Dacă o ecuație simetrică are soluția (x', y') atunci ea admite și soluția (y',x').

Definiție.Un sistem format din ecuații simetrice se numește sistem simetric.

Un sistem de forma:

$\{\begin{cases} x + y = s \\ x y = p \end{cases}$

se numește sistem simetric fundamental, iar acesta se rezolvă utilizând suma si produsul rădăcinilor ecuației de gradul al doilea. Se formează ecuația de gradul al doilea cu necunoscuta t:

$t^{2} - s t + p = 0,$ având rădăcinile $t_{1}, t_{2} .$

Soluțiile sistemului simetric fundamental vor fi:

$x = t_{1}, y = t_{2} ș i x = t_{2}, y = t_{1} \Rightarrow S = \{(t_{1}, t_{2}); (t_{2}, t_{1})\} .$

Metoda de rezolvare a sistemelor simetrice cu necunoscutele x și y

1) Se introduc două necunoscute noi: s = x + y și p = xy

2) Se exprimă ecuațiile sistemului în s și p

3) Se rezolvă sistemul cu necunoscutele s și p

4) Cu valorile obținute pentru s și p se revine la substituție și se rezolvă sistemul simetric fundamental.