Transcript: Sisteme de ecuații (o ec. de gradul I și o ec. de gradul II)

Titlul acestei lecții este Rezolvarea unor tipuri de sisteme de ecuații cu coeficienți reale.
Interpretarea geometrică a rezolvării acestora.
În această lecție vom discuta despre câteva tipuri de sisteme de ecuații cu coeficienți reale,
a căror rezolvare se reduce la rezolvarea unei ecuații de gradul al doilea.
În acest moment este important să înțelegeți că ne vom rezuma la rezolvarea acelor tipuri de sisteme ale căror soluții sunt reale,
deoarece în lecțiile precedente nu am abordat încă situația în care soluțiile obținute ale ecuației sunt complexe.
Astfel că vom discuta despre sisteme formate dintr-o ecuație de gradul întâi și o ecuație de gradul al doilea.
Ca formă generală, aceste tipuri de sisteme sunt
ax plus by plus c egal cu 0, ecuația de gradul întâi a sistemului,
respectiv a1x pătrat plus b1xy plus c1y pătrat plus d1x plus e1y plus f1 egal 0,
unde a, b, c, respectiv a1, b1, c1, d1, e1 și f1 sunt coeficienți reali, așa cum comentam în titlul acestei lecții.
Pentru a rezolva un astfel de sistem, utilizăm metoda substituției,
adică una din necunoscutele sistemului este substituită sau înlocuită de cealaltă necunoscută.
Pentru aceasta, din ecuația de gradul întâi a sistemului, se determină una din necunoscute în raport cu cealaltă.
Adică, ecuația de gradul întâi, așa cum vă spuneam, este ax plus by plus c egal cu 0.
Din această ecuație, voi scoate y în cazul meu,
by rămâne în stânga, minus ax minus c,
mergând dreapta, evident, cu semn schimbat,
de unde, fără discuții, y, necunoscut a y, va fi determinată ca minus ax minus c supra b.
O altfel de scriere este minus a supra bx minus c supra b.
Foarte important este de remarcat faptul că, fiind o fracție, se impune ca și condiție de existență b diferit de 0.
După determinarea lui y din ecuația de gradul întâi,
se trece la substituirea acesteia în ecuația de gradul al doi.
Astfel, ecuația de gradul al doilea, după cum ați văzut,
este ax pătrat plus b1x,
vedeți y, asta înseamnă că y-ul meu este minus a supra bx minus c supra b,
plus c1y pătrat minus a supra bx minus c supra b, evident la pătrat,
plus d1x, nu conține y și atunci e termenul ce conține doar x, n-am ce să pun ca parantez,
plus e1y, y înlocuit, plus f1 egal 0.
În continuare, vom trece la rezolvarea acestei ecuații.
Pentru o mai simplă vizualizare a rezolvării acesteia,
am luat separat parantezele ce conțin substituirea făcută.
Astfel, minus a supra bx minus c supra b la pătrat este egal cu,
vom scoate minusul în față pe lângă a supra bx plus c supra b, totul la pătrat.
În aceste condiții, știu că minus la puterea a doua sau orice valoare ridicată la pătrat
va ieși cu semn pozitiv, deci dispare în cazul meu,
și atunci totul se rezumă la a calcula a supra bx plus c supra b la pătrat.
Formula de calcul prescurtat binecunoscută a plus b la pătrat a pătrat plus 2ab plus b pătrat este aplicată,
după care b1x pe lângă minus a supra bx minus c supra b, rezolvat evident, se desface paranteza,
se obține minus ab1 supra bx pătrat respectiv minus cb1 supra bx
și ultima paranteză de rezolvat de despăcut este e1 pe lângă minus a supra bx minus c supra b,
care are drept rezultat a e1 supra bx minus ce e1 supra b, termen liber o să vedem.
Prin înlocuirea calculelor făcute în ecuația noastră se obține a1 minus ab1 supra b plus ak1bx pătrat,
deci sunt termenii ce conțin x pătrat, plus termenii ce conțin x, sunt cei cu verde,
evidențiați de mine și anume, minus cb1 supra b plus 2acc1 supra b pătrat plus d1 minus ae1bx,
se vede aici, iar termenul liber, cel care nu conține x, sunt cei evidențiați de mine cu portocalinul ăsta,
și anume c pătrat c1 supra b pătrat minus ce1 supra b plus f1 egal cu 0.
În acest moment se vizualizează în mod clar că se obține o ecuație de gradul al doilea,
deci vedeți coeficient x pătrat, coeficient x, termen liber.
Deci, așa cum spuneam, se obține o ecuație de gradul al doilea, ecuație pe care știm să o rezolvăm.
Se disting astfel trei cazuri de discuție, cazuri aferente situațiilor de rezolvare a ecuațiilor de gradul al doilea.
Astfel, situația A, ecuația are două soluții reale distincte,
situația B, ecuația are două soluții reale egale,
respectiv situația C, ecuația nu are soluții reale.
Vă reamintesc că atunci când vorbeam de două soluții reale distincte, vorbeam de situația în care delta era pozitiv,
în momentul în care putem afirma că sistemul are două soluții reale distincte, diferite,
atunci când delta era egal cu zero, vorbeam de soluții reale egale și atunci sistemul are o singură soluție reală.
Respectiv, atunci când delta era negativ, soluțiile nu erau reale.
Deci, în acest moment, sistemul nu acceptă sau nu are soluții reale.
Soluțiile ecuației de gradul al doilea, dacă acestea există,
sunt înlocuite în ecuația Y egal cu minus A supra BX minus C supra B
și în acest moment sau în acest mod sunt determinate soluțiile sistemului.
Pentru o mai bună înțelegere, vom face în continuare un exemplu.
Să se rezolve sistemul.
2X plus Y minus 1 egal 0, respectiv X pătrat minus Y pătrat minus 3X plus 3 egal 0.
În acest moment, suntem în măsură să afirmăm
prima ecuație a sistemului este ecuație de gradul întâi,
cea de-a doua ecuație a sistemului este o ecuație de gradul al doilea.
Conform celor exprimate mai sus în partea teoretică,
din ecuația de gradul întâi vom determina Y.
Astfel, 2X plus Y minus 1 egal 0.
Înțeleg de aici că Y este minus 2X plus 1.
Vă reamintesc că în teorie, după ce determinam Y,
acesta era înlocuit în cea de-a doua ecuație.
Pentru care, acum, Y-ul obținut se înlocuiește în ecuația de gradul al doilea.
Astfel, X pătrat minus Y pătrat,
asta însemnând minus 2X plus 1, dar la pătrat,
minus 3X plus 3 egal 0.
X pătrat minus.
Am schimbat poziția terminului din paranteză
ca să vă fie mai ușor să înțelegeți cum am ridicat la pătrat
și, mai mult decât atât, să nu ratez semne în aplicarea formulei de calcul prescurtat.
Așa, minus 3X plus 3 egal 0.
Astfel, X pătrat minus 1 la pătrat 1,
2AB, dar minus 2AB înțelegând minus 4X,
plus B pătrat, 4X pătrat.
Minus 3X plus 3 egal 0.
Am desfăcut paranteza, X pătrat minus în fața paranteze, știți,
schimbă semnele tuturor terminului din paranteză.
Astfel, minus 1 plus 4X minus 4X pătrat,
minus 3X plus 3.
Obțin astfel o ecuație de gradul al doilea,
minus 3X pătrat plus X plus 2 egal 0,
pentru că X pătrat are coeficient negativ,
prefer să înmulțesc cu minus 1,
obținând astfel o ecuație de forma
3X pătrat minus X minus 2 egal 0.
Ecuație de gradul 2, pe care, fără discuții, știu să o rezolv.
Vă reamintesc, delta era B pătrat minus 4AC,
respectiv X1, X2 minus B plus minus radical
din delta supra 2A.
Pe valorile mele, delta este egal cu 25,
este pozitiv, înțeleg din asta cam rădăcini reale și distinte,
rădăcini care, conform formule și calculului urmat,
vor fi minus 2 supra 3, respectiv 1.
După obținerea soluțiilor sau rădăcinilor ecuației de gradul al doilea,
vom determina soluțiile sistemei.
Cum? Prin simpla înlocuire a valorilor X1 și X2
în ecuație Y egal cu minus 2X plus 1.
Astfel, pentru X1 egal cu minus 2P3,
obținem Y1 egal cu minus 2 înmulțit cu minus 2P3 plus 1.
Asta înseamnă 4P3 minus ori minus plus,
plus 1 aducem la același numitor, obținând astfel
Y1 egal cu 7P3.
Pentru X2 egal cu 1 obținem
Y2 egal cu minus 2 înmulțit cu 1 plus 1,
ceea ce înseamnă, fără discuții, minus 2 plus 1,
care are drept rezultat minus 1.
Deci, soluțiile sistemului dat sunt
X1 minus 2 supra 3, se vede aici,
Y1 obținând 7P3
și X2 1,
Y2 minus 1.
Pe exact același principiu sunt rezolvate și sistemele
ce conduc la ecuații de gradul al doilea
cu rădăcini reale egale
sau ecuațiile ce nu au rădăcini reale.
În continuare vom trece la interpretarea geometrică
a rezolvării sistemelor discutate.
Astfel că, pentru interpretarea geometrică
a soluțiilor sistemului, este necesar
să înțelegeți că soluțiile, dacă aceste există,
sunt acele valori care verifică
concomitent toate ecuațiile sistemului.
Adică,
dacă soluția sistemului dat este
X egal cu M, o valoare reală,
respectiv Y egal cu N, o altă valoare reală,
atunci valorile M și N înlocuite
în toate ecuațiile sistemului dat
vor conduce la relații adevărate.
Mai mult decât atât, în contextul
interpretării geometrice, soluția
sau soluțiile sistemului, după caz,
sunt puncte pe mare de coordonate
M și N, aflate în aceeași măsură
pe toate reprezentările grafice
aferente ecuațiilor sistemului.
Reprezentările grafice aferente ecuațiilor sistemului
sunt, de fapt, acele reprezentări grafice
ale funcțiilor obținute din ecuații.
Adică, am obținut, de exemplu,
Y egal cu AX plus B.
Nu uităm că Y reprezintă, de fapt, FDX,
ceea ce înseamnă, fără discuții, că
scrierea Y egal cu AX plus B
este, de fapt, FDX egal cu AX plus B.
Funcție, în acest moment,
de gradul 1.
Interpretarea geometrică a soluțiilor
sistemului este, de fapt, sau înseamnă,
de fapt, determinarea punctelor
intersecție a graficelor.
Pe exemplu prezentat anterior, soluțiile
sistemului erau X1 era minus 2
pe 3, respectiv Y1, 7 pe 3
și X2, 1 cu Y2, minus 1.
În acest caz, interpretarea geometrică
a soluțiilor este P mare 1
de coordonate minus 2 pe 3 și 7
pe 3 și P mare 2
de coordonate 1 și minus 1.
Acestea sunt puncte ce aparțin atât
dreptei corespunzătoare a ecuației de gradul 1
Vă reamintesc că aceasta era 2X plus Y minus 1
egal 0, cât și parabolei
corespunzătoare a ecuației de gradul al doilea,
și anume X pătrat minus Y pătrat minus 3X plus 3
egal 0.
Ecoația de gradul 1 este Y
minus 2X plus 1. Ea devine funcție
de gradul 1 în momentul în care Y este Fx
și atunci Fx egal cu minus 2X
plus 1.
Punctele P1 și P2
aflate atât pe dreaptă cât și pe parabolă
au trept interpretare geometrică
intersecția celor două grafice.
Astfel, pentru un sistem de ecuații
de formă AX plus BY plus C
egal cu 0, evident ecoația de gradul 1,
respectiv Y egal cu A1X pătrat
plus B1X plus C1, ecoația de gradul al doilea,
putem determina trei situații de discuție
conform noțiunilor teoretice exprimate anterior.
A mic, situația 1,
două soluții reale și distincte, B mic,
două soluții reale și egale, practic una singură,
respectiv C mic, nu are soluții reale.
Situația A exprimă
faptul că dreapta și parabola,
deci dreapta aferentă ecoației de gradul 1,
care duce la funcție de gradul 1,
și parabola obținută din funcția
de gradul al doilea, obținută din ecoația
de gradul al doilea,
au două puncte de intersecție.
Situația C exprimă faptul că
am dreapta și parabola,
ce au un singur punct de intersecție.
Vedeți? P de coordonate XY.
Situația C exprimă faptul că dreapta și parabola
nu au puncte de intersecție.
Deci nu există un P mare de coordonate XY
care să apațină în egală măsură
atât dreptei cât și parabolei.
Ecoații sunt reprezentate astfel.
Situația A, când am două puncte comuni.
Situația B, când am un singur punct comun.
Respectiv, situația C, când nu am niciun punct comun.
Astfel, P1, P2,
punctele comune,
parabola și dreapta.
Deci funcția de gradul al doilea aferentă
sau corespunzătoare ecoației de gradul al doilea sistemului,
funcția de gradul întâi
aferentă ecoației de gradul întâi.
Atunci când am un singur punct de intersecție
pot să afirm că dreapta
este tangentă la parabola
în acest punct de intersecție, punctul P.
Când nu am puncte de intersecție, se vede clar.
Nu există punct care să aparțină în egală măsură
parabolei respectiv drepte.
Să se rezolve sistemul și să se interpreteze
geometric soluția acestui.
x-y-5="0",
respectiv x²-y-3x-1="0".
respectiv x²-y-3x-1="0".
Clar, ecoația de gradul întâi.
Pentru rezolvare spuneam
mă refer strict la ecoația de gradul întâi
din care scot O necunoscută în raport cu cealaltă.
Astfel, y va fi egal cu x-5.
y="x-5",
e clar, funcția de gradul întâi
fx="x-5".
Cea de-a doua ecoație a sistemului,
x²-y-3x-1="0",
se scoate y ca fiind
x²-3x-1
și aceasta pentru a remarca acea funcție de gradul al doilea,
notată de data asta gx
ca să nu se facă, dacă vreți, confuzie
între funcția de gradul întâi
respectiv funcția de gradul al doilea.
Așa cum am învățat, y-ul obținut se înlocuiește
în cea de-a doua ecoație a sistemului.
Astfel, în loc de y-x-5="x-3x-1",
ecoația
obținută este una de gradul al doilea
și anume x²-4x-5="0",
din care se obține
că x-1="x-2="2".
Pentru x-2
obținut, y va fi
2-5, adică minus 3.
Astfel, y--3.
În acest moment suntem în măsură
să afirmăm că soluția sistemului
este x="2",
y="-3",
și punctul P de coordonate
2 și minus 3 este acel punct
de intersecție al dreptei
reprezentată de funcția de gradul întâi,
respectiv parabolei reprezentate
de funcția de gradul al doilea.
Reprezentarea grafică a soluției este
pentru fx="x-5",
intersecția cu axa o x, adică y="0",
este fx="0",
astfel punctul de coordonate
5 și 0 notat de mine cu A.
Intersecția cu axa o y înseamnă
x="0", adică f de 0,
ceea ce înseamnă 0-5="-5",
punctul B mare de coordonate 0 și minus 5.
Pentru gdx="x-3x-1",
la fel, intersecția cu axa o x
înseamnă y="0", adică gdx="0",
deci x-3x-1="0",
equație de gradul al doilea,
pentru care delta este 13
și atunci soluțiile sunt
3 plus minus radical din 13 pe 2
și atunci am punctul C
de coordonate 3 minus radical din 13
pe 2 și 0, respectiv
D mare de coordonate 3 plus radical din 13
pe 2 și 0.
Intersecția cu axa o y este
x="0", adică gdx="0",
ce are ca rezultat minus 1,
deci y="-1". Astfel, ultimul punct
al graficului este E
de coordonate 0 și minus 1,
punctul A de coordonate
5 și 0,
punctul B de coordonate
0 și minus 5,
și foarte important,
soluția sistemului sau
punctul de intersecție al graficelor
este P de coordonate 2
și minus 3.