Sisteme de ecuații (o ec. de gradul I și o ec. de gradul II)

Forma generală a unui sistem format dintr-o ecuație de gradul I și o ecuație de gradul II este:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}ax+by+c=0\\ a_1{x}^2+b_{1}xy+c_1{y}^2+d_{1}x+e_{1}y+f_1=0, \end{array}\right. \\ unde a, b, c, a_1, b_1, c_1, d_1, e_1, f_1\in \mathrm{ℝ}, a_1\ne 0. \end{gathered}$$

 

Pentru a rezolva un astfel de sistem folosim metoda substituției:

-din ecuația de gradul întâi se exprimă una din necunoscute în raport cu cealaltă; de exemplu:

$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}, b\ne 0.$

-apoi se trece la substituirea acesteia în ecuația de gradul doi;

-se rezolvă ecuația de gradul doi obținută;

-soluțiile ecuației de gradul doi (dacă există) sunt înlocuite în ecuația

$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}, b\ne 0.$

Astfel se determină soluțiile sistemului, adică perechile de forma:

$S=\left\{\left(x_1, y_1\right);\left(x_2,y_2\right)\right\}.$

Interpretarea geometrică

Soluția sau soluțiile sistemului sunt puncte situate pe fiecare reprezentare grafică a ecuațiilor sistemului. Prin urmare, aceste puncte aparțin atât dreptei d corespunzătoare ecuației de gradul întâi, cât și parabolei P corespunzătoare ecuației de gradul doi. Spunem că soluțiile reale ale sistemului dau coordonatele punctelor de intersecție ale dreptei cu parabola.

Distingem trei situații posibile:

1. dacă sistemul are două soluții, atunci dreapta d este secantă parabolei P (dreapta și parabola au două puncte comune)
2. dacă sistemul are o soluție, atunci dreapta d este tangentă parabolei P (dreapta și parabola au un singur punct comun)
3. dacă sistemul nu are soluții reale, dreapta d este exterioară parabolei P (dreapta și parabola nu au puncte comune).