Sisteme de ecuații (o ec. de gradul I și o ec. de gradul II)

Titlul acestei lecții este Rezolvarea unor tipuri de sisteme de ecuații cu coeficienți reale.

Interpretarea geometrică a rezolvării acestora.

În această lecție vom discuta despre câteva tipuri de sisteme de ecuații cu coeficienți reale,

a căror rezolvare se reduce la rezolvarea unei ecuații de gradul al doilea.

În acest moment este important să înțelegeți că ne vom rezuma la rezolvarea acelor tipuri de sisteme ale căror soluții sunt reale,

deoarece în lecțiile precedente nu am abordat încă situația în care soluțiile obținute ale ecuației sunt complexe.

Astfel că vom discuta despre sisteme formate dintr-o ecuație de gradul întâi și o ecuație de gradul al doilea.

Ca formă generală, aceste tipuri de sisteme sunt

ax plus by plus c egal cu 0, ecuația de gradul întâi a sistemului,

respectiv a1x pătrat plus b1xy plus c1y pătrat plus d1x plus e1y plus f1 egal 0,

unde a, b, c, respectiv a1, b1, c1, d1, e1 și f1 sunt coeficienți reali, așa cum comentam în titlul acestei lecții.

Pentru a rezolva un astfel de sistem, utilizăm metoda substituției,

adică una din necunoscutele sistemului este substituită sau înlocuită de cealaltă necunoscută.

Pentru aceasta, din ecuația de gradul întâi a sistemului, se determină una din necunoscute în raport cu cealaltă.

Adică, ecuația de gradul întâi, așa cum vă spuneam, este ax plus by plus c egal cu 0.

Din această ecuație, voi scoate y în cazul meu,

by rămâne în stânga, minus ax minus c,

mergând dreapta, evident, cu semn schimbat,

de unde, fără discuții, y, necunoscut a y, va fi determinată ca minus ax minus c supra b.

O altfel de scriere este minus a supra bx minus c supra b.

Foarte important este de remarcat faptul că, fiind o fracție, se impune ca și condiție de existență b diferit de 0.

După determinarea lui y din ecuația de gradul întâi,

se trece la substituirea acesteia în ecuația de gradul al doi.

Astfel, ecuația de gradul al doilea, după cum ați văzut,

este ax pătrat plus b1x,

vedeți y, asta înseamnă că y-ul meu este minus a supra bx minus c supra b,

plus c1y pătrat minus a supra bx minus c supra b, evident la pătrat,

plus d1x, nu conține y și atunci e termenul ce conține doar x, n-am ce să pun ca parantez,

plus e1y, y înlocuit, plus f1 egal 0.

În continuare, vom trece la rezolvarea acestei ecuații.

Pentru o mai simplă vizualizare a rezolvării acesteia,

am luat separat parantezele ce conțin substituirea făcută.

Astfel, minus a supra bx minus c supra b la pătrat este egal cu,

vom scoate minusul în față pe lângă a supra bx plus c supra b, totul la pătrat.

În aceste condiții, știu că minus la puterea a doua sau orice valoare ridicată la pătrat

va ieși cu semn pozitiv, deci dispare în cazul meu,

și atunci totul se rezumă la a calcula a supra bx plus c supra b la pătrat.

Formula de calcul prescurtat binecunoscută a plus b la pătrat a pătrat plus 2ab plus b pătrat este aplicată,

după care b1x pe lângă minus a supra bx minus c supra b, rezolvat evident, se desface paranteza,

se obține minus ab1 supra bx pătrat respectiv minus cb1 supra bx

și ultima paranteză de rezolvat de despăcut este e1 pe lângă minus a supra bx minus c supra b,

care are drept rezultat a e1 supra bx minus ce e1 supra b, termen liber o să vedem.

Prin înlocuirea calculelor făcute în ecuația noastră se obține a1 minus ab1 supra b plus ak1bx pătrat,

deci sunt termenii ce conțin x pătrat, plus termenii ce conțin x, sunt cei cu verde,

evidențiați de mine și anume, minus cb1 supra b plus 2acc1 supra b pătrat plus d1 minus ae1bx,

se vede aici, iar termenul liber, cel care nu conține x, sunt cei evidențiați de mine cu portocalinul ăsta,

și anume c pătrat c1 supra b pătrat minus ce1 supra b plus f1 egal cu 0.

În acest moment se vizualizează în mod clar că se obține o ecuație de gradul al doilea,

deci vedeți coeficient x pătrat, coeficient x, termen liber.

Deci, așa cum spuneam, se obține o ecuație de gradul al doilea, ecuație pe care știm să o rezolvăm.

Se disting astfel trei cazuri de discuție, cazuri aferente situațiilor de rezolvare a ecuațiilor de gradul al doilea.

Astfel, situația A, ecuația are două soluții reale distincte,

situația B, ecuația are două soluții reale egale,

respectiv situația C, ecuația nu are soluții reale.

Vă reamintesc că atunci când vorbeam de două soluții reale distincte, vorbeam de situația în care delta era pozitiv,

în momentul în care putem afirma că sistemul are două soluții reale distincte, diferite,

atunci când delta era egal cu zero, vorbeam de soluții reale egale și atunci sistemul are o singură soluție reală.

Respectiv, atunci când delta era negativ, soluțiile nu erau reale.

Deci, în acest moment, sistemul nu acceptă sau nu are soluții reale.

Soluțiile ecuației de gradul al doilea, dacă acestea există,

sunt înlocuite în ecuația Y egal cu minus A supra BX minus C supra B

și în acest moment sau în acest mod sunt determinate soluțiile sistemului.

Pentru o mai bună înțelegere, vom face în continuare un exemplu.

Să se rezolve sistemul.

2X plus Y minus 1 egal 0, respectiv X pătrat minus Y pătrat minus 3X plus 3 egal 0.

În acest moment, suntem în măsură să afirmăm

prima ecuație a sistemului este ecuație de gradul întâi,

cea de-a doua ecuație a sistemului este o ecuație de gradul al doilea.

Conform celor exprimate mai sus în partea teoretică,

din ecuația de gradul întâi vom determina Y.

Astfel, 2X plus Y minus 1 egal 0.

Înțeleg de aici că Y este minus 2X plus 1.

Vă reamintesc că în teorie, după ce determinam Y,

acesta era înlocuit în cea de-a doua ecuație.

Pentru care, acum, Y-ul obținut se înlocuiește în ecuația de gradul al doilea.

Astfel, X pătrat minus Y pătrat,

asta însemnând minus 2X plus 1, dar la pătrat,

minus 3X plus 3 egal 0.

X pătrat minus.

Am schimbat poziția terminului din paranteză

ca să vă fie mai ușor să înțelegeți cum am ridicat la pătrat

și, mai mult decât atât, să nu ratez semne în aplicarea formulei de calcul prescurtat.

Așa, minus 3X plus 3 egal 0.

Astfel, X pătrat minus 1 la pătrat 1,

2AB, dar minus 2AB înțelegând minus 4X,

plus B pătrat, 4X pătrat.

Minus 3X plus 3 egal 0.

Am desfăcut paranteza, X pătrat minus în fața paranteze, știți,

schimbă semnele tuturor terminului din paranteză.

Astfel, minus 1 plus 4X minus 4X pătrat,

minus 3X plus 3.

Obțin astfel o ecuație de gradul al doilea,

minus 3X pătrat plus X plus 2 egal 0,

pentru că X pătrat are coeficient negativ,

prefer să înmulțesc cu minus 1,

obținând astfel o ecuație de forma

3X pătrat minus X minus 2 egal 0.

Ecuație de gradul 2, pe care, fără discuții, știu să o rezolv.

Vă reamintesc, delta era B pătrat minus 4AC,

respectiv X1, X2 minus B plus minus radical

din delta supra 2A.

Pe valorile mele, delta este egal cu 25,

este pozitiv, înțeleg din asta cam rădăcini reale și distinte,

rădăcini care, conform formule și calculului urmat,

vor fi minus 2 supra 3, respectiv 1.

După obținerea soluțiilor sau rădăcinilor ecuației de gradul al doilea,

vom determina soluțiile sistemei.

Cum? Prin simpla înlocuire a valorilor X1 și X2

în ecuație Y egal cu minus 2X plus 1.

Astfel, pentru X1 egal cu minus 2P3,

obținem Y1 egal cu minus 2 înmulțit cu minus 2P3 plus 1.

Asta înseamnă 4P3 minus ori minus plus,

plus 1 aducem la același numitor, obținând astfel

Y1 egal cu 7P3.

Pentru X2 egal cu 1 obținem

Y2 egal cu minus 2 înmulțit cu 1 plus 1,

ceea ce înseamnă, fără discuții, minus 2 plus 1,

care are drept rezultat minus 1.

Deci, soluțiile sistemului dat sunt

X1 minus 2 supra 3, se vede aici,

Y1 obținând 7P3

și X2 1,

Y2 minus 1.

Pe exact același principiu sunt rezolvate și sistemele

ce conduc la ecuații de gradul al doilea

cu rădăcini reale egale

sau ecuațiile ce nu au rădăcini reale.

În continuare vom trece la interpretarea geometrică

a rezolvării sistemelor discutate.

Astfel că, pentru interpretarea geometrică

a soluțiilor sistemului, este necesar

să înțelegeți că soluțiile, dacă aceste există,

sunt acele valori care verifică

concomitent toate ecuațiile sistemului.

Adică,

dacă soluția sistemului dat este

X egal cu M, o valoare reală,

respectiv Y egal cu N, o altă valoare reală,

atunci valorile M și N înlocuite

în toate ecuațiile sistemului dat

vor conduce la relații adevărate.

Mai mult decât atât, în contextul

interpretării geometrice, soluția

sau soluțiile sistemului, după caz,

sunt puncte pe mare de coordonate

M și N, aflate în aceeași măsură

pe toate reprezentările grafice

aferente ecuațiilor sistemului.

Reprezentările grafice aferente ecuațiilor sistemului

sunt, de fapt, acele reprezentări grafice

ale funcțiilor obținute din ecuații.

Adică, am obținut, de exemplu,

Y egal cu AX plus B.

Nu uităm că Y reprezintă, de fapt, FDX,

ceea ce înseamnă, fără discuții, că

scrierea Y egal cu AX plus B

este, de fapt, FDX egal cu AX plus B.

Funcție, în acest moment,

de gradul 1.

Interpretarea geometrică a soluțiilor

sistemului este, de fapt, sau înseamnă,

de fapt, determinarea punctelor

intersecție a graficelor.

Pe exemplu prezentat anterior, soluțiile

sistemului erau X1 era minus 2

pe 3, respectiv Y1, 7 pe 3

și X2, 1 cu Y2, minus 1.

În acest caz, interpretarea geometrică

a soluțiilor este P mare 1

de coordonate minus 2 pe 3 și 7

pe 3 și P mare 2

de coordonate 1 și minus 1.

Acestea sunt puncte ce aparțin atât

dreptei corespunzătoare a ecuației de gradul 1

Vă reamintesc că aceasta era 2X plus Y minus 1

egal 0, cât și parabolei

corespunzătoare a ecuației de gradul al doilea,

și anume X pătrat minus Y pătrat minus 3X plus 3

egal 0.

Ecoația de gradul 1 este Y

minus 2X plus 1. Ea devine funcție

de gradul 1 în momentul în care Y este Fx

și atunci Fx egal cu minus 2X

plus 1.

Punctele P1 și P2

aflate atât pe dreaptă cât și pe parabolă

au trept interpretare geometrică

intersecția celor două grafice.

Astfel, pentru un sistem de ecuații

de formă AX plus BY plus C

egal cu 0, evident ecoația de gradul 1,

respectiv Y egal cu A1X pătrat

plus B1X plus C1, ecoația de gradul al doilea,

putem determina trei situații de discuție

conform noțiunilor teoretice exprimate anterior.

A mic, situația 1,

două soluții reale și distincte, B mic,

două soluții reale și egale, practic una singură,

respectiv C mic, nu are soluții reale.

Situația A exprimă

faptul că dreapta și parabola,

deci dreapta aferentă ecoației de gradul 1,

care duce la funcție de gradul 1,

și parabola obținută din funcția

de gradul al doilea, obținută din ecoația

de gradul al doilea,

au două puncte de intersecție.

Situația C exprimă faptul că

am dreapta și parabola,

ce au un singur punct de intersecție.

Vedeți? P de coordonate XY.

Situația C exprimă faptul că dreapta și parabola

nu au puncte de intersecție.

Deci nu există un P mare de coordonate XY

care să apațină în egală măsură

atât dreptei cât și parabolei.

Ecoații sunt reprezentate astfel.

Situația A, când am două puncte comuni.

Situația B, când am un singur punct comun.

Respectiv, situația C, când nu am niciun punct comun.

Astfel, P1, P2,

punctele comune,

parabola și dreapta.

Deci funcția de gradul al doilea aferentă

sau corespunzătoare ecoației de gradul al doilea sistemului,

funcția de gradul întâi

aferentă ecoației de gradul întâi.

Atunci când am un singur punct de intersecție

pot să afirm că dreapta

este tangentă la parabola

în acest punct de intersecție, punctul P.

Când nu am puncte de intersecție, se vede clar.

Nu există punct care să aparțină în egală măsură

parabolei respectiv drepte.

Să se rezolve sistemul și să se interpreteze

geometric soluția acestui.

x-y-5="0",

respectiv x²-y-3x-1="0".

respectiv x²-y-3x-1="0".

Clar, ecoația de gradul întâi.

Pentru rezolvare spuneam

mă refer strict la ecoația de gradul întâi

din care scot O necunoscută în raport cu cealaltă.

Astfel, y va fi egal cu x-5.

y="x-5",

e clar, funcția de gradul întâi

fx="x-5".

Cea de-a doua ecoație a sistemului,

x²-y-3x-1="0",

se scoate y ca fiind

x²-3x-1

și aceasta pentru a remarca acea funcție de gradul al doilea,

notată de data asta gx

ca să nu se facă, dacă vreți, confuzie

între funcția de gradul întâi

respectiv funcția de gradul al doilea.

Așa cum am învățat, y-ul obținut se înlocuiește

în cea de-a doua ecoație a sistemului.

Astfel, în loc de y-x-5="x-3x-1",

ecoația

obținută este una de gradul al doilea

și anume x²-4x-5="0",

din care se obține

că x-1="x-2="2".

Pentru x-2

obținut, y va fi

2-5, adică minus 3.

Astfel, y--3.

În acest moment suntem în măsură

să afirmăm că soluția sistemului

este x="2",

y="-3",

și punctul P de coordonate

2 și minus 3 este acel punct

de intersecție al dreptei

reprezentată de funcția de gradul întâi,

respectiv parabolei reprezentate

de funcția de gradul al doilea.

Reprezentarea grafică a soluției este

pentru fx="x-5",

intersecția cu axa o x, adică y="0",

este fx="0",

astfel punctul de coordonate

5 și 0 notat de mine cu A.

Intersecția cu axa o y înseamnă

x="0", adică f de 0,

ceea ce înseamnă 0-5="-5",

punctul B mare de coordonate 0 și minus 5.

Pentru gdx="x-3x-1",

la fel, intersecția cu axa o x

înseamnă y="0", adică gdx="0",

deci x-3x-1="0",

equație de gradul al doilea,

pentru care delta este 13

și atunci soluțiile sunt

3 plus minus radical din 13 pe 2

și atunci am punctul C

de coordonate 3 minus radical din 13

pe 2 și 0, respectiv

D mare de coordonate 3 plus radical din 13

pe 2 și 0.

Intersecția cu axa o y este

x="0", adică gdx="0",

ce are ca rezultat minus 1,

deci y="-1". Astfel, ultimul punct

al graficului este E

de coordonate 0 și minus 1,

punctul A de coordonate

5 și 0,

punctul B de coordonate

0 și minus 5,

și foarte important,

soluția sistemului sau

punctul de intersecție al graficelor

este P de coordonate 2

și minus 3.