O succesiune de adunări și scăderi de numere reale se numește sumă algebrică.

Doi termeni în care apar aceleași litere, cu același exponent se numesc termeni asemenea.

Numărul real scris inaintea părții literale se numește coeficient.

Exemplu:

$$\begin{gathered} 3a{b}^2 și -2a{b}^2 \\ \sqrt{5}{x}^3{y}^2 și -2\sqrt{5}{x}^3{y}^2 \end{gathered}$$

Într-o sumă algebrică se pot reduce doar termenii asemenea.

Exemplu:

$-6a^3+\underline{8a^2}+\underline{2a^2}-7a=-6a^3+10a^2-7a.$

Proprietățile adunării:

• asociativitatea: a+(b+c) = (a+b)+c, oricare ar fi numerele reale a, b, c
• comutativitatea: a+b = b+a, oricare ar fi numerele reale a și b
• numărul 0 este element neutru: a+0 = 0+a =a, oricare ar fi numărul real a.

​Observație. Suma a două numere reale opuse este egală cu 0: a+(-a) = (-a)+a = 0, oricare ar fi numărul real a.

Pentru a efectua înmulțiri, împărțiri și ridicari la putere cu numere reale reprezentate prin litere, aplicăm regulile de calcul cu puteri și distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere.

Regula pentru desfacerea parantezelor:

$\left(a+b\right)\left(c+d\right)=ac+ad+bc+bd$

Exemple:

$$\begin{gathered} x^{2}y·\left(-5x^3\right)=-5x^{5}y \\ (2x+4)\left(x-3\right)=2x·x+2x·(-3)+4·x+4·(-3)= \\ =2x^2-6x+4x-12=2x^2-2x-12. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2 \\ {\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2 \\ \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2 \\ {\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc. \end{gathered}$$

${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$$\begin{gathered} {\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3 \\ {\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3 \end{gathered}$$

A descompune o expresie algebrică în factori înseamnă a o scrie ca un produs de două sau mai multe expresii algebrice. 

1. Metoda factorului comun

Formula ce exprimă distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere, scrisă invers, reprezintă formula de scoatere a factorului comun:

$a·b+a·c=a·\left(b+c\right)$

Spunem că am scos factor comun pe a.

Exemplu de descompunere folosind metoda factorului comun:

$8x^3+16x^2+4x=4x(2x^2+4x+1)$

2. Metoda folosirii formulelor de calcul prescurtat

Formula de calcul pentru pătratul sumei (sau al diferenței) de doi termeni, scrisă invers, reprezintă restrângerea pătratului sumei (sau al diferenței):

$$\begin{gathered} a^2+2ab+b^2={\left(a+b\right)}^2 \\ {a}^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2 \end{gathered}$$

De-asemenea, formula pentru diferența a două pătrate, scrisă invers, reprezintă descompunerea în factori a acelei expresii:

$a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)$

Exemple de descompuneri folosind formule de calcul prescurat:

$$\begin{gathered} x^2+10x+25=x^2+2·x·5+5^2={\left(x+5\right)}^2 \\ {x}^2-12x+36=x^2-2·x·6+6^2={\left(x-6\right)}^2 \\ {x}^2-81=\left(x+9\right)\left(x-9\right) \end{gathered}$$

3. Metode combinate

Pentru a descompune unele expresii în factori vom folosi cele două metode amintite mai sus precum și artificii de calcul, grupând termenii în mod corespunzător.

Exemplu de descompunere folosind metode combinate:

$x^2\left(a-1\right)-9a+9=x^2\left(a-1\right)-9\left(a-1\right)=\left(a-1\right)\left(x^2-9\right)=\left(a-1\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right).$

Pentru a efectua adunări (sau scăderi) cu rapoarte algebrice având același numitor, adunăm (sau scădem) numărătorii, iar numitorul comun se copiază.

Pentru a efectua adunări (sau scăderi) cu rapoarte algebrice având numitori diferiți, aducem mai întâi rapoartele la numitor comun prin amplificare, apoi aplicăm regula de mai sus.

Pentru a calcula produsul a două rapoarte algebrice, înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei.

Pentru a efectua câtul a două rapoarte algebrice, înmulțim primul raport cu inversul celui de-al doilea.

Un raport algebric este un raport în care numărătorul și numitorul sunt expresii algebrice.

Un raport algebric nu este definit pentru acele valori ale literelor care anulează numitorul. Prin urmare, domeniul de definiție al unui raport algebric este mulțimea în care iau valori literele, cu excepția acelor valori care anulează numitorul.

Exemplu:

$\frac{2x+5}{1-x}, x\in \mathrm{ℝ} \backslash \left\{1\right\}$

A amplifica un raport algebric înseamnă a înmulți numărătorul și numitorul cu o expresie algebrică nenulă.

A simplifica un raport algebric înseamnă a împărți numărătorul și numitorul cu o expresie algebrică nenulă.

Produsul cartezian al mulțimilor A și B este:

$A\times B=\left\{\left(x,y\right)\overline{)} x\in A, y\in B\right\}$

Observație: 

$A\times B\ne B\times A$

Exemplu:

$$\begin{gathered} A=\left\{1,2\right\} \\ B=\left\{3,4,5\right\} \\ A\times B=\left\{\left(1,3\right); \left(1,4\right); \left(1,5\right); \left(2,3\right); \left(2,4\right); \left(2,5\right)\right\} \\ B\times A=\left\{\left(3,1\right); \left(3,2\right); \left(4,1\right); \left(4,2\right); \left(5,1\right); \left(5,2\right)\right\} \\ A\times B\ne B\times A \\ A\times A=\left\{\left(1,1\right); \left(1,2\right); \left(2,1\right); \left(2,2\right)\right\} \end{gathered}$$