Sisteme de ecuații simetrice

Vom vorbi în această lecție despre sisteme simetrice.

Mai întâi, haideți să vedem ce înțelegem printr-o ecuație simetrică.

Să privim puțin aceste două ecuații cu două necunoscute.

Iată prima ecuație, 2x plus 7xy plus 2y egal cu 10.

Haideți să înlocuim necunoscuta x cu y și pe y cu x.

Obținem astfel ecuația 2y plus 7yx plus 2x egal cu 10.

Observăm că înlocuind necunoscuta x cu y, ecuația nu se schimbă.

O astfel de ecuație se numește ecuație simetrică.

Și în al doilea exemplu avem de asemenea o ecuație simetrică.

Iată, 3 înmulțit cu x pătrat plus y pătrat minus xy plus 5x plus 5y egal cu 0.

Observăm și aici că înlocuind necunoscuta x cu y, obținem aceeași ecuație.

Acestea sunt două exemple de ecuații simetrice.

Însă următoarea ecuație, 3 plus x minus y egal cu 0, nu este ecuație simetrică

deoarece în acest caz necunoscutele x și y au semne contrare.

Având în vedere că o ecuație simetrică nu se schimbă când înlocuim pe x cu y,

rezultă că orice soluție de forma x0, y0 va conduce automat la o a doua soluție de forma y0, x0.

Și acum haideți să discutăm despre sisteme simetrice.

Un sistem de ecuații se numește simetric dacă este format din ecuații simetrice.

Iată un exemplu de sistem simetric.

x plus y egal cu o valoare s și x ori y egal cu p.

Acesta este cel mai simplu sistem simetric și se numește sistem simetric fundamental.

Rezolvarea sistemelor simetrice se reduce la rezolvarea sistemului simetric fundamental.

Pentru a rezolva acest sistem vom utiliza ecuația de gradul al doilea

când se cunosc suma și produsul rădăcinilor.

Vom forma așadar o ecuație de gradul al doilea cu necunoscuta t.

Aceasta va fi t pătrat minus st plus p egal cu 0

având ca rădăcini x și y unde s este suma rădăcinilor iar p este produsul rădăcinilor.

Dacă delta este pozitiv obținem două soluții t1 și t2.

Prin urmare soluția sistemului simetric va fi următoarea x egal cu t1 și y egal cu t2

dar așa cum spunea mai devreme vom avea și soluția x egal cu t2 respectiv y egal cu t1.

Prin urmare soluția sistemului simetric va fi mulțimea perechilor de forma t1 t2 respectiv t2 t1.

În continuare vom rezolva câteva exemple.

Iată un prim sistem simetric x plus y egal cu minus 4 și xy egal cu 3.

Observăm așadar că suma rădăcinilor este minus 4 iar produsul este 3.

Vom forma așadar ecuația de gradul al doilea cu necunoscuta t și avem t pătrat minus st plus p egal cu 0.

t pătrat minus minus 4 este plus 4t plus 3 egal cu 0.

Delta este b pătrat minus 4ac 4 la a doua minus 4 ori 1 ori 3 16 minus 12 4.

t1 este minus b plus radical din delta supra 2a minus 4 plus 2 pe 2 și egal cu minus 1.

Iar t2 va fi minus 4 minus 2 supra 2 egal cu minus 3.

Prin urmare sistemul simetric va avea soluția x egal cu minus 1 și y egal cu minus 3.

Respectiv x egal cu minus 3 și y egal cu minus 1.

Mai putem scrie soluția sub forma aceasta s egal mulțimea perechilor minus 1 minus 3 și minus 3 minus 1.

În al doilea exemplu avem următorul sistem x pătrat plus y pătrat egal cu 13 și xy egal cu minus 6.

În acest caz cunoaștem produsul xy egal cu minus 6 însă nu cunoaștem suma rădăcinilor.

Va trebui așadar să exprimăm această sumă x pătrat plus y pătrat cu ajutorul sumei x plus y.

Pentru aceasta vom folosi formula de calcul prescurtat x plus y totul la pătrat egal cu x la a doua plus y la a doua plus 2xy.

Deci s la pătrat va fi egal cu x pătrat plus y pătrat plus 2p.

De aici exprimăm x la a doua plus y la a doua și obținem s pătrat minus 2p.

Este bine să rețineți această formulă pentru că se va folosi destul de des în rezolvarea sistemelor simetrice.

Și acum vom rescrie acest sistem cu ajutorul necunoscutelor s și p.

Prima ecuație se va scrie s pătrat minus 2p egal cu 13 și p egal cu minus 6.

Înlocuim valoarea lui p în prima ecuație și obținem sistemul s pătrat minus 2 ori minus 6 plus 12 egal cu 13 și p egal cu minus 6.

Aici avem s pătrat egal cu 1 și p egal cu minus 6.

Prima ecuație are două soluții, 1 și minus 1.

Prin urmare, acest sistem va fi echivalent cu reuniunea următoarelor sisteme

s egal cu 1 și p egal cu minus 6.

s egal cu minus 1 și p egal cu minus 6.

Să notăm aceste sisteme cu s1 și s2.

Pentru fiecare sistem în parte vom forma ecuația de gradul al doilea cu necunoscuta t.

În cazul primului sistem avem t pătrat minus st plus p egal cu 0.

t pătrat minus t minus 6 egal cu 0.

Delta este b pătrat minus 4ac, 1 minus 4 ori minus 6 și egal cu 25.

t1 va fi minus b plus radical din delta supra 2a, 1 plus 5 pe 2 egal cu 3.

t2 va fi minus b minus radical din delta supra 2a, 1 minus 5 pe 2 egal cu minus 2.

Deci sistemul s1 va avea următoarea soluție pe care o să o notez cu s1.

Avem perechile 3 minus 2 și minus 2, 3.

Acum vom rezolva al doilea sistem s2.

Vom scrie ecuația de gradul al doilea t pătrat minus st plus p egal cu 0.

t pătrat plus t minus 6 egal cu 0.

Delta va fi b pătrat minus 4ac, 1 minus 4 ori minus 6 egal cu 25.

t1 este minus b plus radical din delta supra 2a, minus 1 plus 5 pe 2 egal cu 2.

și t2 va fi minus 1 minus 5 supra 2 și egal cu minus 3.

Prin urmare sistemul s2 va avea soluția mulțimea perechilor 2 minus 3 și minus 3, 2.

Spuneam mai devreme că sistemul inițial este echivalent cu reuniunea celor două sisteme.

Prin urmare soluția finală va fi mulțimea perechilor 3 minus 2, minus 2, 3, 2 minus 3 și minus 3, 2.

Și un ultim exemplu.

Avem următorul sistem xy plus x plus y egal cu minus 1 și 2x pătrat plus 2y pătrat minus xy egal cu 30.

Încercăm să rescriem acest sistem cu ajutorul necunoscutelor s și p.

Prima ecuație va fi p plus s egal cu minus 1.

În a doua ecuație dăm factor comun pe 2.

Avem 2 pe lângă x pătrat plus y pătrat.

Dar x pătrat plus y pătrat este egal cu s pătrat minus 2p.

Prin urmare în paranteză vom avea s pătrat minus 2p minus p egal cu 30.

P va fi egal cu minus 1 minus s.

Aici desfacem parantezele.

Avem 2s pătrat minus 4p minus p este minus 5p minus 30 egal cu 0.

Equivalent p egal cu minus 1 minus s.

2s pătrat minus 5 pe lângă minus 1 minus s.

Folosim metoda sustituției minus 30 egal cu 0.

În a doua ecuație desfacem paranteza.

Copiem prima ecuație p egal cu minus 1 minus s.

2s pătrat plus 5 plus 5s minus 30 egal cu 0.

P egal cu minus 1 minus s.

2s pătrat plus 5s minus 25 egal cu 0.

Vom rezolva a doua ecuație.

Aceasta este o ecuație de gradul 2 cu necunoscuta s.

O să mai copiez încă o dată.

2s pătrat plus 5s minus 25 egal cu 0.

Delta este b pătrat, adică 5 la a doua, minus 4 ori 2 ori minus 25.

Egal cu 25 plus 8 ori 25 este egal cu 200.

Și egal în continuare cu 225.

S1 este minus b plus radical din delta supra 2a,

adică minus 5 plus radical din 225 este 15, supra 2 ori 2.

Egal cu 10 supra 4 și egal cu 5 pe 2.

S2 va fi egal cu minus 5 minus 15 supra 4 minus 20 supra 4 egal cu minus 5.

Am obținut așadar două valori posibile pentru s.

P este egal cu minus 1 minus s.

Prin urmare vom avea P1 egal cu minus 1 minus s1.

P1 va fi minus 1 minus 5 pe 2 și egal cu minus 7 supra 2.

Iar P2 este minus 1 minus s2.

P2 este egal cu minus 1 minus minus 5, deci plus 5 și egal cu 4.

Prin urmare sistemul simetric va fi echivalent cu reuniunea următoarelor sisteme.

S1 egal cu 5 pe 2 și P1 egal cu minus 7 supra 2.

Acesta va fi sistemul S1.

Și al doilea sistem format din ecuațiile S2 egal cu minus 5 și P2 egal cu 4.

Pentru fiecare sistem în parte vom scrie ecuația de gradul al doilea cu necunoscuta t.

T pătrat minus ST plus P egal cu 0.

T pătrat minus 5 supra 2.

T minus 7 supra 2 egal cu 0.

Delta este minus 5 pe 2 la pătrat minus 4 ori minus 7 pe 2.

Și egal cu 25 supra 4 plus 28 pe 2.

28 ori 2 este 56 plus 25 egal cu 81 supra 4.

T1 este 5 pe 2 plus radical din delta 9 pe 2.

Totul supra 2.

Egal cu 14 supra 2 supra 2 adică 14 supra 4 și egal cu 7 pe 2.

Iar T2 va fi egal cu 5 supra 2 minus 9 pe 2.

Totul supra 2 egal cu minus 4 pe 4 și egal cu minus 1.

Voi scrie mai târziu soluția primului sistem.

Trecem acum la sistemul S2.

Formăm și aici ecuația T pătrat minus ST plus P egal cu 0.

T pătrat minus minus 5 plus 5T plus 4 egal cu 0.

Delta este 5 la a doua minus 4 ori 4, 25 minus 16 egal 9.

T1 este minus 5 plus radical din 9 3 supra 2 minus 2 pe 2 minus 1.

T2 va fi minus 5 minus 3 pe 2 minus 8 pe 2 egal minus 4.

Să scriem așadar cele două soluții.

Soluția sistemului S1 este mulțimea perechilor 7 pe 2 minus 1 și minus 1 7 pe 2.

Iar pentru sistemul S2 avem soluția S2, mulțimea perechilor minus 1 minus 4 și minus 4 minus 1.

Soluția sistemului inițial va fi reuniunea celor două mulțimi și vom avea mulțimea perechilor 7 pe 2 minus 1, minus 1 7 pe 2, minus 1 minus 4 și minus 4 minus 1.